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2020年9月1日星期二,1,第四节 隐函数求导与参数方程求导,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,三、相关变化率,第二章,2020年9月1日星期二,2,显函数: 因变量是由其自变量的某个算式来表示. 比如：,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题2: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?,问题1: 隐函数是否可导?,例如,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .,2020年9月1日星期二,3,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),解,2020年9月1日星期二,4,例2.,解,2020年9月1日星期二,5,例3. 求椭圆,在点,处的切线方程.,解: 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,2020年9月1日星期二,6,对数求导法,1.方法:,2.适用范围:,先在 两边取对数, 然后利用隐函 数的求导方法求出y的导数.,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数.,例如幂指函数：,两端对x求导：,2020年9月1日星期二,7,例3.,解,等式两边取对数得,也可这样求:,2020年9月1日星期二,8,例4.,解,等式两边取对数得,2020年9月1日星期二,9,另例,两边取对数,两边对 x 求导,2020年9月1日星期二,10,二、由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个 y 与 x 之间的函数,可导,且,则,时, 有,时,有,(此时看成 x 是 y 的函数 ),关系,2020年9月1日星期二,11,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它确定的函数,可求二阶导数 .,利用新的参数方程,可得,2020年9月1日星期二,12,?,例4. 设, 且,求,已知,解:,练习: P111 题8(1),解:,注意:,2020年9月1日星期二,13,例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解: 先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,2020年9月1日星期二,14,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,2020年9月1日星期二,15,例6. 设由方程,确定函数,求,解: 方程组两边对 t 求导 , 得,故,2020年9月1日星期二,16,另例.,解,所求切线方程为,另例.,解,2020年9月1日星期二,17,三、相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,2020年9月1日星期二,18,例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为 500 m 时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升 t 分后其高度为h ,仰角为 ,则,两边对 t 求导,已知,h = 500m 时,2020年9月1日星期二,19,思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以,100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m,时, 仰角的增加率是多少 ?,提示:,对 t 求导,已知,求,2020年9月1日星期二,20,试求当容器内水,例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 ,今以 自顶部向容器内注水 ,位等于锥高的一半时水面上升的速度.,解:设时刻 t 容器内水面高度为 x ,水的,两边对 t 求导,而,故,体积为 V , 则,2020年9月1日星期二,21,内容小结,1. 隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数,3. 参数方程求导法,极坐标方程求导,4. 相关变化率问题,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,2020年9月1日星期二,22,思考与练习,1. 求螺线,在对应于,的点处的切线方程.,解:化为参数方程,当,时对应点,斜率, 切线方程为,2020年9月1日星期二,23,2. 设,求,提示:分别用对数微分法求,答案:,2020年9月1日星期二,24,3. 设,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,再代入 得,求,作业 P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12,
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