2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书 我们仔细阅读了全国大学生数学建模竞赛章程和全国大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 18024010 所属学校（请填写完整的全名）： 湖南工学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 黄玉旭 2. 张金国 3. 沙林 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 指导小组 （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014 年 8 月 21 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要 本文主要解决的是着陆器着陆的轨道设计与控制策略 针对问题一， 针对问题二， 针对问题三， 关键词：微分方程 仿真 嫦娥三号一、 问题重述 嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 （3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二、 问题分析2.1对于问题一的分析 问题一可以转化为求近月点的速率和位置两个小问题。 （1）关于着陆器在近月点、远月点的速率，可以建立物理模型，用开普勒定律和机械能守恒定律分别建立方程式，然后联立方程式，利用MATLAB求解，得出结果。 （2）关于近月点和远月点的位置，可以利用微分方程组建立关于着陆器运动的动态模型，再用MATLAB的simulink对微分方程仿真，得到simulink仿真图，然后，得出结果。2.2对于问题二的分析2.3对于问题三的分析三、模型假设3.1 假设其它星球的引力对嫦娥三号没有影响。3.2 假设题目所给数据真实可靠准确。3.3 假设着陆过程中月球为一均匀的引力场,月球自转可忽略不计。3.4 假设月球的形状扁率忽略，月球是个质量均匀的球体。3.5 假设忽略摄动的影响，飞行器绕月球运动的极地轨道运动，极地轨道坐标系不变。四、符号说明近日点的速率远日点的速率着陆器中心到月心的矢径近日点到月球球心的距离远日点到月球球心的距离R月球半径（）着陆器质量（ ）月球质量（）万有引力常量（）沿着陆器月心矢量的径向速度沿着陆器月心矢量的切向速度制动发动机的推力方向角径向方向夹角月球引力常数制动推力器的常值推力大小月球重力加速度常数发动机的比推力五、模型的建立与求解5.1 模型的准备5.1.1 问题背景北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面轨道，准备实施软着陆。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在“落月”前最后一次轨道调整，在这条近月点高度约15公里、远月点高度约100公里的椭圆轨道上继续飞行。期间，将稳定飞行姿态，对着陆敏感器、着陆数据等再次确认，并对软着陆的起始高度、速度、时间点做最后准备，然后安全着陆。5.1.2开普勒定律 开普勒第二定律称为面积定律。在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。这一定律实际揭示了行星绕太阳公转的角动量守恒。5.1.3机械能守恒定律 在只有重力或系统内弹力做功的物体系统内(或者不受其他外力的作用下），物体系统的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总量保持不变。5.2 对问题一建立模型5.2.1 嫦娥三号速率的求解根据开普勒第二定律可知，嫦娥三号在椭圆轨道上环绕月球运动时，在单位时间内，嫦娥三号与月球球心的连线扫过的面积是一个固定值。这也就意味着，嫦娥三号在某个点的速率大小与该点到月球球心的距离的乘积是个固定值。即： 根据机械能守恒可知，若以无穷远处为势能零点，那么近月点嫦娥三号的势能为，远月点嫦娥三号的势能为。而近月点嫦娥三号的动能为，远月点嫦娥三号的动能为。 即可联立出下列方程组：可得： 所以，嫦娥三号据月球球心的距离=月球半径+嫦娥三号距月球表面距离即： 由题可知： 利用MATLAB编程（见编程一）得到：5.2.2 近月点、远月点位置的求解1、软着陆的过程 软着陆的任务过程如图一所示。着陆器由轨道器送入一条高度为100km的圆形环月轨道，根据预先选定的着陆位置，着陆器在环月轨道上进行变轨，与轨道器分离，转入远月点距月心为1838km，近月点距月心为1753km的椭圆轨道，在近月点，制动发动机点火，用于抵消着陆器的初始速度，使得着陆器在着陆时法向速度和切向速度为零。本文所研究的软着陆轨道就是指从霍曼转移的近月点开始到月面的着陆轨迹。图一（着陆器近月轨道示意图）着陆器的着陆转移轨道为100 X 15km的椭圆轨道，整个着陆轨迹在纵向平面内。取月心O为坐标原点，OY轴指向着陆转移轨道的近月点，OX轴指向着陆器的运动方向，建立如图二所示坐标系。为着陆器偏离近月点的径向夹角，为制动发动机的推力的方向角，r为球心到着陆器的矢径。图二 则，着陆器的质心运动方程为：矢径对时间的变化量为径向速度角度对时间的变化量就是角速度径向速度方向上的加速度 切向速度方向上的加速度 单位时间燃料消耗的公斤数 利用MATLAB的simulink对上述状态方程仿真，得到simulink仿真图图三。图三（simulink仿真图）MATLAB运行结果图样如下：图四（r-t极径随时间的变化曲线曲线）图五（着陆器偏离近月点的径向夹角变化曲线）着陆器在近月点时，矢径。着陆器做类抛运动，经过主减速阶段， 到达距月球表面3km的位置，矢径为。由图四得到此时相应的t=140s，即着陆器经过140s后完成主减速阶段。在相同时间点t=140s上,对应图五上着陆器偏离近月点的径向夹角便可知道。即径向方向夹角的弧度值为0.12，即。因为着陆点着陆时的轨迹与着陆点基本共面，所以近月点的经度与着陆点经度相同。那么，近月点的位置为，距离月球表面15km。由于远月点与近月点共面可知远月点的位置为，距离月球表面100km。5.3 对问题二建立模型5.3.1 主减速阶段建立最优模型由于月球表面没有大气且软着陆时间较短。因此，着陆器在月球引力场中的动力学方程可表示为：式中，为月球的引力常数，r、和分别为着陆器月心距、极角、法向速度和切向速度；推力方向角，即推力方向与切向速度的夹角，作为控制变量；F为发动机推力，其幅值认为是常数，为着陆器在初始时刻的质量，m为秒耗量。这里定义推力方向至切向速度顺时针为正。着陆器的初始条件为：终端约束条件为：这里R为月球半径，其物理意义是着陆器降落到月球表面，其法向速度和切向速度均为零。待优化的性能指标函数为：通过调整推力方向角，使性能指标函数为最小值时，达到陆过程中消耗的燃料最省。 图六.推力方向角随时间变化的调整过程5.3.2 着陆器软着陆避障阶段针对软着陆自主避障任务的要求，嫦娥三号采用的是接力避障模式，将避障过程分为4个任务阶段，分别为接近段、悬停段、避障段和缓速下降段，分别实现粗避障、高精度三维成像、精避障和着陆位置保持功能，形成大范围粗避障、小范围细避障和着陆位置保持的接力避障过程。 图七.接力避障飞行过程 粗避障主要目的是在较大着陆范围内剔除明显危及着陆安全的打出度障碍，为精避障提供较好的安全点选择区域，避免出现精避障无可避免的风险，整体上提高系统安全着陆概率，考虑到探测器运动速度较大，要求成像快、计算快，此外，还要根据由距离反映的最低油耗量选择最优位置。 精避障主要目的是在粗避障选取的较安全区域内进行精确的障碍检测，剔除小尺度障碍，确保落点安全。 1、基于光学图像的粗障碍检测就是利用月球岩石和坑的图像特征识别障碍，确定安全区域。月球岩石的最短尺寸与最长尺寸比值为 10.2,形状一般为圆形、矩形凹坑形或腐蚀的泡形等, 高度一般为直径的 1/2, 标准反照率 14%22%。 由此, 月面石块图像特征为: （1) 石头表面具有明显的亮目标特征, 亮度大于背景 2 倍；（2) 存在明显的阴影区且紧挨亮目标；（3) 亮与阴影之间存在强对比度, 表现为边缘；（4) 边缘的法线方向与太阳矢量投影方向一致，月球撞击坑内斜度一般为2550, 平均35, 坑外一般为 38, 平均 5。 撞击坑图像特征可归纳为:(1) 在太阳照射的阳面将出现亮区域；(2) 在未照到的阴面将出现阴影区域；(3) 暗区域的外边缘呈现圆弧。 根据月球岩石和坑的这些特征设计了粗障碍识别安全着陆选取和精障碍识别安全着陆选取。2、 粗障碍识别和安全着陆区选取算法:(1）图像直方图分析；(2）K 均值聚类；(3）过亮障碍识别；(4） 过暗障碍识别，综合确定安全着陆点。 程序流程如下： 步骤一：读取原光学图像数据，对数据进行预处理，先从纵向角度整体观测图片中获取的数据信息，图片如下： 由上图的直方图得出，处于阴影的数据点较少，虽然主要集中在中间灰度区域，但是亮度区域的数据也同样占有不少，所以可看出此区域有较多高度区域需要躲避。故此时得对图像数据进行横向考虑对比，对数据进行聚类来作横向分析。 步骤二：由步骤一的纵向分析后，大致判断这片区域的整体安全程度，然后用K类均值聚类分析法来对图像数据进行归类，将所得数据聚类为三类，用MATLAB程序求得三类的均值灰度为：R（46.7467），G（96.0477），B（144.5819）。 步骤三：根据步骤二的三类均值灰度，对数据重新进行明暗程度的灰度处理，将最低类划归为暗，将最高类划归为亮，中间类为可视安全区域。编程所得图形如下：由上面的灰度图像可以做出粗糙的判断，根据上面的亮暗程度的点数，可以得出这片区域的安全区域多半处于右边，所以粗避障选择的安全区域为此区域的右半面。 3、精障碍识别安全着陆选取算法： （1）图像预处理，将光学图像划分为个单元区域方格，再将所有单元区域方格转化为矩阵上的点； （2）算出每个单元区域方格的均值，然后把每个单元区域减去各自的单元区域均值（取绝对值），然后求和得到每个单元区域方格的高程差和； （3）借鉴螺旋搜索的思路，飞行器从区域中间开始搜索，然后对个单元区域方格的距离关系进行加权处理，找出方差最小的单元格区域，且此区域为最佳着陆点。根据以上步骤，用MATLAB编程搜索得出此区域的最佳着陆点，结果如下图：5.4 对问题三建立模型六、 模型评价与推广6.1模型的优点与推广模型简洁，易于分析和理解，所得到的结果基本与常识一致。理论与实际的仿真相结合，可以更直观的看到结果。Simulink仿真流程清晰、仿真精细、贴近实际、效率高、灵活，便于计算和运用。此模型还可以用于其他星球的探测，如火星的着陆与探测。6.2模型的缺点 微分方程动态模型的结果是由simulink仿真得到的，对于某些复杂的数学模型或难以建立精确模型的复杂系统来说，难以求解。七、参考文献1姜启源，谢金星，叶俊，数学模型第四版.高等教育出版社(2011)2闫凯，欧阳自远，嫦娥三号，奔月！.科学世界（2013） 3陈杰，“嫦娥三号”飞行轨道示意图 ， 4王鹏基，张熇，曲广吉，月球软着陆飞行动力学和制导控制建模与仿真， 5孙军伟，月球探测器自主导航与控制方法研究 ， 八、 附录程序一 嫦娥三号在近日点与远日点速率的MATLAB程序r=1737.013;r1=(r+15)*103;r2=(r+100)*103;m=2.4*103;M=7.3477*1022;%月球质量G=6.67*10(-11);v2=sqrt(2*M*G*r1/(r2*(r1+r2)%远月点速度v1=(r2/r1)*v2%近月点速度13