7.2 正项级数的判别法

第7章 无穷级数 7.2 正项级数的判别法 习题解1用比较判别法或极限判别法判别下列级数的敛散性：；【解】给定级数为，是正项级数，由于（），而级数发散（为调和级数），即由比较判别法知，级数发散。；【解】给定级数为，是正项级数，由于，有（），而级数是级数，知级数收敛，即由比较判别法知，级数收敛。；【解】给定级数为正项级数，由于，有（），而级数是调和级数，发散，即由比较判别法知，级数发散。；【解】给定级数为正项级数，由于有（），而级数是级数，知级数收敛，即由比较判别法知，级数收敛。；【解】由于，给定级数为正项级数，由于（），而级数是公比的等比级数，收敛，即由比较判别法知，级数收敛。（）。【解】由于，给定级数为正项级数，当时，由有（），而级数是公比的等比级数，收敛，由比较判别法知，级数当时收敛；当时，级数是常数级数，发散；当时，由于，得，由级数收敛的必要条件（性质7.1.5）知，这时级数发散。综上知，级数当时收敛，当时发散。2判别级数的敛散性。【解】由于，由定理7.2.3（比较判别法的极限形式）知，级数与级数具有相同的敛散性，而级数是级数，级数收敛，从而知，级数也收敛。3用比值判别法判别下列级数的敛散性：；【解】由于，由比值判别法知，级数发散。；【解】由于，由比值判别法知，级数收敛。；【解】由于，由比值判别法知，级数收敛。；【解】由于，又因当时，可得，由比值判别法知，级数收敛。；【解】由于，由比值判别法知，级数收敛。【解】由于，由比值判别法知，级数发散。*4用根值判别法判别下列级数的敛散性：；【解】由于，由根值判别法知，级数收敛。；【解】由于由根值判别法知，级数收敛。；【解】由于，由根值判别法知，级数收敛。；【解】由于，由根值判别法知，级数发散。【解】由于由根值判别法知，级数收敛。5判断下列级数的敛散性：；【解】由于，由比值判别法知，级数收敛。；【解】由于，由比值判别法知，级数收敛。；【解】由于,由比较判别法的极限形式知，级数与级数具有相同的敛散性，而级数是调和级数，发散，从而知，级数发散。；【解】由于，由比值判别法知，级数收敛。；【解】由于，即级数的一般项不趋于0，由级数收敛的必要条件知，级数发散。；【解】由于，（），而级数，其中是调和级数，发散，由性质7.1.1知也发散，即由比较判别法知，级数发散。【解】由于为正项级数，且（），而级数是公比的等比级数，收敛，即由比较判别法知，级数收敛。6设（），且及均收敛，证明级数收敛。【证明】因为及均收敛，由性质7.1.2知，收敛，由得，（），由比较判别法知，收敛，而因为及均收敛，由性质7.1.2知，收敛。证毕。8