共轭传播算子测向算法

第5期刘剑等：共轭传播算子测向算法19共轭传播算子测向算法刘剑1, 王延伟1, 黄知涛2, 周一宇2(1. 空军工程大学 电讯工程学院，陕西 西安 710077；2. 国防科技大学 电子科学与工程学院，湖南 长沙 410073)摘 要：针对一维信号提出了共轭传播算子测向算法(COP)，新算法利用了阵列输出数据的共轭，通过对阵列孔径的扩展，可对多于阵元数的信号进行测向，其分辨力和测角精度优于OPM(正交传播算子测向算法)和MUSIC算法。分析了新算法的均方误差性能和计算复杂度，得到了均方误差的解析表达式。仿真实验验证了COP算法的优良性能，均方误差的理论值与仿真值相符。关键词：阵列信号处理；测向；阵列扩展；传播算子方法中图分类号：TN911.7 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2008)05-0013-06Conjugate propagator method for direction findingLIU Jian1, WANG Yan-wei1, HUANG Zhi-tao2, ZHOU Yi-yu2(1. Telecommunication Engineering Institute, Airforce Engineering Univ., Xian 710077, China;2. School of Electronic Science and Engineering, National Univ. of Defense Technology, Changsha 410073, China)Abstract: A new direction finding algorithm called conjugate propagator method (COP) for one-dimension signals was proposed. The new algorithm uses the array output and its conjugate form to extend the array aperture so that it can detect more signals than sensors and has better performance (in terms of resolution and angular precision) than OPM (orthonormal-PM) and MUSIC algorithms. The mean square error (MSE) performance of COP was analyzed and the analytical expression of MSE was given. The computational complexity of COP was analyzed also. Simulation results show the better performance of COP than OPM and MUSIC algorithms and the accordance between the theoretical results and the simulation results. Key words: array signal processing; direction finding; aperture extension; propagator method1 引言收稿日期：2006-08-21；修回日期：2008-03-01基金项目：国家自然科学基金资助项目 (60502040)Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China (60502040)以MUSIC算法1为代表的子空间类高分辨测向算法可对多信号同时测向，测向精度也远高于传统测向方法，但这些算法需要对协方差矩阵进行特征分解(ED)或对数据矩阵进行奇异值分解(SVD)。传播算子方法(PM)2不需要ED或SVD，信号数远小于阵元数时计算量明显小于MUSIC算法。正交传播算子方法(OPM)在中高信噪比下的性能接近于MUSIC算法，低信噪比下对信号个数适当过估计其性能也接近于MUSIC算法2。但对OPM，可测向信号数小于阵元数、低信噪比小阵列情况下，若信号个数仅略小于阵元数，则OPM算法难以最佳过估计信号数，从而性能下降。利用高阶累积量对阵列进行扩展3可以解决这2个问题，但估计高阶累积量矩阵的计算量很大。为增加可测向信号数并提高测角精度和分辨力，同时保持较小的计算量，本文针对一维信号提出了共轭PM算法(COP)。2 数据模型及传播算子方法的测向原理2.1 数据模型假设有D个不相关窄带信号入射到M元阵列上，信号入射方向与阵列共平面，阵列位于远场。文中认为信号数D已知或已估计得到了。上标“*”表示共轭，“T”表示转置，“H” 表示共轭转置。阵列输出矩阵为(1)其中为信号矩阵， 为噪声矩阵，为方向矩阵，为信号矢量，为噪声矢量为方向矢量，为波长，()为阵元i的坐标(假设阵元0为参考阵元，位于原点，即)。假设信号为平稳的零均值随机过程，信号i()的功率为，噪声的实部与虚部不相关，每个阵元上的噪声功率均为，信号与噪声不相关。2.2 传播算子的定义假设导向矩阵A是列满秩的，则A中有D行是线性独立的，其他行可由这D行线性表示。以下分析中，总是假设其前D行是线性独立的。将导向矩阵分块为(2)其中，和分别为DD维和(MD)D维矩阵。假设非奇异，传播算子定义为由MD维复空间到D维复空间的惟一线性算子P，P满足(3)或(4)式中，表示的单位矩阵。可以证明2，Q的列张成的空间就是噪声子空间。2.3 传播算子方法的测向原理式(4)表明，导向矢量与Q的列向量正交，则DOA为式（5）的解(5)由此可得到类似MUSIC算法的空间谱函数(6)搜索式(6)空间谱的负峰就可以得到信号的波达方向(DOA)。如果噪声是白的，为提高算法性能，用矩阵Q的标准正交化形式代替Q，则有(7)正交传播算子方法(OPM)的空间谱函数为2(8)其中，为的估计值，估计方法如下。2.4传播算子的估计引入数据矩阵如下形式的分块(9)其中，和分别为DL维和(MD)L维矩阵，L为快拍数。传播算子的估计值由最小化下面的代价函数得到(10)其中，表示Frobenius范数。代价函数为的二次函数，最小化的最佳解为(11)亦可由阵列输出的协方差矩阵估计得到，方法与以上过程类似，参见文献2。3 共轭传播算子测向算法3.1阵列扩展测向中阵列扩展的概念首先是由Dogan等针对四阶测向算法提出的3。Dogan等利用虚拟互相关概念得到了四阶累积量与互相关的关系，将四阶累积量矩阵映射到协方差矩阵，相当于阵列孔径扩展。假设信号是非高斯的而噪声是高斯的，则协方差矩阵和四阶累积量矩阵可分别写为4 (12)(13)其中，和分别为信号矢量的协方差矩阵和四阶累积量矩阵，是由四阶累积量组成的矩阵。相对于式(12)，式(13)的导向矢量得到了扩展，而导向矢量与阵元位置是对应的，所以利用四阶累积量可以虚拟地增加阵元、扩展阵列孔径，从而提高算法的测向精度和分辨力4,5。阵列扩展是通过导向矢量的扩展实现的，这一思想也可用于传播算子测向算法。传播算子测向算法中，要求导向矩阵是列满秩的，所以信号数D必然小于阵元数M。由式(2)的矩阵分块，要想增大可测向的信号个数D，必须增加A的不相关的行数，一个简单的方法就是将A的共轭与A同时使用，构成扩展的导向矩阵。参考阵元在A中对应的行与其共轭是相同的，将这一行去掉。定义扩展导向矢量为，其中， T，其中，。这就相当于虚拟出了坐标为的阵元，阵列扩展的示意图见图1。图1中实点表示实际阵元，空心点表示虚拟出的阵元。扩展导向矩阵为。对B如下分块(14)假设是非奇异的，于是得到扩展传播算子，满足(15)即(16)图1 阵列扩展示意图利用QE与扩展导向矢量的正交性可进行测向，如何由阵列输出得到QE请见3.2节。3.2 共轭传播算子测向算法(COP)对于BPSK和AM等一维信号，6。记，符号“”表示无噪声量。将式(14)乘以可得(17)其中，和分别为DL维和(2MD1)L维矩阵。此时有(18)存在噪声时，扩展传播算子的估计值由式(19)给出(19)其中，为存在噪声的数据。在此注意到，扩展后噪声的统计特性满足(20)(21)其中，为的第i行。类似于式(16)，可得到(22)对其进行标准正交化(23)则共轭传播算子测向算法(COP)的空间谱函数为(24)由PM的原理及3.1节阵列扩展的概念可知，只要扩展导向矩阵的前D行是线性独立的，COP算法就适用。也就是说，当信号入射角度各不相同时，COP算法适用于均匀线阵以及所有满足导向矩阵前D行线性独立的其它阵列。3.3COP算法测向的均方误差性能记无噪声时COP算法的零谱函数为(25)其中，。为书写方便，将存在噪声时COP算法的零谱函数式(24)记为，则对的一阶导数为 (26)其中，为对的一阶导数。由式(16)，则的二阶导数为 (27)记为的估计值，则，由一阶泰勒展开式得7(28)式(28)中最后一步忽略的是的高阶小量。所以 (29)式(28)中， 2。所以，(30)式(30)中，。记，则标量u满足(31)记和 ，则，所以(32)其中，。所以(33)类似于式(32)，有(34)其中，又，所以(35)显然，,其中，。利用式(33)、式(34)和式(31)及式(30)，可得信号i的测向均方差为(36)其中，为的前D个元素组成的列向量，为信号i的信噪比。3.4 COP算法的计算复杂度传播算子类测向算法最大的优点是不需要ED或SVD，从而降低计算量。MUSIC算法中，对协方差矩阵进行ED所需的计算量约为次复数乘法，由数据矩阵估计协方差矩阵约需次复数乘法，直接对数据矩阵进行SVD的计算量为次复数乘法。通常LM，所以MUSIC算法的主要计算量为次复数乘法。COP算法中，由式(19)计算扩展传播算子的计算量为次复数乘法，对进行Gramm-Schmidt正交化需要 次复数乘法。当时，COP与MSUIC算法的计算量之比约为。这说明，阵元较多而信号较少时，COP的计算量小于MUSIC算法。4 仿真结果仿真中采用均布4元线阵，阵元间距半波长，信号形式BPSK，信号间不相关，高斯白噪声，快拍数50，主要验证COP算法的阵列扩展能力、分辨力与测角精度、信号数过估计的影响。实验1 阵列扩展。假设有6个BPSK信号入射到阵列，波达方向为40，60，80，100，120，140，信噪比均为10dB。COP算法用了阵列流形的共轭，等效于阵列孔径扩展，故可对多于阵元数的信号进行测向。在均布线阵条件下，COP算法可将M元阵列扩展到(2M-1)元阵列，可测向信号数为(2M2)个。图2为COP算法20次空间谱的叠加。图2. COP算法的空间谱实验2 分辨力与测角精度。2个信号从85，95入射，等信噪比220dB，分辨力和测角精度由300次测向结果的统计得到。仿真中，空间谱只有一个负峰时认为分辨不成功，并令两个角的估计值都等于这个负峰对应的角度，第i ( i=1,2)个入射角的均方根误差定义为，总的测角均方根误差为两个信号均方根误差的平均，分辨概率定义为成功分辨两个源的次数与总实验次数的比值。由图3可以看出COP算法的均方根误差明显小于OPM和MUSIC算法，而较低信噪比下分辨概率明显高于OPM和MUSIC算法，并且由式(36)得到的COP算法测角均方误差的理论值与实际仿真值很接近。实验3 信号数过估计对COP算法分辨力和测角均方根误差的影响。信噪比为2dB，其他仿真条件同实验2，图4给出信号数估计值为26时COP算法的性能。文献2已指出，低信噪比下对信号数适当过估计会提高传播算子类算法的测向性能。由图4可知信号数估计为5时COP算法的分辨力和测角均方根误差性能均达到最佳。文献2提出，信噪比较低时信号数适当过估计可使OPM的性能接近于MUSIC算法，而图3中OPM性能明显比MUSIC差，这是因为阵列孔径较小，可以对信号数过估计的余地很小。而COP算法虚拟出了更多的阵元，可由过估计信号数进一步提高算法性能，如图4所示。(a) 分辨力(b) 均方根误差图3 分辨力与测角均方根误差(a) 分辨力(b) 均方根误差图4 信号数过估计对COP算法性能的影响5 结束语提出了适用于一维信号的共轭传播算子测向算法(COP)，新算法利用了阵列输出数据的共轭，扩展了阵列孔径，可对多于阵元数的信号进行测向，其分辨力和测角精度优于OPM和MUSIC算法，低信噪比下对信号数适当过估计可进一步提高算法性能。通过对COP算法零谱函数的一阶泰勒展开分析了其均方误差性能，得到了均方误差的解析表达式；分析了COP算法的计算复杂度。仿真实验验证了COP算法的优良性能，均方误差的理论值与仿真值相符。参考文献：1SCHMIDT R O. Multiple emitter location and signal parameter estimation J. IEEE Trans，AP-34, 1986, (3): 276-280.2MARCOS S, MARSAL A, BENIDIR M. The propagator method for source bearing estimationJ. Signal Processing-42, 1995, (2): 121-138.3DOGAN M C, MENDEL J M. Application of cumulants to array processing-part I: aperture extension and array calibrationJ. IEEE Trans SP-43, 1995, (5): 1200-1216.4CHEVALIER P, FERREOL A. On the virtual array concept for the fourth-order direction finding problemJ. IEEE Trans SP-47, 1999, (9): 2592-2595. 5PORAT B, FRIEDLANDER B. Direction finding algorithms based on high-order statisticsJ. IEEE Trans SP-39, 1991, (9): 2016-2023.6TAYEM N, KWON H M. Conjugate ESPRIT(C-SPRIT)J. IEEE Trans AP-52, 2004, (10): 2618-2624.7STOICA P, NEHORAI A. MUSIC, maximum likelihood, and cramer-rao boundJ. IEEE Trans ASSP-37, 1989, (5): 720-741.作者简介：刘剑（1978-），男，山东潍坊人，博士，空军工程大学电讯工程学院讲师，主要研究方向为阵列信号处理、综合电子战、卫星通信。王延伟（1978-），男，河南平顶山人，硕士，空军工程大学电讯工程学院讲师，主要研究方向为无线通信理论。黄知涛（1976-），男，湖北荆州人，博士，国防科技大学副教授，主要研究方向为循环平稳信号处理、综合电子战。周一宇（1948-），男，上海人，博士，国防科技大学教授，主要研究方向为综合电子战。