第06章势流理论

1第六章第六章 势流理论势流理论势流势流:理想流体绕物体的流动理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。或为无旋流动。像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。研究可获得满意结果。.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的流体力学最终目的是求流体作用于物体上的 力和力矩；力和力矩；求解势流问题的思路如下：求解势流问题的思路如下：.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即为求力和力矩，须知物面上压力分布，即 须解出未知的压力函数（须解出未知的压力函数（x x，y y，z z，t t）课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？2.利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，要求出，必须先求出速度要求出，必须先求出速度V V.对于势流，存在速度势函数对于势流，存在速度势函数，满足：满足：222,xyzxyzvvvxyzVvvv（-）(-).满足拉普拉斯方程：满足拉普拉斯方程：2222220 xyz（-）若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉斯方程可以解出斯方程可以解出。3 解拉普拉斯方程解拉普拉斯方程流体作用于流体作用于固体的力和力矩。固体的力和力矩。求解思路可简述为：求解思路可简述为：求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍一个简单的方法：一个简单的方法：“迭加法迭加法”迭加迭加法法：预先选出一个：预先选出一个“调和函数调和函数”，或数个调，或数个调和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数就是所需要的解。就是所需要的解。41.1.着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流）着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流）2.2.几几种最简单的势流（种最简单的势流（几几个调和函数）个调和函数）3.3.绕圆柱体的无环流绕圆柱体的无环流流动流动4.4.绕圆柱体的有环流流动绕圆柱体的有环流流动5.5.附加惯性力与附加质量附加惯性力与附加质量6.6.作用于流体上的力和力矩作用于流体上的力和力矩本章主要研究内容：本章主要研究内容：5明确两点重要结论：明确两点重要结论：）圆柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻）圆柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻 力为零（达朗贝尔谬理）；升力也为零。力为零（达朗贝尔谬理）；升力也为零。）若圆柱体本身转动，则它要受到升力的作）若圆柱体本身转动，则它要受到升力的作 用，即著名的麦格鲁斯效应。用，即著名的麦格鲁斯效应。本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。简单问题的求解。6平面流动（或称二元流动）应满足的条件：平面流动（或称二元流动）应满足的条件：平面上任何一点的速度和加速度都平行于所平面上任何一点的速度和加速度都平行于所 在平面，无垂直于该平面的分量；在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的与该平面相平行的所有其它平面上的流所有其它平面上的流动情况完全相同。动情况完全相同。图图 6 61 16-1 几种简单的平面势流几种简单的平面势流7 船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。流动。图图 6 62 280 xyddxdyV dxV dyV dxxy 设所有流体质点均具有设所有流体质点均具有与轴平行的均匀速度与轴平行的均匀速度V Vo o，V VV Vo o，V Vy y现求现求和和。平面流动速度势的全微分为：。平面流动速度势的全微分为：积分常数不起作用，可省去。积分常数不起作用，可省去。积分得势函数：积分得势函数：（-4-4）0V x一、均匀流一、均匀流9yxoddxdyV dx Vdy Vdyxy流函数的全微分：流函数的全微分：积分得流函数：积分得流函数：V Vo o （-5-5）由（由（-4-4）和（和（-5-5）有：）有：constconst，等势线，等势线=const=const，流函数等值，流函数等值 线（流线）线（流线）两组等值线相互正交两组等值线相互正交图图6 63 310例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流。动或薄平板的均匀纵向绕流。图图6 64 4 流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，反向流动谓之汇。反向流动谓之汇。二、源或汇二、源或汇11设源点坐标原点流出体积流量为设源点坐标原点流出体积流量为V Vr r=f(r)=f(r)，V V =0=0不可压缩流体的连续性方程：不可压缩流体的连续性方程：2rV 2rVr r V Vr r/2r /2r （-6-6）xyVVxyyx 在直角坐标系下：在直角坐标系下：在极坐标下：在极坐标下：11rsVVrsrsrr（6 67 7）图图6 65 512采用极坐标，由采用极坐标，由和和的全微分积分：的全微分积分：()2()2QddrdV dr rV ddrrsrrQddrdV dr rV ddsrr 流线为流线为constconst，为，为原点引出的原点引出的 一组射线一组射线等势线为等势线为constconst，流线为同心圆流线为同心圆,相互相互正交。正交。图图6 66 6ln22QQr（-8）13 对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，可以用源（汇）的速度势来描述。可以用源（汇）的速度势来描述。图图6-7当，则当，则 V V为点源，反之为点汇。为点源，反之为点汇。14 无界流场中等流量的源和无界流场中等流量的源和汇无限靠近，当间距汇无限靠近，当间距xx时，流量时，流量，使得两者之，使得两者之积趋于一个有限数值，即：积趋于一个有限数值，即：xx （xx）(6-9)(6-9)用迭加法求用迭加法求和和这一流动的极限状态称为偶极子，为偶极矩。这一流动的极限状态称为偶极子，为偶极矩。图图6 68(a)8(a)三、偶极子三、偶极子15r rr r2 2x cosx cos 当当xx时，时，xx，1 1 ，r r2 2rr1212(lnln)2Qrr场点离源和汇的距离场点离源和汇的距离1212212coslnln22ln()os2c1rrxrrQrQQx是个小量，利用泰劳展开得是个小量，利用泰劳展开得:12cos2Qxr=1623ln(1)23zzzz利用泰劳展开利用泰劳展开:展开后并略去展开后并略去x x 二阶以上小量，可得：二阶以上小量，可得：12cos2xQr12cosxzr令令极坐标下：极坐标下：cos2Mr（-0 0）222Mxxy（-11-11）直角坐标下：直角坐标下：17对于流函数：对于流函数：1212()()22QQ这里：这里：r r2 2 x x Sin Sin1 112sinxr所以所以2sin2Mxr代入上式得代入上式得:当当x0 x0时，时，xx，2 2，1 1118sin2Mr（-12-12）流函数为：流函数为：222Myxy 直角坐标系下：直角坐标系下：令令C即得流线族：即得流线族：222Mycxy122ycxy或或即即2210yxyc2221111()24xycc 配方后得配方后得:（1414）（-13-13）19流线流线：圆心在轴上，与：圆心在轴上，与x x轴相切的一组圆，轴相切的一组圆，轴线：源和汇所在的直线轴线：源和汇所在的直线等势线等势线：圆心在轴上，与轴相切的一组圆。：圆心在轴上，与轴相切的一组圆。这些圆与这些圆与constconst正交正交注意：注意：偶极子的轴线和方向偶极子的轴线和方向方向：由汇指向源的方向方向：由汇指向源的方向图图6-8（b）偶极子的方向偶极子的方向为轴负向为轴负向流线、等势线20点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，方向垂直于方向垂直于x0yx0y平面，与平面，与xoyxoy平面的交点平面的交点诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小与半径成反比：与半径成反比：02srvvr（1515）图图 6-96-9涡索旋涡强涡索旋涡强度度所求速度的点所求速度的点到点涡的距离到点涡的距离采用极坐标来求采用极坐标来求和和四、点涡（环流）四、点涡（环流）212rsdv drv rdd积分得速度势函数积分得速度势函数:2（1616）流函数流函数2srdvdr vrddrr积分得流函数：积分得流函数：ln2r（1717）图图 6-96-9流线：流线：constconst同心圆同心圆对应于反时针的转动对应于反时针的转动对应于顺时针的涡旋对应于顺时针的涡旋22叠加的例子叠加的例子前一节介绍的几种简单的势流，象均前一节介绍的几种简单的势流，象均匀流、偶极子、点涡等。这些都是调匀流、偶极子、点涡等。这些都是调和函数，具有可叠加性。现将其中的和函数，具有可叠加性。现将其中的两个或两个以上迭加起来，可获得比两个或两个以上迭加起来，可获得比较有实际意义的结果。较有实际意义的结果。下面看两个基本解叠加的例子。下面看两个基本解叠加的例子。231 直匀流直匀流+点源点源xyQyvQyvarctan22正正x方向的直匀流和原点处的点源叠加，其流方向的直匀流和原点处的点源叠加，其流函数为函数为(1)叠加的速度场为叠加的速度场为222222yxyQxvyxxQvyvyx(2)rQxvln2 241 直匀流直匀流+点源点源流场中的驻点可由流场中的驻点可由vx=vy=0的条件去找，结果为的条件去找，结果为(3)vQxySS 2,0 SSvQr,2 式中，式中，xS，yS驻点驻点S的坐标。的坐标。或或过驻点的流线方程记为过驻点的流线方程记为=CS，将，将(3)代入代入(1)式，令其等于，式，令其等于，CS，即得，即得CS=Q/2，所以过，所以过S点的流线方程为点的流线方程为)(2 vQy(4)251 直匀流直匀流+点源点源图所示是直匀流、点源以及它们叠加后的流线图。如果将图所示是直匀流、点源以及它们叠加后的流线图。如果将过驻点的流线视为物面，该流线以外的流场相当于直匀流过驻点的流线视为物面，该流线以外的流场相当于直匀流绕过一半无穷长柱状物体的流场。在无穷远处绕过一半无穷长柱状物体的流场。在无穷远处r，此时此时=0，过，过S点的流线在无穷远处的半宽为点的流线在无穷远处的半宽为ymax=Q/2v。262 点汇点汇+涡涡在原点的点汇和逆时针转向的点涡叠加，流函数为在原点的点汇和逆时针转向的点涡叠加，流函数为rQln22 流线方程为流线方程为=C1，即，即rQCln221 (6.5.30)整理化简后得整理化简后得QCer/(6.5.31)说明流线为对数螺线，说明流线为对数螺线，其流线也可用叠加的方其流线也可用叠加的方法画出，如图所示。法画出，如图所示。27绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶 极子迭加形成的流动。极子迭加形成的流动。均匀流动均匀流动 +偶极子偶极子 =绕圆柱体的无环流流动绕圆柱体的无环流流动6-2 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理下面先看绕圆柱体的无环流流动的情况下面先看绕圆柱体的无环流流动的情况再看均匀流动再看均匀流动 +偶极子流动情况偶极子流动情况281.无穷远条件无穷远条件:圆柱表面不可穿透，即圆柱表面不可穿透，即 r r=0 0处，有处，有 V V=V V=，或或=0 0 的圆周是一条流线。的圆周是一条流线。在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处为均匀流。为均匀流。2.物面条件物面条件:圆柱绕流的边界条件：圆柱绕流的边界条件：29（a a）无穷远条件：）无穷远条件：（）物面条件：（）物面条件：r=r，v=vr=或或r=r处处=（零流线）（零流线）00 xyVVV 或或00cossinrVVVV 边界条件的数学式表达边界条件的数学式表达30均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:12012022MCosV rCosrMSinV rSinr（18）（19）均匀流动均匀流动+偶极子流动情况偶极子流动情况令（令（619）式为零：）式为零：0()02MSinrVr若若Sin，有，有或或因此因此的流线中有一部分是的流线中有一部分是x轴轴31若若 ，即即002MV rr202MrV2002MrV令令 ,就有就有r r=r r0 0，圆周圆周r r=r r0 0 也是也是流线的一部分流线的一部分32现在验证边界条件（）现在验证边界条件（）验证边界条件验证边界条件00cossinrVVVV 当当，从上式可得，从上式可得:20022002cos(1)1sin(1)rrVVrrrVVrr(6 21)20 02MVr将将 代入代入，有：，有：200cos()rVrr(6-20)当当=时，时，V V0,0,满足满足不可穿透条件不可穿透条件。验证边界条件（验证边界条件（b）33上述结果表明：上述结果表明：1.1.无界流场中，均匀流和偶极子迭加的速度势，无界流场中，均匀流和偶极子迭加的速度势，完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的边界条件。边界条件。2.2.无界流场中，均匀流和偶极子迭加后的流场在无界流场中，均匀流和偶极子迭加后的流场在区域的流动情况与均匀流绕圆柱的流动区域的流动情况与均匀流绕圆柱的流动情况完全一样。情况完全一样。迭加后将迭加后将的部分去掉，用的部分去掉，用的圆柱体替代不会对流场有任何影响。因此绕的圆柱体替代不会对流场有任何影响。因此绕圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极子的速度势。子的速度势。34由（由（-21-21）式，当）式，当时：时：002sinrVVV（2222）与与s(圆弧圆弧)坐标坐标方向相反方向相反对，两点：对，两点：或，或，驻点：驻点：速度为零的点速度为零的点圆柱表面的速度分布圆柱表面的速度分布35速度达到最大值，与圆柱体半径无关。速度达到最大值，与圆柱体半径无关。在流线在流线 上（包括轴和圆柱表面）：上（包括轴和圆柱表面）：1.1.流体从流体从以流速以流速V V流向圆柱，接近圆柱速逐流向圆柱，接近圆柱速逐 渐减小，到达点时速度降至零。然后分为二渐减小，到达点时速度降至零。然后分为二 支向两侧流去，同时速度逐渐增大，到达支向两侧流去，同时速度逐渐增大，到达B B，D D 点时速度增至点时速度增至2V2V达最大值。达最大值。，两点：，两点：（6 62323）022VV 362.2.经过，后又逐渐减小，在点汇合时速度经过，后又逐渐减小，在点汇合时速度又降至零。离开点后，又逐渐加速，流向后方又降至零。离开点后，又逐渐加速，流向后方的无限远处时再恢复为的无限远处时再恢复为。定常，不计质量力的拉格朗日积分式为定常，不计质量力的拉格朗日积分式为:220022VVpp将（将（-22-22）式代入即得圆柱表面上压力分布）式代入即得圆柱表面上压力分布:2200(1 4sin)2Vpp（2424）无穷远均匀流中压力无穷远均匀流中压力柱面上的压力分布柱面上的压力分布:3741 4sinpC（-2-2）圆柱体上：圆柱体上：（2525）02012pppCV压力分布既对称于轴压力分布既对称于轴也对称于轴。也对称于轴。在，两点压力最大在，两点压力最大 在，两点压力最小在，两点压力最小压力系数压力系数:238-处处：C C=，压力渐大，压力渐大点达极大点达极大C C 分两支分别流向，点。分两支分别流向，点。沿沿这条流线的压力变化为：这条流线的压力变化为：，点：压力为极小值，点：压力为极小值 C C点：恢复到极大值，点：恢复到极大值，C C，点，点 +压力再次减小至压力再次减小至p p0 0，C C39升力升力L L：合力在轴上的分量合力在轴上的分量阻力阻力R R：合力在合力在x轴上的分量轴上的分量绕圆柱的无环量流动：绕圆柱的无环量流动：升力升力 压力分布对称于轴压力分布对称于轴阻力阻力 压力分布对称于压力分布对称于 y y轴轴结论与实验结果矛盾实测结果：称为达朗贝结论与实验结果矛盾实测结果：称为达朗贝尔谬理，它在理论上很有意义。尔谬理，它在理论上很有意义。理想流体对圆柱体的作用力理想流体对圆柱体的作用力:40破坏了压力分布对轴的对称性破坏了压力分布对轴的对称性负压负压正压正压41达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为：达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为：.理想流体理想流体.物体周围的流场无界物体周围的流场无界.物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点.物体作等速直线运动物体作等速直线运动.物体表面流动没有分离物体表面流动没有分离 若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。流体的作用力（阻力或升力）。由达朗贝尔谬理，可分析物体在流体中运动由达朗贝尔谬理，可分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。时可能受力的种类及其本质。达朗贝尔谬理成立的条件达朗贝尔谬理成立的条件426-3 绕圆柱体的有环量流动绕圆柱体的有环量流动-3-3 绕圆柱体的有环量流动麦格鲁斯效应绕圆柱体的有环量流动麦格鲁斯效应 环量为环量为顺时针平面点涡顺时针平面点涡绕圆柱体的有环量流动：绕圆柱体的有环量流动：绕圆柱体的无环流绕圆柱体的无环流边界条件仍成立：边界条件仍成立：1.1.圆柱是一条流线圆柱是一条流线 2.2.无穷远处的边界条件无穷远处的边界条件43将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加：将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加：200200cos()2sin()ln2rVrrrVrrr（6-296-29）顺射针转动取负顺射针转动取负当当=o o (圆周仍为流线圆周仍为流线)0ln.2rconst流场中速度分布为流场中速度分布为:20022002cos()1sin(1)2rrVVrrrrVVrrr(6-30)(6-30)1-44r=r=0 0 即圆柱表面上速度分布：即圆柱表面上速度分布：由环流引起由环流引起圆柱上表面：圆柱上表面：顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速度方向相同，故速度增加。度方向相同，故速度增加。圆柱下表面：圆柱下表面：方向相反，因而速度减少。方向相反，因而速度减少。（6 63131）0012sin2VVr 0rV 45驻点位置驻点位置驻点位置与驻点位置与的大小有关的大小有关(绝对值绝对值)：0002 sin2sVr驻点处驻点处=，由（，由（6-316-31）有）有解出驻点位置解出驻点位置 ：00sin4srV（6 63232）两驻点在圆柱面上两驻点在圆柱面上 ,并对称位于三、四象限。并对称位于三、四象限。增加，则增加，则 A,BA,B两驻两驻点下移，并互相靠拢。点下移，并互相靠拢。1）4r4r0 0V V0 0462 2）4r4r0 0V V0 0 两个驻点重合成一点。两个驻点重合成一点。3 3）4r4r0 0V V0 0驻脱离圆柱面沿轴向下。驻脱离圆柱面沿轴向下。令式（令式（6-306-30）中）中 V V=V=V =，解出两个驻点：解出两个驻点：一个在圆柱体内，一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。另一个在圆柱体外。实际只有一个在圆柱体外的实际只有一个在圆柱体外的自由驻点。自由驻点。471.1.合成流动对称于轴，圆柱仍将不受阻力合成流动对称于轴，圆柱仍将不受阻力 2.2.合成流动不对称于轴，产生了向上的升力合成流动不对称于轴，产生了向上的升力结论：结论：4822200(2sin)222vpCCVr将圆柱表面上速度分布：将圆柱表面上速度分布：V-2V0sin -代入伯努利方程得：代入伯努利方程得：（6 63333）222002200sin2sin8VCVrr压力分布：压力分布：20021vpC02 r式中式中4920020dsindsinrpspL222320000sin0,sin0,sinddd 将（将（-33-33）代入上式，并考虑到）代入上式，并考虑到单位长圆柱所受到单位长圆柱所受到的升力的升力500LV于是得到升力的大小于是得到升力的大小：（6 63434）上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系：上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系：即升力的大小和与环量即升力的大小和与环量成正比，此外还成正比，此外还和流体密度和流体密度及来流速度及来流速度V V成正比。成正比。称为称为库塔库塔儒可夫斯基升力定理儒可夫斯基升力定理vL051右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转9090 该定理在绕流问题中具有普遍意义，不仅该定理在绕流问题中具有普遍意义，不仅对圆柱对圆柱而且对有尖后缘的任意翼型都是正确的。而且对有尖后缘的任意翼型都是正确的。真实流体由于粘性，圆柱后部会有分离，除真实流体由于粘性，圆柱后部会有分离，除升力外还会有阻力，但升力仍可用（升力外还会有阻力，但升力仍可用（-3-3）式计算。式计算。升力的方向升力的方向:vL052绕旋转圆柱体流动会产生升力绕旋转圆柱体流动会产生升力的现象。的现象。如乒乓球、排球、足球中的弧圈球、飞如乒乓球、排球、足球中的弧圈球、飞行而又旋转的炮弹等受到横向力的作用，都行而又旋转的炮弹等受到横向力的作用，都是这一原理的应用。是这一原理的应用。麦麦格鲁斯效应：格鲁斯效应：53香蕉球香蕉球54 德国工程师弗来脱纳尔于德国工程师弗来脱纳尔于19241924年利用麦年利用麦格鲁斯效应在他的试验船格鲁斯效应在他的试验船BuckanBuckan号上设置铅垂的旋转圆号上设置铅垂的旋转圆柱以代替风帆，柱以代替风帆，即旋筒推进器。即旋筒推进器。旋筒推进器：旋筒推进器：旋转圆筒旋转圆筒合速度合速度V V升力升力 V V推力推力:L L在船前在船前进方向的分力进方向的分力L L的分力的分力55例例6.2 6.2 已知速度势已知速度势=x=x-x yx y2 2，求流函数，求流函数22336xyVxyVxyyx 2336xyVxyVxyxy解解:2222(33)()3()xy dyf xx y yf x积分得积分得:式中式中f f(x x)为与为与y y无关的函数。将无关的函数。将对对x x求导求导:6()6yxyf xVxyx即即f(x)=Cf(x)=C。则流函数为。则流函数为:223x y yc例例6.26.232356例例6.36.322Q 1ln2r例例6.3 6.3 已知平面点涡的流函数和平面点汇的流已知平面点涡的流函数和平面点汇的流 函数分别为函数分别为 和和求：叠加后的速度势求：叠加后的速度势12ln22Qr解解:11()22QQrrrr而而ln()2QrC 积分得：积分得：(a)(a)对对求导得求导得:()C另外另外22rrrr()2C 所以所以即即()2C ln22Qr 代入代入(a)(a)得势函数得势函数:572 点汇点汇+涡涡在原点的点汇和逆时针转向的点涡叠加，流函数为在原点的点汇和逆时针转向的点涡叠加，流函数为rQln22 流线方程为流线方程为=C1，即，即rQCln221 (6.5.30)整理化简后得整理化简后得QCer/(6.5.31)说明流线为对数螺线，说明流线为对数螺线，其流线也可用叠加的方其流线也可用叠加的方法画出，如图所示。法画出，如图所示。58225628100 sin(1)ln25rrr例例6.6 6.6 已知流函数已知流函数 求求:）驻点位置；）驻点位置；）绕物体的环量；）绕物体的环量；）无穷远处的速度；）无穷远处的速度；）作用在物体上的力。）作用在物体上的力。解解 :）求驻点位置）求驻点位置(先求速度场先求速度场)225100cos(1)rVrr225628100sin(1)2Vrrr 例例6.66.6比较一下比较一下6-29式，这是什式，这是什么流动？么流动？V0=100,r0=5,=-628比较一下比较一下6-30式式V0=100,r0=5,=-62859令令，则零流线为，则零流线为r=5r=5的圆柱即为物面。的圆柱即为物面。225628100 sin(1)ln25rrr在物面上，时，在物面上，时，V V，所以，所以令令，有，有628sin0.12000s 即驻点位置为即驻点位置为00125 44174 16ss ）求环量）求环量22200628(200sin)5628(/)10v rddms225628100sin(1)2Vrrr 比较比较6-31式式比较比较6-32式式-0.1-0.160）求速度）求速度04sinsr V 在物面上在物面上所以所以1010628100(/)4sin45()sVm sr 即为无穷远的来流速度。即为无穷远的来流速度。）求合力）求合力若若kgkg则则 V V0 0 6.286.281010由（由（6 63232）61例例6.6.在在x x0 0的右半平面的右半平面(y(y轴为固壁轴为固壁)内内,处于处于x x轴上距壁面为轴上距壁面为a a处有一强度为处有一强度为Q Q的点源。的点源。求求:流函数、势函数及壁面上的速度分布流函数、势函数及壁面上的速度分布解：解：用镜像法用镜像法,在在x=ax=a的对称位置的对称位置x=-ax=-a处虚设处虚设一个等强度的点源一个等强度的点源,则可形成则可形成y y轴处固壁。轴处固壁。叠加后的势函数为：叠加后的势函数为：例例6.6.222212(lnln)ln()ln()22QQrrx ayxay2222ln()()2Qx ayx ay62yxa-a.Pr1r2(x,y)630022222()2()02()()xxxQxaxaVxxayxay在在x=0 x=0处即固壁上处即固壁上流函数为：流函数为：1112()22QQyytgtgxaxa0002222222()()yxxxQyQyQyVyx ayx ayya满足不可穿透条件满足不可穿透条件646-4 附加惯性力与附加质量附加惯性力与附加质量物体在无界流体内的运动可分为两大类物体在无界流体内的运动可分为两大类:1.1.匀速直线运动匀速直线运动2.2.非匀速运动非匀速运动:坐标系固结于物体上仍为惯性系，坐标系固结于物体上仍为惯性系，为均匀来流绕物体的定常流动。为均匀来流绕物体的定常流动。由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等坐标系固结于物体上为非惯性系，坐标系固结于物体上为非惯性系，为非定常流动问题。为非定常流动问题。不能由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等不能由上两节的方法求压力分布、合力、力矩等65本节讨论无界流场中物体作非本节讨论无界流场中物体作非匀速直线运动匀速直线运动无界流场中的非定常运动物体质量为无界流场中的非定常运动物体质量为,物面为物面为S。取半径取半径R非常大非常大的球面的球面物体运动使周围流体微团亦产生了物体运动使周围流体微团亦产生了大小和方向不同的加速度。大小和方向不同的加速度。内物体以加速度内物体以加速度a运动运动 V(t)Ms 66推动物体的作用力推动物体的作用力：1.1.必须为增加物体的动能而作必须为增加物体的动能而作功功 2.2.还要为增加流体的动能而作还要为增加流体的动能而作功功因此，外力力将大于因此，外力力将大于设设 （）（6 63535）称为附加质量，称为附加质量，称为虚质量。称为虚质量。令令 I I （6 63636）则：则：I I （6 63737）附加惯性力附加惯性力 67附加惯性力：物体加速周围流体质点时受到周附加惯性力：物体加速周围流体质点时受到周 围流体质点的作用力围流体质点的作用力由（由（6 63636）知）知I I的方向与加速度方向相反。的方向与加速度方向相反。当当0 0时时I I，即物体加速度运动时，即物体加速度运动时，为阻力；为阻力；当当0 0时，时，I I0 0，即物体减速时，即物体减速时，I I为推力。为推力。682222()()()Vxyz式中式中222222()()()()xyxxyyzzz2()()()Vxxyyzz所以所以（6-39）内流体动能内流体动能T：221122TV dV d（6-38）V(t)Ms 附加质量的计算附加质量的计算2222220 xyz（-）因为因为69()cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)cos(,)sPQRdn xn yn z dxyznPQxn yn z dRPQR 对于在区域对于在区域及外边界及外边界和内边界上所和内边界上所定义的单值连续函数定义的单值连续函数P,Q,R,高斯定理：高斯定理：将上式用于流体动能表达式可得将上式用于流体动能表达式可得:cos(,)cos(,)cos(,)2cos(,)cos(,)cos(,)2sTn xn yn zdxynzxyxnzyn zd70cos(,)cos(,)cos(,)n xn yn zxyzn由方向导数定义知：由方向导数定义知：因此因此22sTddnn可略去不计可略去不计动能计算式简化为动能计算式简化为2sTdn（6-406-40）71设速度势为设速度势为0V （6-416-41）0 0单位速度所对应的速度势单位速度所对应的速度势式中式中(,)x y z t()V Vt00(,)x y z动能可写成动能可写成2001()2sTdVn （6-426-42）即即00sdn相当于质量相当于质量72令附加质量为令附加质量为00sdn（6 64343）结论：结论：附加质量仅与物体的形状和运动形式有关，附加质量仅与物体的形状和运动形式有关，而与物体的速度或加速度无关。而与物体的速度或加速度无关。即即 物体沿物体沿v v向作向作变速直线运动变速直线运动的附加质量。的附加质量。若物体运动有若物体运动有六个自由度六个自由度，有有6 6个分量个分量例如例如船舶靠离码头，波浪作用引起横摇，纵摇等考虑船舶靠离码头，波浪作用引起横摇，纵摇等考虑附加质量、附加转动惯量。附加质量、附加转动惯量。的个数随物体具有的对称面而减少。的个数随物体具有的对称面而减少。73船舶船舶6个自由度非定常运动附加质量个自由度非定常运动附加质量运动名称运动名称 形形 式式 附加质量附加质量 纵荡纵荡surgesurge纵纵 向向11 0.00.5 横荡横荡swaysway横横 向向22 0.9 1.2 升沉升沉HeaveHeave垂垂 向向33 0.9 1.2 横摇横摇RollRoll绕轴转动绕轴转动44 0.050.15Ixx 纵摇纵摇PitchPitch绕轴转动绕轴转动55 Iyy 首摇首摇YowYow绕轴转动绕轴转动66 55 注：注：m为排水量，为排水量，Ixx为为m绕绕x轴的转动惯量，轴的转动惯量，Iyy为为m 绕轴的转动惯量绕轴的转动惯量.7420r 例如半径为例如半径为r r0 0的无限长圆柱沿垂直本身轴的无限长圆柱沿垂直本身轴线的方向在密度为线的方向在密度为的流体中直线平移的流体中直线平移,其单其单位长度上的附加质量为：位长度上的附加质量为：其附加质量为其排开的流体质量其附加质量为其排开的流体质量75作用力作用力:物体周线上微弧长物体周线上微弧长dS,作用力为作用力为pdS在在和方向的投影分别为和方向的投影分别为:图图-19sincosdXpdSpdydYpdSpdx （662）6-7 作用在物体上的流体动力和力矩作用在物体上的流体动力和力矩76sincosdSdydSdx因为因为为为ds的切线方向与方向的夹角。的切线方向与方向的夹角。得和方向的总力：得和方向的总力：(6-63)ssXpdyYpdx作用力和共轭作用力定义为：作用力和共轭作用力定义为：PXiYPXiY（-64）（-65）77即即2222Re()2Im()2ssidwXdzdzidwYdzdzPPXY（-6）78作用在任意形状柱体上对坐标原点的力作用在任意形状柱体上对坐标原点的力矩，由（矩，由（-6）式得）式得()dMdY xdX yp xdxydy 所以所以()sMp xdxydy（-6）ssypyxpxdd79 如机翼、汽轮机叶片、水翼或螺旋桨剖面如机翼、汽轮机叶片、水翼或螺旋桨剖面等，本定理求这些剖面上的流体动力，有重等，本定理求这些剖面上的流体动力，有重要的理论与实际意义。要的理论与实际意义。设理想不可压缩流体设理想不可压缩流体,无限远来流速度无限远来流速度V绕流一任意形状的柱体，流动为定常势流绕流一任意形状的柱体，流动为定常势流求求:物体的升力和阻力。物体的升力和阻力。任意形状剖面物体上的流体动力：任意形状剖面物体上的流体动力：80根据留数定理其积分结果为根据留数定理其积分结果为:0cPiV (-7)其实部和虚部分别为：其实部和虚部分别为：阻力阻力 RX 升力升力 LYV0 （6-73）库塔库塔儒可夫斯基定理儒可夫斯基定理第二式即为第二式即为812.升力的大小为升力的大小为V0，方向垂直于，方向垂直于V01.物体只受到升力，不受阻力。物体只受到升力，不受阻力。3.（逆时针）时，方向朝下，（逆时针）时，方向朝下，（顺时针）时，方向朝上。（顺时针）时，方向朝上。升力方向按右手法则：四指顺来流逆环流转升力方向按右手法则：四指顺来流逆环流转9090o o与绕圆柱体有环流流动的结果完全一致与绕圆柱体有环流流动的结果完全一致结论：结论：821.已知环量已知环量 c，求圆柱体的旋转角速度，求圆柱体的旋转角速度 环量环量 c 2r0 Vs 2r20 圆柱表面的切向速度圆柱表面的切向速度 Vs=r 所以所以 c/2r20 讨论：讨论：836-26-56-156-166-196-24作作 业业