数学八年级上课本

八年级义务教育教科书上册教审定数学义务教育教科书数学八年级上册人民教育出版社 课程教材研究所j 中学数学课程教材研究幵发中心.北京.210111819264648535455第十一章三角形11.1与三角形有关的线段信息技术应用画图找规律11.2与三角形有关的角阅读与思考为什么要证明11.3多边形及其内角和数学活动小结27复习题1128第十二章全等三角形12.1全等三角形3112.2三角形全等的判定35信息技术应用 探究三角形全等的条件12. 3角的平分线的性质数学活动小结复习题12第十三章轴对称13.1轴对称5813.2画轴对称图形67信息技术顏 _对称进行图案设计7313.3等腰三角形75实验与探冑三角形中边与角之间的不等关系8413.4课题学习最短路径问题85数学活动88小结90复习题1391第十四章 整式的乘法与因式分解 1L14.114.2整式的乘法乘法公式阅读与思考杨辉三角951071134 4 JKUhbb|v14.3因式分解114阅读与思考x2+(pqU+pq型式子的因式分解121数学活动122小结123复习题14124第十五章分式15.1分式12715.2分式的运算135阅读与思考容器中的水能倒完吗M815.3分式方程149数学活动156小结157复习题15158160部分中英文词汇索引第十一章三角形三角形是一种基本的几何图形.从古埃及的 金字塔到现代的建筑物，从巨大的钢架桥到微 小的分子结构，到处都有三角形的形象.为什么 在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构呢？这与三角形的性质有关.一个三角形有三个角、三条边.三个角之间有什么关系？三条边之间有什么关系？在小学 我们通过测量得知三角形的内角和等于180， 但测量常常有误差，三角形有无数多个，要说 明任意一个三角形都符合这一规律.就不能只 靠测量，而必须通过推理证明.本章中，我们就 来证明这个结论.三角形是最简单的多边形，也是认识其他 图形的基础.本章将在学习与三角形有关的线段 和角的基础上，学习多边形的有关知识，如借 助三角形的内角和探究多边形的内角和.学习本 章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且 还可以了解一些几何中研究问题的基本思路和 方法.11.1与三角形有关的线段11.1.1三角形的边在本章引言中.我们提到许多三角形的实际例子. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相 接所组成的图形叫做三角形(triangle).在图11.1-1中，线段AB. BC，CA是三角 形的边.点A，B, C是三角形的顶点.ZA， ZB, ZC是相邻两边组成的角.叫做三角形的内 角，简称三角形的角.顶点是A，B，C的三角形.记作AABC,读作“三角形ABC. ABC的三边，有时也用a，I)，c来表示.如图11.1-1,顶点A所对的边BC 用a表示，顶点B所对的边AC用&表示，顶点C所对的边用表示.我们知道：三边都相等的三角形叫做等边三角形(图11.1-2 (1)；有 两条边相等的三角形叫做等腰三角形(图11.1-2 (2).图11.1-2 (3)中的三角形是三边都不相等的三角形.思考我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、直 角三角形和钝角三角形.如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说说你 的想法，并与同学交流.以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和 等腰三角形.我们还知道：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角_ z等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.三角形7:珥三角形三边都不相等的三角形综上，三角形按边的相等关系分类如下：三边都不相等的三角形三角形等边等腰三角形d底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形下面探究三角形三边之间的大小关系.探究任意画一个AABC,从点B出发，沿三角形的边到点C,有几条线 路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？对于任意一个AABC,如果把其中任意两个顶点（例如B，C）看成定 点，由“两点之间，线段最短”可得AB+AOBC.同理有AC+BOAB,AB+BOAC.一般地，我们有三角形两边的和大于第三边.由不等式移项可得BOAB-AC, BOAC-AB.这就是说，三角 形两边的差小于第三边.例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：（1）设底边长为cm,则腰长为2x cm.x+2x+2x = 18. 解得x = 3. 6.所以，三边长分别为3.6 cm, 7.2 cm，7. 2 cm.（2）因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论.第十一章三角形 3如果4 cm长的边为底边.设腰长为cm，贝4+2i = 18.解得x=7.如果4 cm长的边为腰，设底边长为x cm,贝lj 2X4+1 = 18.解得i = 10.因为 第十一帝三角形+410,不符合:角形两边的和大于第三边，所以不能围成腰长 是4 cm的等腰三角形.由以上讨论可知，可以围成底边长是4 cm的等腰三角形.1. 图t有几个三角形？用符号表示这些三角形.2. (口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？为 什么？(1) 3, 4, 8； (2) 5, 6, 11； (3) 5, 6， 10.11.1.2三角形的高、中线与角平分线与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已 经学过的三角形的高.如图11.1-3, AAABC的顶点 A向它所对的边所在直线画垂线，垂足为D，所 得线段AD叫做的边BC上的高(altitude).我们再来看两种与三角形有关的线段.州同样方法，你能画出AABC的 另两条边上的高吗?广 、用同样方法， 你能画出AABC 的另两条边上的中 吗？如图11.1-4(1),连接AABC的顶点八和 它所对的边的中点D，所得线段叫做 AABC的边B(?上的中线(median).AA如图11.1-4 （2）,三角形的三条中线相交于 -点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.取一块质地均匀的 三角形木板，顶住三条 中线的交点.木板会保 持平衡，这个平衡点就 是这块三角形木板的 重心.图 11.1-5如图11. 1-5,画的平分线AD.交所 对的边BC于点D.所得线段AD叫做ZV1BC的 角平分线（angular bisector）.O画出/v/义的另两佘角平分线，你有什么发现?观察三条角平分线.1.如图，（1）（2）和（3）中的三个有什么不同？这三条AABC的边BC上的 高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？2.填空：（1）如下页图（），AD, BE. CT是ZVIBC的三条中线，则AB = 2,1BD= ，AE=- .（2）如下页图（2），AD. BE. CF是AABC的三条角平分线，则=, Z3=y，ZACB=2. (第2题11.1.3三角形的稳定性工程建筑中经常采用三角形的结构.如屋顶钢架(图11.1-6 (1)，其 中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前.木工师傅常常先在窗框上 斜钉一根木条(图11.1-6 (2).为什么要这样做呢？(2)# 第十一锸三角形探究如图11. 1-7 (1),将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？如图11.1-7 (2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭 动它，它的形状会改变吗？如图11. 1-7 (3),在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点 连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？为什么？n s可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变.这 就是说，三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性.还nJ*以发现.斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉 一根木条后.四边形变成两个三角形.由于三角形有稳定性，斜钉一根木条的 窗框在未安装好之前也不会变形. 三角形的稳定性有广泛的应用，图11. 1-8表示其中一些例子.你能再举一 些例子吗？钢架桥起重机图 11. 1-8第十一章三角形 11四边形的不稳定性也有广泛的应用，图H. 1-9表示其中一些例子.活动挂架伸缩门图 11. 1-9下列图形中哪些具有稳定性?(1) (2)(4)(5)=80-50=30.由 AD/BE9 得ZBAD+ZABE = 180.所以ZABE = 180-ZBAD = 180o-80o=100, ZABC=ZABE -ZEBC=100o-40=60.在AABC中，ZACB = 180-ZABC-ZCAB = 1806030=90.答：从B岛看A，C两岛的视角ZABC是 60,从C岛看A，B两岛的视角ZACB是90.第十一章三角形 151.如图，从A处观测C处的仰角ZCAD = 30,从B处观测C处的仰角 /CBD=45.从C处观测A，B两处的视角ZACB是多少度？4040、（第1题）（第2题）2. 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中ZA = 150, Z.B ZD=40.求ZC的度数.如图11.2-5,在直角三角形ABC中，ZC=90， 由三角形内角和定理，得ZA+ZB+ZC=180,即ZA+ZB+90=180,所以ZA+ZB=90.也就是说，直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“RtZT表示，直角 三角形ABC可以写成RtAABC.例 3 如图 11.2-6, ZC=ZD = 90, AD, BC相交于点E. ZCAE与ZDBE有什么关系? 为什么？解：在RtAACE中，ZCAE = 90-ZAEC.在 RtABDE 中，ZDBE=90-ZBED.: ZAEC=ZBED，. ZCAE=ZDBE.思考我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角 互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说说理由由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形.1.如图.ZACB=90, cdab9垂足为D. ZACD与ZB有什么关系？为什么？图 11.2-72.如图，ZC = 90, Z1=Z2, /XADE是直角三角形吗？为什么？11.2.2三角形的外角如图11.2-7,把AABC的一边BC延长，得到 ZACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组 成的角，叫做三角形的外角.思考如图 11.2-8, AABC 中，ZA = 70% ZB = 60. ZACD是AABC的一个外角.能由/A, ZB 求出ZACD吗？如果能，ZACD与ZA, ZB有 什么关系？任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个 内角是否都有这种关系？推论是由定理直 接推出的结论.和定理 一样，推论可以作为进一步推理的依据.一般地.由三角形内角和定理可以推出下面 的推论（请同学们自己证明）：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.例 4 如图 11.2-9, ZBAE, ZCBF, ZACD 是AABC的三个外角，它们的和是多少？E解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和，得ZBAE=Z2+Z3，ZCBF=Z1+Z3,ZACD=Z1+Z2.所以你还有其他解法吗?ZBAE+ZCBF+ZACD=2（Z1+Z2+Z3）.由Zl+Z2+Z3=180,得ZBAE+ZCBF+/ACD = 2 X 180=360.说出下列图形中Z1和Z2的度数:(4)复习巩固(第1题)2. (1) 一个三角形最多有几个直角？为什么？(2) 一个三角形最多有几个钝角？为什么？(3) 直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？3. AABC 中，ZB = ZA +10, ZC = ZB+ 10.求 ABC的各内角的度数.4. 如图，AD丄BC，Z1 = Z2, ZC = 65求ZBAC 的度数.综合运用16第十一琪三角形5.如下页图，AB/CD. ZA=40, ZD=45.求Z1和Z2的度数.B第十一章三角形 216. 如图，AB/CD. ZA=45. ZC=Z.求 ZC 的度数.7. 如图.B处在A处的南偏西C方向.C处在A处的南偏东15方向，C处在B处 的北偏东80方向，求ZACB的度数.（第7题）（第8题）8. 如图，D是AB上一点，：是AC上一点，BE，CD相交于点F，ZA=62， ACD = 35, ZABE = 20.求ZBDC 和/BFD 的度数9. 如图，Z1=Z2，Z3=Z4, ZA = 100.求 j的值.拓广探索10. 如图.AB/CD. ZBAE = ZX?E = 45.填空： AB/CD.:.Z1+45，+Z2+45o=. . Zl+Z2= .ZE= .11. 如图，CEIA ABC的外角ZACD的平分线，且CE交BA的延长线于点求 证 ZBAC=ZB+2ZE.鋤 阅读与思考为什么要证明小明：我们观察任意一个三角形，量出它的内角都能得出 它的内角和等于180,为什么还要证明这个结论呢？李老师：通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可 能有误差，试验可能受干扰，考察对象可能不具有一般性等原 因，一般说由观察、试验等所产生的“结论”未必正确.例如， 让一个班的学生每人任意画一个三角形，再量出它的每个内角， 计算三个内角的和，得到的结果未必全是180,可能有的会比 180大些，有的会比180小些.小明：如果观察细致，仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？ 李老师：仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力.例如，即使不考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是180时，人们还会 有疑问：“不同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有 限个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证 吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察、 试验的对象也是有限个.因此，要确认“三角形的内角和等于180”， 就不能依靠度量的手段和观察、试验、验证的方法，而必须进行推理 论i对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角，从而得出“无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于180”.小明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过理由 充足、使人信服的推理论证才能得出结论.观察、试验等是发现数 学公式、定理的重要途径，而证明则是确认数学公式、定理的必 步骤.11.3多边形及其内角和11.3. 1 多边形观察图11.3-1中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以由一些线段 I韦I成的图形的形象.你能从图11.3-1中想象出几个由-些线段围成的图形吗？图 11.3-1我们学过三角形.类似地.在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形(polygon).多边形按组成它的线段的条数分成三角形、 四边形、五边形三角形是最简单的多边形. 如果一个多边形由条线段组成，那么这个多 边形就叫做n边形.如图11.3-2，螺母底面的 边缘可以设计为六边形.也可以设计为八边形.多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.图11.3-3中的ZA，ZB, ZC, ZD,是五边形ABODE的5个内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.图1L3_4中的是五边形ABCDE的一外角.11.3-3图 11.3-4连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线(diagonal). 图11. 3-5中，AC. AD是五边形ABCDE的两条对角线.如图11.3-6 (1)，画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直 线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形.而图11.3- 6 (2)中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD (或BC)所在直 线，整个四边形不都在这条直线的同一侧.类似地，画出多边形的任何一条边 所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多 边形.本节只讨论凸多边形.图 11.3-6我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个 角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形(regular polygon).图11.3-7是 正多边形的一些例子.正六边形1. 画出下列多边形的全部对角线:（第1题）2-四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可 以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？11.3.2多边形的内角和思考我们知道，三角形的内角和等于180,正方形、长方形的内角和都 等于360.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360吗？要用三角形内角和定理证明四边形的内角和 等于360,只要将四边形分成几个三角形即可.如图11.3-8,在四边形ABCD中，连接对 角线AC,则四边形ABCD被分为AABC和 ACD两个三角形.由此可得ZDAB+ZB +Z_BCD+Z_D=Z1+Z2+ZB+Z3+Z4+ZD= (Z1+ZB+Z3) + (Z2+Z4+ZD).Zl+ZB+Z3=180,Z2+Z4+ZD = 180o，ZDAB +Z.B +ZBCD+ZD = 180+180=360.即四边形的内角和等于360.类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗?观察图11.3-9,填空:图 11.3-9从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180X. 从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180X 把一个多边形 分成几个三角形，还 有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？通过以上过程，你能发现多边形的内角和与 边数的关系吗？一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作 (-3)条对角线，它们将n边形分为(Z2 2) 个三角形，n边形的内角和等于180X(n-2). 这样就得出了多边形内角和公式：n边形内角和等于4一2)X180.例1如果一个四边形的一组对角互补，那 么另一组对角有什么关系？解:如图11.3-10,在四边形ABCD中， ZA +ZC=180.: ZA+ZB +ZC +Z =(4-2)X180 =360, ZB+ZD =360(/A+ZC)例2如图11.3-11,和叫做六边形的外角和.=360 180= 180. 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那 么另一组对角也互补.在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 六边形的外角和等于多少？分析：考虑以下问题：(1) 任何一个外角同与它相邻的内角有什么 关系？(2) 六边形的6个外角加上与它们相邻的内 角，所得总和是多少？ .将不等式左边、右边分别相加，得 AB+AD+PD+CD ,即AB+AO .10.如图，五边形ABCDE的内角都相等.DF_LAB. 求ZCDF的度数.（第10题拓广探索11. 如图，AABC的ZB和ZC的平分线BE，CF相交于点G.求证:(1) ZBGC=180|(ZABC+ZACB)；(2) ZBGC = 90+yZA.12. 如图，在四边形ABCD中，ZA=ZC=90，BE平分ZB, DF平分ZD.求证 BE/DF.第十二章全等三角形在我们的周围，经常可以看到戶状、大小完 全相同的图形.这样的图形叫做全等形.研究全等 形的性质和判定两个图形全等的方法，是几何学 的一个重要内容.本章将以三角形为例，对这些问 题进行研究.上一章我们通过推理论证得到了三角形内角 和定理等重要结论.本章中.推理论证将发挥更大 的作用.我们将通过证明三角形全等来证明线段或 角相等，利用全等三角形证明角的平分线的性质. 通过本章学习，你对三角形的认识会更加丰富， 推理论证能力会进一步提高.12. 1全等三角形图12. 1-1所示的例子中都有形状、大小相同的图形，你能再举出一些类 似的例子吗？图 12. 1-1探究把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺 的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合 吗？从同一张底片冲洗出来的两张尺寸相同的照片上的图形，放在一起也 能够完全重合吗？可以看到，形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合 的两个图形叫做全等形(congruent figures).能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(congruent triangles).思考在图12. 1-2 (1)中，把AABC沿直线BC平移，得到在图12.1-2 (2)中，把AABC沿直线BC翻折180，得到ARBC. 在图12.1-2 (3)中，把AABC绕点A旋转，得到AADE.各图中的两个三角形全等吗？第十二章全等三角形31AE图 12.1-2一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变 化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻 折、旋转前后的图形全等.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶 点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的 角叫做对应角.例如，图12.1-2 (1)中的 AABC 和ADEF 全等，记作ABCDEF, 其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是 对应顶点；AB和DE. BC和EF，AC和DF 是对应边；ZA和ZD，ZB和ZE，ZC和ZF 是对应角.全等用符号“3”表 示，读作“全等于”.记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字 母写在对应的位置上.例 如，图12.1-2 (2)中的 AABC和全等，点 A和点D，点B和点B， 点C和点C是对应顶点， 记作 AABCADBC.思考图12.1-2 (1)中，AABCADEF,对应边有什么关系？对应角呢?全等三角形有这样的性质：全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.1. 说出图12.1-2 (2)、图12.1-2 (3)中两个全等三角形 的对应边、对应角.(第2题)2- 如图，OCAAOBD9点C和点B，点A和点D 是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.32第十二$ 4等三角形A复习巩固1-如图 ABCACDA，AB和CD，BC和DA是对应边.写出其他对应边及对 应角.#第十二章全等三角形(第1题)(第2题)2. 如图，AABN皆ACA4,和ZC是对应角，AB和AC是对应边.写出其他对应边及对应角.综合运用3. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则Z1等于多少度？4.如图，/EFG艺ANMH，ZF和是对应角.在&EFG中，FG是最长边. 在中，是最长边.EF = 2. 1 cm，EH = 1. 1 cm, NH = 3. 3 cm.(1) 写出其他对应边及对应角；(2) 求线段及线段HG的长度.E拓广探索5. 如下页图，AABCADEC, CA和CD, CB和CE是对应边.ZACD和ZBCE 相等吗？为什么？（1）写出它们的对应边和对应角；（2）若ZA=50 ZABD=39,且Z1=Z2,求Z1 的度数.12. 2三角形全等的判定我们知道，如果ABCAABC，那么它们的对应边相等，对应角相等 反过来，根据全等三角形的定义，如果AABC与AA,B,C,满足三条边分别相 等，三个角分别相等，即AB=AfB BC=BfC CA=CfAZA=ZA ZB=ZB ZC=ZC就能判定ABCAABC（图 12.2-1）.图 12.2-1一定要满足三条边分别相等，三个角 也分别相等，才能保证两个三角形全等 吗？上述六个条件中，有些条件是相关的. 能否在上述六个条件中选择部分条件，简 捷地判定两个三角形全等呢？本节我们就来讨论这个问题.探究1先任意画出一个AABC.再画一个使AABC与AA,B,C,满 足上述六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一 角或两角分别相等）.你画出的与AABC定全等吗？通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，AABC与 ABC不一定全等.满足上述六个条件中的三个，能保证ZSABC与 ABC全等吗？我们分情况进行讨论&i探究2先任意画出一个AABC.再画一个AABV,使BC = BC，CfAf=CA.把画好的剪下来，放到AABC上，它们全等吗？画一个AABC，使 AZBZ=AB, AZCZ = AC, BC=BC:(1) 画 BC = BC;(2) 分别以点B，C为圆心，线段AB，AC 长为半径画弧，两弧相交于点(3) 连接线段 AB，AC.图 12. 2-3所示的三角形钢架中，与BC中点D的支架.求图 12. 2-2图12.2-2给出了画AA，B，C，的方法，你是这样画的吗？探究2的结果反 映了什么规律？由探究2可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS” ). 我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角形木架.这个三角形 木架的形状、大小就不变了.就是说，三角形三条边的长度确定了，这个三角 形的形状、大小也就确定了.例1 在如图12.2-3 AB=AC. AD是连接点A 证八 ABDAACD.ACD，只需看这两个三分析：要证角形的三条边是否分别相等 证明：V D是BC的 . BD=CD.在AABD和AACD中AB=AC,BD=CD,AD=AD9 . AABDSAACD由三边分别相等判定三角形全等的结论，还可以得到用直尺和圆规作一个角 等于已知角的方法.已知：ZAOB.AD 既是 ZXABD 的边又是AACD的边. 我们称它为这两个三角形的公共边.(SSS).求作：使ZAVBZAOB.AfA图 12.2-4作法：（1）如图12.2-4,以点0为圆心，任 意长为半径画弧，分别交Q4, OB于点C，D；（2）画一条射线OA，以点为圆心，OC 长为半径画弧，交OA于点C;（3）以点C为圆心，CD长为半径画弧，与 第2步中所画的弧相交于点D;想一想，为什 么这样作出的 ZAOB和 ZAOB（4）过点D画射线（）甘，则ZAOB=ZAOB.1.如图.CAB的中点，AD=CE.（第1题）2.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，ZAOB是一个任意角， 在边OA，上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 点M，N重合.过角尺顶点C的射线OC便是ZAOB的平分线.为什么？探究3先任意画出一个ABC.再画出一个AAV,使AB=AB，AC = ZA，=ZA （即两边和它们的夹角分别相等）.把画好的剪 下来，放到AABC上，它们全等吗？第十二章全等三角形37B DA图 12.2-5图 12. 2-6画一个AABC，使 W = AB,=AC, ZAz=ZA：（1）画ADAE=ZA；（2）在射线AD上截取AfBf=AB,在射线 A：上截取 ACAC；（3）连接 BC.图12. 2-5给出了画/AfBfCf的方法.你是这样画的吗？探究3的结果反映了什么规律？由探究3可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或 “SAS” ）.也就是说，三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角 形的形状、大小就确定了.例2如图12.2-6,有一池塘，要测池塘两 端A，B的距离.可先在平地上取一个点C，从 点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC 并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到点 E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就 是A，B的距离.为什么？分析：如果能证明 ABCADEC.就可以 得出AB = DE.由题意可知，AABC和DEC 具备“边角边”的条件.证明：在AABC和ADEC中，CA=CD,-Z1=Z2，CB=CE,. /ABCDEC （SAS）. AB = DE.从例2可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等所以证明线 醐等或者觸时，常常通过证明它们是全等三角形的SS应S决.38第十二章全等三角形1.如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离， D到B的距离相等吗？为什么？思考如图12.2-7，把一长一短的两根木棍的一端 固定在-起，摆出ABC.固定住长木棍，转动短 木棍得到AABD.这个实验说明了什么？图12.2-7中的AABC与AABD满足两边和其中一边的对角分别相等， 即 AB=AB, AC = AD, ZB=ZB,但 ABC 与/ABD 不全等.这说明， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.第十二章全等三角形492.如图，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC, ZB=ZC.求证）探究4先任意画出一个AABC.再画一个ZvlW,使AfBf=AB9 ZAz=ZA, ZB=ZB （即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的剪下来，放到 ABC上，它们全等吗？图 12.2-8画一个ABC7,使 AB=AB, ZAz = ZA, ZBz=ZB：(1) 画 AfB，=AB；(2) 在 AB的同旁画ZDAB=ZA, ZEBA=ZB, AD，BE 相交于点C.图12.2-8给出了画AA，B，C，的方法.你是这样画的吗？探究4的结果反 映了什么规律？由探究4可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或 “ASA”）.也就是说，三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度确定了，这个三角 形的形状、大小就确定了.例3如图12.2-9,点D在AB上，点E在AC上，）AB=AC, ZB=ZC.求证 AD=AE.分析：证明ACDSAABE，就可以得出AD=AE.证明：在AACD和AABE中，ZA=ZA （公共角），MC=AB，ZC=ZB, /XACD/XABE (ASA). AD=AE.例 4 如图 12.2-10,在和中，ZA=ZD, ZB=ZE, BC=EF.求证ABCgDEF.图 12.2-10分析：如果能证明ZC = ZF,就可以利用角边角”证明 全等.由三角形内角和定理可以证明z/c=ZF.证明：在zMBC 中，ZA+ZB+ZC=180,:.ZC=180-ZA-ZB.同理 ZF=180-ZD-ZE.又ZB，. ZC=ZR在AABC和ADEF中，ZB=Z,BC=F，ZC=ZF. AABCADEF( ASA).因此，我们可以得到下面的结论：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角 边”或 “AAS” ).也就是说，三角形的两个角的大小和其中一个角的对边的长度确定了，这 个三角形的形状、大小就确定了.思考三角分别相等的两个三角形全等吗？解答上述问题后，把三角形全等 的判定方法做一个小结.2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线 上的两点C，D,使BC=CD，再画出的垂线D，使E与A，C在一 条直线上，这时测得DE的长就是的长：为什么？O思考对于两个直角三角形，除了直角相等的条件还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？由三角形全等的条件可知.对于两个直角三角形，满足一边一锐角分别相 等，或两直角边分别相等.这两个直角三角形就全等了如果满足斜边和条 直角边分别相等.这两个直角三角形全等吗？探究5任意画出一个RtAABC,使ZC = 90.再画一个使 ZC = 90，BC=BC，ABAB.把画好的 RtAA,B，C,剪下来，放到 RtAABC上，它们全等吗？画一个 RtAABC，使ZCz = 90, BC = BC，（1）画ZMCN = 90、（2）在射线CM上截取BC=BC;（3）以点为圆心，AB为半径画弧，交射 线CN于点A;（4）连接 AfBf.图12. 2-11给出了画RtAABC的方法.你是这样画的吗？探究5的结果 反映了什么规律？由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、 直角边”或“HL” ）.例5如图12.2-12, ACBC, BD丄AD.垂足分别为C，D, AC = BD.求证 BC=AD.图 12.2-12证明： AC丄BC, BD丄AD， 二ZC与ZD都是直角. 在 RtAABC 和 RtABAD 中，AC=BD9. RtAABC RtABAD (HL). . BC=AD.1-如图（是路段An的中点，两人从c同时出发.以相同的速度分别沿两条直