高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程课件

高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程1第九节第九节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程)(算子法A待定系数法B311P高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程2A 算算 子子 法法dxdD dxxfxfDy)()(1:很熟悉下面的表示方法我们已,)(xfy,)(xfDy:法齐次微分方程的算子解下面讨论二阶常系数非)(xfqyypy)()(*xfDPy1)()(xfyqpDD2)()(xfyDP)(qpDDDP2这里)(1.)(的一个特解为 1高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程3:)()(条常用公式的计算51xfDP,)()(.xxePeDP 111,)()()()(.xvDPexveDPxx 112则次多项式是设,)(.kxfk3,)()()()(xfDQxfDPkkk1.)()()()(多项式算子次所得为其中同次与升幂xfDPkkkDpDqDQ 21dxxfxfD)()(1.条的常用公式有26高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程4.coscos.axqaaxqD22115,sinsin.axqaaxqD22114证明略高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程5.的一个特解求例13321 xyyy13322xyDD)(解)(*133212xDDy.)(3用公式2231DD)(DRD9231139231xDy*13921331xDx039231x31x#高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程6223DD 13132929432DDD231321DD23132DDD92329297DD DDD92312312)(329297DD 高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程71322 xyy例,Yyy之通解先求解02.,2002212rrrr.xeccY221,*yxyy之特解再求132 13212xDDy*13211xDD13412113xDD.)(132141xDD56141xDdxx)(5641xx53412xx45432*yYyxecc221.xx45432高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程8D2121D211D21D4124121DD 241D)(D21D4121241D高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程9xxeyyy2653 例0652 rr:特征方程解032)(rr.:xxececY3221齐次通解:非齐次特解xxeDDy22651*xDDex62521222)()(.xDDex221xDDex1112xDDex)(.1123112xDex.xxex2221*yYy通解.xxeececxxx22322121高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程10 xeyyy2654:求方程特解例xeDDy22651*解xe22162521.xe201?1162521222)()()(.xvDDex11112DDex)()(.011123kDexdxex)(12.xxe2高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程11.cos的一个特解求例xxyy25.sincos:ixxexixxxyy222 求特解解ixxeDy22111xiDeix121222)(.xiDDeix34122.)(3公式xiDeix94312ixeix94312xixix224391sincos)sincos()sincos(xxxixxx2324242391:cos,的实部的一个特解是所以 12yxxyy.sincos*xxxy242391高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程12243DiD 1)(2431DiD31231341DiD 23134DiD iD9431iD94)(DR高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程13:sin的一个特解同时得到xxyy2.sincosxxxy2324912.cos:xyy26 求方程特解例xDy2112cos*解x212125cos.cos x231高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程14.cos:xyy 求特解例7xDycos*112解xcos.11125xcos01?.sincosixexixyy 设ixeDy112111122)(.iDeix1211iDDeix12113iDeix.dxieix21ixeix21.sincosxxix21)(cos,的实部的一个特解为所以 1yxyy.sin*xxy21.cossinxxxyy21 的一个特解为同时得到高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程15B 待定系数法待定系数法)()(1xfqyypy 非齐次方程)(202qprr特征方程xmexPxf)()(.一xmexPqyypy)(即*y则xmexQ)(的根不是)(_2 xmexQx)(的单根是)(_2 xmexQx)(2的二重根是)(_2 xmexQy)(*可以概括为的重数方程的特征根 k.阶方程上去可以推广到n次多项式mxPm_)(次多项式mxQm_)(!待定kx高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程16xxPxxPexfnx sin)(cos)()(.二xxPeqyypyx cos)()1xxeyx sincos*则10k.的重数特征根 ik,阶方程时推广到 n!_)(,)()()(多项式xQxQ21待定kx)()(xQ1)()(xQ2的单根是的根不是)()(22 ii高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程17xxPxxPexfnx sin)(cos)()(.二xxPeqyypynx sin)()2xxeyx sincos*则.的重数特征根 ik,阶方程时推广到 n!_)(,)()()(多项式xQxQnn21待定kx)()(xQn1)()(xQn210k的单根是的根不是)()(22 ii高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程18小结xmexPxf)()()1xey *kxxxPexfx cos)()()2xxeyx sincos*kx)()(xQ1)()(xQ2xxPexfnx sin)()()3xxeyx sincos*kx)()(xQn1)()(xQn2xxPxxPexfnx sin)(cos)()()4xxeyx sincos*kx)()(xQm1)()(xQm2,maxnm其中.的重数特征根 ik,阶方程时推广到n0?!)(xQm10k的单根是的根不是)()(22 ii高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程19xmexPxf)()()(xPemx 包含特例1)(xPm0 xxP cos)(:类似地0 xxPexcos)(xe kxakx)(xQm xx sincos kx)()(xQ1)()(xQ2xxPn sin)(xx sincos kx)()(xQn1)()(xQn2i 此时特征根为xxPxxPn sin)(cos)(:我们还有 xx sincos kx)()(xQm1)()(xQm2,maxnm 其中高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程20 xxPexfx cos)()()2xxeyx sincos*kx)()(xQ1)()(xQ2:,一定要牢记作为代表性公式.的重数特征根 ik1)(xP0)cos(1x?0)(1xe?如果高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程21.的一个特解求例13321 xyyy.0322 rr特征方程解.,3121rr,)()(型是xmexPxxf 13.不是特征方程的根0,*baxy可设.*,*0 yay则:代入原方程得13332xbaxa13233baa:比较系数得1a31b.*31xy高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程22.1322 xyy求通解例.022 rr特征方程解.,2021rr.:xeCCY221齐次通解.)()(型是xmexPxxf 13.是特征方程的单根0.)(*bxaxbaxxy2可设.*,*aybaxy22 则:代入原方程得.13242xbaxa12234baa:比较系数得.,4543ba.*xxy45432*yYyxxeCCx45432221高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程23.xxeyyy2653 求通解例,0652 rr特征方程解.,3221rr.:xxeCeCY3221齐次通解.)()(*xxebxaxebaxxy222设,)(*bxbaaxeyx22222则.)()(*baxbaaxeyx4248422:得代入原方程并约去xe2.xbaax220212baa:比较系数得.,121ba.*xexxy2221*yYy通解.xxxexxeCeC22322121高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程24.xeyyy2654 求特解例.0652 rr特征方程解.,3221rr.)(,)()(12xPexPexfmxmx型是,*xxeay2设.)(*,)(*aaxeyaaxeyxx44222 则:得代入原方程并约去xe2,1a.1 a.*xxey2高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程.cos xxyy25 求特解例,012r特征方程解.irxxxf2cos)(.,)(,20 xxP.不是特征方程的根ii2 ,sin)(cos)(*xdcxxbaxy22设,sin)(cos)(*xcbaxxdacxy222222则.sin)(cos)(*xdacxxcbaxy24442444:代入原方程得xxxdacxxcbax223432433cossin)(cos)(xxPex cos)(高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程26xxxdacxxcbax223432433cossin)(cos)(0340304313daccba:对比系数得31a0b0c94d.sincos*xxxy294231高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程27.cos xyy26 求特解例.012r特征方程解.ir,sincos*xbxay22设.sincos*xbxay2424 则.cossincos:xxbxa22323代入原方程得.,031ba.cos*xy231高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程28.cosxyy 求特解例7,012r特征方程解.ir,sincos*xbxxaxy设,sin)(cos)(*xbaxxbxay则.sin)(cos)(*xabxxbaxy22.cossincos:xxaxb22代入原方程得.,021ab.sin*xxy21高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程29.11 xeyy.,1012rr,xxeCeCY21,xxaxeeb1.*baxeyx.)(.xexyyy228442)(.,二重根20442rrr,)(xexCCY221,cbxaxx228.xxedxe2228.*xedxcbxaxy222.xxeyy333.,irr3032.)sincos(xCxCY3321.)(*xebaxy.xeyyy24234,0232 rr.,2121rr.xxeCeCY221.*xexay2思考题或略讲题高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程30.xyyysh25 2shxxeex,0122 rr)(.二重根1r.)(xexCCY21,xxeaxe221.xxbee21.*xxbeeaxy2.sin.xeyyyx 26,0122 rr)(.二重根1r.)(xexCCY21,sincos*xbxaexyx0.sincos*xbxaeyx高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程31振动方程振动方程ox,弹簧左端固定,的小球右端连有一质量为 m在平衡位,)(txx 设小球的位置坐标,)(附近左右振动置0 x.)(的方程立txx 试建,xcf受弹力为小球偏离平衡位置后所解.,相反的方向与位移方向负号表示弹性系数式中xfc.)(dtdxR 为空气阻力等小球运动中受到阻力.,小球的速度阻尼系数式中dtdx 高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程32:用还受到周期性外力的作假设小球在振动过程中.sin ptHF:Newton定律得由)(sin122tpHdtdxcxdtxdm tpmHxmcxmxsin 或)(2记为mHhmckmn,2.)()(所适合的方程式即为txx 2.)(程二阶线性常系数微分方tphxkxnxsin 22高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程33ox平衡位置,的小球量为悬挂弹簧下端连有一质m,)(txx 设小球的位置坐标,)(附近左右振动小球在平衡位置0 x.)(的方程txx 试建立.!的方程也相同建立带动小球振动相同与水平放置的弹簧略讲41P高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程34:下面分几种情况讨论.)(,)(.00H无外力无阻尼一 )(,)(43000002vxxxxkxtt,)(0322 kr特征方程为由.kirtkctkcxsincos21,)(01210014xcccx由tkcktkckxcossin21.kvcckckv0221010.sincostkkvtkxx00则)(自由振动高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程35:应用三角公式tktkkvxxsincoscossin 22020)sin(tkA)5(.cos,sin,AkvAxkvxA0022020 ,)sin()(为简谐振动式所示 tkAx5,.,mckkTA角频率为周期初位相为振幅为 2.,称为系统的固有频率定由系统的物理特性所确k高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程36则无外力有阻尼二,)(,)(.00H )()(,)()(700602002vxxxxkxnx,)(02622knrr特征方程为由)(822knnr.,)().阻尼系数小阻尼 mnkn21,)(228nkinr由tnkctnkcextn222221sincos,)(22002017nknxvcxc由.sincostnknknxvtnkxextn222200220高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程37:应用三角公式化为)sin(tAextn,2T周期在小阻尼振动中所以.,0并趋于逐渐变小振幅tnAe,)(2220020nknxvxA其中,tg00220nxvnkx.22nk 高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程38tknntknnecec222221)(,.)大阻尼kn 2.)(228knnr由tknntknnececx222221.,0 xt时当.,没有振动发生于平衡位置小球随时间的推移而趋)(,.)临界阻尼kn 3.,)(二重根由nr8.)(tnetccx21.,0 xt时当同样有,:振幅逐渐减小小球有振动时当小结kn.,近小球逐渐向平衡位置靠时当kn 高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程39.)(,)(.00H有外力无阻尼三 )()(,)()(sin110010002vxxxpthxkx.)sin(sincos tkAtkctkcX21齐次通解)(无阻尼受迫振动)sin(*pthkDx221非齐次特解ptkDhsin221ptkphxkpsin*.)2211.sin ptpkh22ptpkhktAxsin)sin(22 通解,sin)sin(的迭加与受迫振动为自由振动ptpkhktA22,)(相同迫力的角频率受迫振动的角频率和受p.,受迫振动的振幅很大时接近于当kp22pkh则高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程40ktkDhxkpsin*.)2212ktiktkDsincos2211122kikDeikt)(1211ikDDeikt1211ikDeiktidtkeikt21.sincosktiktitk21)(取虚部kttkhxcos*21.coskttkh2kttkhktAxcossin2 通解,cos为受迫振动其中kttkh2,会越来越大它的振幅tkh2.这是共振现象高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程41.)(,)(.00H无外力无阻尼一 )(,)(43000002vxxxxkxtttkkvtkxxsincos00)(自由振动)sin(tkA,kTA 2周期振幅为此为简谐振动.,率这是振动系统的固有频角频率为mck 则无外力有阻尼二,)(,)(.00H )()(,)()(700602002vxxxxkxnx32P返回高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程42)(,).小阻尼kn 1tnknknxvtnkxextn222200220sincos)sin(tnkAextn22.,0并趋于逐渐变小振幅tnAe)(,.)大阻尼kn 2tknntknnececx222221.,0 xt时当)(,.)临界阻尼kn 3.)(tnetccx21.,0 xt时当同样有高等数学第九节常系数非齐次线性微分方程43.)(,)(.00H有外力无阻尼三 )()(,)()(sin110010002vxxxpthxkx)(无阻尼受迫振动.)kp 1ptpkhktAxsin)sin(22 通解受迫振动自由振动.)kp 2kttkhktAxcossin2 通解,cos为受迫振动kttkh2,会越来越大它的振幅tkh2.这是共振现象