高三文科数学建模应用题

高三文科数学建模应用题一与导数与不等式有关的应用问题1某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数）,且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用; （2）能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米（）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？二、分段函数有关的应用问题3、（2009汕头）某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x万件并全部销售完，每万件的销售收入为R（x）万元.且（1）写出年利润y（万元）关于年产量x（万件）的函数关系式；（2）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润二年销售收入年总成本）4、（2009韶关一中）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）三、与数列有关的应用问题5. 某种汽车购车时费用为10万元，每年保险，养路、汽油费用9千元汽车的维修费各年为：第一年二千元，第二年四千元，第三年六千元，依每年2千元的增量逐年递增问这种汽车最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？6、某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？四、与线性规划有关的应用问题7教学楼建好后，需要对房间的内墙再进行一次粉刷装修，结合勤工俭学，并培养学生的实践能力，决定自制一种涂料，提供给装潢公式下表为制造涂料所需的各种原材料和购进的量，制造每千克高档涂料与或普通涂料所需要的原料以及利润（其它的原料本题不作考虑）胶水双飞粉白乳胶利润高档涂料/千克100克200克300克3元普通涂料/千克300克200克100克2元存量1500千克1200千克1500千克（1）现有原料的情况下，要想获得最大利润，问普通涂料和高档涂料应各生产多少千克？（2）在获得最大利润时，何种原料有剩余，能剩余多少？8 教学楼包装好后，学校预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不能少于桌子数，且不能多于桌子数的1。5倍问桌椅各买多少才行？ 五、与几何体有关的应用问题9(川陕云文科21) (满分12分)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?xyo图5925539GBA10 在广铁一中的东南方有一块如图所的地，其中两面是不能动的围墙，其余各边界是不能动的一些体育设施现准备在此建一栋教学楼，使楼的底面为一矩形，且靠围墙的方向须留有5米宽的空地，问如何设计，才能使教学楼的面积最大？六、与三角相关有关的应用问题11、（2009饶平）如图，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。(1) 设，求用x表示y的函数关系式并写出其定义域；(2) 求函数y的最小值。2011届华侨中学高三文科数学（奥班）建模应用题答案1.解：（1）设题中比例 系数为,若每批购入台,则共需分批,每批价值为20元. 由题意 分 由 =4时,=52 得 分 分（2）由（1）知 （元）分当且仅当 ,即 时,上式等号成立.分故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用. 14分2.解：（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗油（升）。 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得: 令得 当时，是减函数； 当时，是增函数。当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升。4解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。4分（II）当时， 当 时， 当时， 所以9分（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则 当时，； 当时， 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元。3.解：（1）当0x10时，（2）当0x10时，当x10时，（万元）（当且仅当时取等号）综合知：当x=9时，y取最大值故当年产量为9万件时，服装厂在这一品牌服装的生产中获年利润最大5解：设汽车使用x年报费最合算第x年的维修费为0。2x，x年的维修总费用为x年所有开支总费用为100.9x故年平均费用1213当且仅当时，即x10时，等号成立即使用10年报费最合算，年平均费用为3万元6.解: ()依题意知，数列是一个以500为首项，20为公差的等差数列，所以，3分 6分)依题意得，即，可化简得，8分可设，又，可设是减函数，是增函数，又则时不等式成立，即4年12分答：略 13分xyo图l1:x3y1500Al2:xy6000l3:3xy15007.解：（1）设高档涂料和普通涂料应各生产x千克和y千克，获得的利润为z则，即利润z3x2y可行性区域如图所示的阴影部分其中l1：x3y15000；l2：xy6000，l3：3xy15000，l1与l2的交点为A(1500，4500)，l1与l3的交点为B(3250，3250)，l2与l3的交点为C(4500，1500)，因目标函数z3x2y在可行域上的最大值在区域边界的A(1500，4500)处取得，此时z的最大值为345002150016500故知普通涂料和高档涂料应各生产1500千克和4500千克；（2）这时所用面粉为45100001530000900000克，故还余面粉1500900600（千克）8解：设桌、椅分别买x、y张，把所给条件表示为不等式组，即约束条件为xyo图l1:y1。5xzxyl3:5x2y55l2:yx设zxy，点(x，y)的可行性区域如图所示的阴影部分其中l1：5x2y200；l2：yx，l3：y1。5x，l1与l2的交点为A(，)，l1与l3的交点为B(25，)，所以满足条件的可行性区域是以A(，)、B(25，)、O(0，0)为顶点而构成的三角形区域由图形的直观性可知，目标函数zxy在可行域内的最优解是(25，)，但注意到x、yN，故取y37故买桌子25，椅子37张是满足条件的最好选择9解 设容器的高为x，容器的体积为V， 则V=（90-2x）（48-2x）x,(0V24) =4x3-276x2+4320xV=12 x2-552x+4320 由V=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36x0,10x36时，V36时，V0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960 又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V有最大值V(10)=196011 解：（1）在ADE中， 又 ，故，即，当点与点重合时，解得，故， 6分代入得，又10分（2）， 当且仅当，即时取等号，所以当时，函数y取得最小值为。14分解：由图建立如图所示的坐标系，可知AB所在的直线方程为1，即 xy20设G(x，y)，由y20x可知G(x，20x)S395(20x)23(5x)(14x)(18x)x24x1814(x2)2256由此可知，当x2时，S有最大值256平方米故在线段AB上取点G(2，18)，过点分别作墙的平行线，在离墙5米处确定矩形的另两个顶点H、I，则第四个顶点K随之确定，如此矩形地面的面积最大4、（2009广东四校）一根水平放置的长方形枕木的安全 负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.（1）将此枕木翻转（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的柱形木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：（1）安全负荷（k为正常数），翻转90后，.，当0da时，安全负荷变大；当0a0则 (t3x)225(400x2) t26xt9x22540025x216x26tx40025t20 36t2416(40025t2)0即t216400 t0 t42080， 当且仅当，t80时，y最小。此时，x15 (0，100)。即当点D距A为15公里时，运费最低。3、甲乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度u(千米/小时)的函数关系是。 （1）试将全程运输成本Q(元)表示为速度u的函数； （2）为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值。解：令（舍去）或当 当时，全程运输成本取得极小值，即最小值。从而元