例说平方差公式完全平方公式的结构特征

例说平方差公式、完全平方公式的结构特征师：同学们，我们已经学习了如下两个乘法公式：平方差公式：(a+b) (ab)=a2 b2完全平方公式：(a土b)2 =a2 2ab+b2你能说出它们的结构特征吗？快嘴朱春明没举手就迅速站起来说：“平方差公式的左边是两个数的和乘以这两个数的 差，右边是这两个数的平方差。”小百灵陈海田也不甘示弱，道：“完全平方公式的结构特征是左边是两个数的和(或差) 的平方，右边是这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍。”小眼镜于政慢条斯理地接着说：“左边都是二项式乘以二项式，右边只是一个多项式。”细心的许洪秀象发现新大陆一样，激动地说：“这两个公式，从左向右看，属于整式的 乘法运算，从右向左看，属于因式分解。”平时在符号上常出错的牛川同学说：“平方差公式中的两个平方项是异号，一正一负； 而完全平方公式中的两个平方项是同号，都为正，乘积项的符号取决于原来两个数a、土b 的符号，同号得正，异号得负。”师：同学们的发现都是对的。你有胆量运用乘法公式解决下列问题吗？例 1、计算：(1) (2m3n)( 2m+3n); (2) ( 3+2a)(3 2a); (3) (5+2x)(2x5).韩金轩同学分析道：“这三小题都可以用平方差公式进行计算，关键是要正确确定公式 中的两个数分别是什么，它们分别是2m与3n、一3与2a、一5与2x，结果等于它们的平方 差。”于是，解题过程如下：解：(1)原式=(2m) 2 (3n) 2 =4m2 9n2 ;(2) 原式=(3) 2 (2a) 2 =94a2 ;(3) 原式=(5) 2 (2x) 2 =254x 2 .34例 2、计算：(1) ( m+ yn)2;(2) (2a2 7b)2.不太善于表达的陈博同学在较短时间内，把自己的解法呈现给大家：解：(1)方法一：原式=(4m) 2 +2X( 4m)X n+( 3n) 2916=m2 2mn+n2169方法二：原式= (：n= m)2(把一：m、？n互换位置)34434433= (n) 2 2X nX m+( m) 23344=n2 2mn+- m2916(2)方法一：原式=(2a2 ) 2 2X(2a2 ) X7b+(7b)2=4a4 +28 a2b+49 b2方法二：原式=(2a2 +7b) 2 =(2a2 +7b)2= (2a2 ) 2 +2X2a2 X7b+(7b)2=4a4 +28 a2b+49 b2例 3、计算：(a+bc) (ab+c).善于变通的任加林同学，沉默了一会儿，说：“这是三项式乘以三项式，第一项相同(都 是a),第二、三项+bc、一b+c互为相反数，根据整体思想，可以写成+bc)、一(b c)，这样就符合平方差公式。”于是，解题过程如下： 解：原式=a+(bc) a (bc)=a2 (bc) 2=a2 (b2 2bc+c2 )=a2 b2 +2bcc2例4、你能用乘法公式计算(a+9)(a+1)吗？爱动脑筋的祁金龙同学，一会儿皱着眉头，一会儿动手疾书，终于想出了办法：“根据 平方差公式，因为(a+b) + (ab)=2a、(a+b) (ab)=2b，所以(a+9) + (a+1) = 2a+10 = 2 (a+5)、(a+9) (a+1) = 8 = 2X4，于是(a+9)(a+1)转化为(a+5)+4 (a +5)4，利用平方差公式进行计算疽于是，解法如下：解：原式=(a+5)+4 (a+5)4=(a+5)2 42 =a2 + 10a+25 16=a2 + 10a+9.例 5、因式分解：(1) 1 16a2 ; (2) 49 (ab) 2 16 (a+b) 2.解云云同学说：“这两小题都是平方差的形式，即12 (4a) 2、7 (ab) 2 4(a+b) 2，所以都可以用平方差公式进行分解因式。”解：(1)原式=12 (4a) 2 =(1+4a) (14a)；(2)原式=7 (ab) 2 4 (a+b) 2=7(ab)+4(a+b)7(ab)4(a+b)= (11a3b) (3a11b)-1例 6、因式分解：(1) x2 +x+ 4 ； (2) a2 2a(b+c) + (b+c)2 .解：(1)原式=x2 +2Xx+) 2 =(x+3 ) 2 ；AAA(2)原式= a(b+c) 2 =(ab+c) 2 .评析：本题都是三项式，要验证是否符合完全平方公式，即确定平方项与乘积项，看两 个平方项是否同号，乘积项是否是两个平方项底数乘积的2倍。例 7、因式分解：x4 y 4 8x2 y2 +16.解：原式=(x2y2 ) 2 2Xx2 y 2 X4+42= (x2 y 2 4) 2=(xy+2) (xy2) 2=(xy+2) 2 (xy2) 2注意：因式分解一定要分解到不能再分解为止。师：同学们的表现很优秀，老师为有你们这样的学生而感到自豪！下面我们一起来走进09 中考试题，感悟一下中考的氛围吧。1、 把x3 2x2y+xy2分解因式，结果正确的是()(2009年北京市中考题)A. x (x+y) (xy)B. x(x2 2xy+xy2 )C. x (x+y) 2 D. x (xy) 22、 在实数范围内因式分解x4 4= (2009年杭州市中考题)3、 因式分解：(x+y) 2 3 (x+y)= (2009年嘉兴市中考题)4、 分解因式：2x3 8x= (2009年广东省中考题)5、 分解因式：27x2 +18x+3= (2009年潍坊市中考题)6、 分解因式：ax2 a= (2009年济宁市中考题)7、 因式分解：a2 b2 2b1 = (2009年安徽省中考题)8、先化简，再求值：1(1) (3+m) (3m)+m(m6)7,其中 m= . (2009 年温州市中考题)；1(2) (a+b) (ab) + (a+b) 2 2 a2，其中 a=3，b= 3. (2009 年长沙市中考题)