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1,第二章,导数与微分,2,基本内容,一、导数与微分的概念,1导数定义：,也记作,或,3,其它形式,也记作,或,4,当,时,为右导数,当,时,为左导数,2.左导数右导数,5,3.导函数的定义：,则任意点处的,导数，叫导函数.,6,导函数的定义,解,7,4.可导与连续的关系：,可导必连续，,连续不一定可导，,必不可导.,不连续,思考,8,9,注意：,10,11,二、求导的基本公式,12,三、求导法则,(其中 ),1.函数和、差、积、商的求导法则,2.复合函数的求导法则,13,3.反函数的求导法则,注意：,使用求导法则的前提是“各自可导”.,四、高阶导数,1.定义：,即,存在,则称,14,记作,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,相应地，,称为零阶导数，,称为一阶导数.,一般地，,的n阶导数.,2.高阶导数的计算：,(C为常数),直接法和间接法,15,(3)乘积,该公式称为莱布尼兹公式，它和二项式公式有类似的记忆,3.高阶导数的基本公式,16,五、几类特殊函数的导数,1.隐函数求导法,2.幂指函数的求导法,幂指函数的求导方法有两种：,若幂指函数为,方法1：,对数求导法，,两端对x求导：,直接求导法,17,变形为,然后用复合函数,求导法求导.,方法2：,利用复合函数求导法,18,3.由参数方程所确定的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,即,反函数,19,六、应用,1.几何应用,(1)几何意义：,是y=f(x)在点,处切线的斜率.,(2)切线、法线的方程：,切线的方程：,法线的方程：,20,2.物理应用,瞬时速度：,瞬时加速度：,21,22,九、微分的概念,1.定义：,及,在这个区间内，,是可微的，,记作,或,即,(微分的实质),23,由定义知:可微,2.可微的充要条件,函数,且,4.可导与可微的关系:,可微,可导,连续,有极限,3.微分的计算公式:,24,1)基本初等函数的微分公式,5. 微分运算公式与法则,25,1)微分的四则法则：设 u(x) , v(x) 均可微 , 则,(C 为常数),2) 微分法则,2) 复合函数的微分法则：,26,解,典型例题分析,题型一、已知导数求极限,原式=,27,？,28,解,29,解,原式 =,例3.,30,例4.,解,题型二：已知极限求导数,31,1.分段函数在分界点处的求导问题,题型三：利用导数的定义求函数在某点的导数,以下情况必须用导数的定义求导数,32,33,例5,解,用定义,34,2.当不满足求导的条件时,例6,必须用定义,解,35,可导,例7,解,注意：求导法则的成立是有条件的.,36,3.当有抽象函数时必须用定义求导,例8,证明,37,4.用求导法则太麻烦时用定义求导,例9,解,(用定义),38,谢谢大家！,
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