随机过程的基本概念.ppt

第二章 随机过程的基本概念,2.3 平稳随机过程,平稳随机过程的特点 平稳随机过程的定义 平稳随机过程相关函数的特性 平稳随机过程的相关系数和相关时间 其他平稳随机过程的概念,2.3.1 平稳随机过程的特点, 平稳随机过程的特点 在无线电技术中，平稳随机过程是最常见的，因而也是最重要的一类随机过程。它的主要特点是：其统计特性不随时间的平移而变化，它的初始时间可以任意选择，其统计特性与时间起点的选择无关。也就是说，平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。,2.3.1 平稳随机过程的特点, 平稳随机过程的特点（续） 严格地说，现实存在的所有信号（过程）都是非平稳的。一般说来，如果产生某一随机过程的主要物理条件在时间进程中不改变时，则此过程便可认为是平稳的，因为平稳随机过程的分析要容易得多。例如噪声发生器在接上电源后，当温度和其它物理条件未达到稳定状态时，输出噪声是非平稳的，达到稳定状态后，则可认为是平稳的。,2.3.1 平稳随机过程的定义,2.3.1 平稳随机过程的定义, 狭义平稳随机过程的定义（续） 由定义可知，狭义平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，即有fX(x, t)= fX(x, t+ t) =fX(x, 0) =fX(x) 由此可以求得X(t)的数学期望和方差都是与时间无关的常数，即有,2.3.1 平稳随机过程的定义, 狭义平稳随机过程的定义（续） 同理，狭义平稳随机过程的二维概率密度仅与时间间隔= t1 t2有关，即有 fX(x1,x2,t1,t2)= fX(x1,x2,t1+ t ,t2 + t) t =-t2 fX(x1,x2,t1 - t2,0)= fX(x1,x2,) 由此可以求得X(t)的相关函数也只是的函数，即,2.3.1 平稳随机过程的定义, 广义平稳随机过程的定义 如果随机过程X(t)的数学期望为一常数，其相关函数仅与时间间隔= t1 t2有关，即有 EX(t)=mX RX(t1,t2)=RX(t1-t2)=RX() 则称X(t)为广义平稳随机过程。 显然，狭义平稳平稳随机过程必定是广义平稳的，而广义平稳的随机过程则未必是狭义平稳的。,2.3.1 平稳随机过程的定义, 广义平稳随机过程的定义（续） 由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论（即只限于研究随机过程一、二阶矩的理论）的范围内讨论平稳随机过程，因此划分出广义平稳随机过程来。而相关理论之所以重要，是因为在工程技术中，它能给出有关平稳过程的平均功率的几个主要指标。例如：如果随机过程X(t)代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给出直流分量、交流分量、平均功率及功率在频域上的分布等。 在许多工程技术问题中，大都只研究广义平稳过程。以后除特别声明外，凡是提到平稳性，都指的是广义平稳。,2.3.1 平稳随机过程的定义, 平稳随机过程的例题 例2.10设随机过程X(t)=umsin(0t+ )，其中um和0皆为常数,为在0,2上均匀分布的随机变量。试证X(t)为一平稳随机过程。 证明 X(t)的数学期望为,2.3.1 平稳随机过程的定义, 平稳随机过程的例题（续） X(t)的相关函数为 可见， X(t)的数学期望为0，相关函数仅与有关，故X(t)为平稳随机过程。,2.3.1平稳随机过程的定义, 平稳随机过程的例题（续） 例2.11设随机过程X(t)=At, A为在0,1上均匀分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？ 解 X(t)的数学期望为,2.3.1 平稳随机过程的定义, 平稳随机过程的例题（续） X(t)的相关函数为 可见X(t)不是平稳随机过程。,2.3.1平稳随机过程的定义, 平稳随机过程的例题（续） 例2.12设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint， t ，其中X，Y为相互独立的随机变量，并分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试证Z(t)为广义平稳随机过程，而非狭义平稳随机过程。,2.3.1 平稳随机过程的定义, 平稳随机过程的例题（续） 解因为 可见， Z(t)是广义平稳随机过程。,2.3.1 平稳随机过程的定义, 平稳随机过程的例题（续） 又因为 即Z(t)的三阶矩就与时间t有关，故Z(t)不是狭义平稳随机过程。,2.3.1 平稳随机过程的定义, 平稳随机过程的例题（续） 例2.13设随机过程X(t)=X (k) ，k=-2， -1,0,1,2， X (k)为相互独立且具有相同分布的随机变量序列，已知EX (k)=0， EX2 (k) = 2X。试证X(t)既是广义平稳随机过程，又是狭义平稳随机过程。,证明 随机过程X(k)的数学期望和相关函数为 因为X(k)的数学期望和相关函数与时间t 无关，因此X(k)为广义平稳。 又因为X(k)在各个时刻的分布相同且相互独立，其n 维概率密度为 上式说明X(k)的n 维概率密度与时间平移无关，所以X(k)为也是狭义平稳的。,2.3.2 平稳随机过程相关函数的的特性,性质1,是偶函数 即：,证 由于平稳随机过程的相关函数与计时起点无关，因而有,性质2,RX()在 =0 时有最大值，即,同样对于协方差函数有 KX(0)|KX()|,证 因为任何正函数的统计均值恒为非负值，于是有：,EX(t)X(t-)20,或者 EX2(t)2X(t)X(t-)X2(t-)0,由于X(t)为平稳过程，所以在上式中有EX2(t)=EX2(t-)=RX(0)，即有： 2RX(0)2RX()0 或者 RX(0) | RX()|,性质3,对于非周期的平稳随机过程，当时， RX()的极限等于其数学期望的平方，即,对于协方差函数，不难直接得出 KX()=0,从物理意义上很容易想象到，当时间差增大时，X(t)与X(t+)之间的相关性便要减弱。因此在的极限情况下，X(t)与X(t+)变为互相独立的随机变量，于是,亦即,同理，可求得,性质4,如果平稳随机过程中含有周期分量,那么其自相关函数中也含有周期分量 例2.10可知， 相关函数为：,性质5,当=0 时，RX()等于方差和数学期望平方之和，即：,证 因为：,或者,6、 平稳随机过程的相关函数具有非负定性，即对于任意n个复数a1,a2,an以及任意n个实数t1,t2,tn，皆有不等式 式中的号代表取复共轭。, 平稳随机过程相关函数的主要特性（续）,相关系数两个不同时刻状态之间的相关性,2.3.3 平稳随机过程的相关系数和相关时间,相关系数rX()有时也叫归一化的相关函数 或标准协方差函数。 从相关系数定义，显然有rX(0)=1,|rX()|1,此值在1，1之间。 表示不相关， 表示完全相关。 表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。 表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相反可能性大。,相关时间,当相关系数中的时间间隔大于某个值，可以认为两个不同时刻起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。,通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔 ，记做相关时间, 即: 时的时间间隔 为相关时间。,有时我们用矩形（高为 ,底为 的矩形）面积等于阴影面积( 积分的一半）来定义相关时间，即,相关时间 越小，就意味着相关系数 随 增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，相关时间 越大，则表时随机过程随时间变化越慢。,物理意义,2.4 各态历经随机过程,各态历经过程的概念和定义 各态历经性条件,2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的概念 随机过程是大量样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，就需要观测大量的样本函数并进行统计。显然，其试验工作量很大，处理方法也很复杂，因而促使人们思索着去寻求较为简单的方法。,2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的概念（续） 根据平稳随机过程的统计特性与时间起点无关这一特点，设想如果一个样本函数在足够长的时间内经历了该随机过程的各种可能状态，那么就有可能从一个样本函数中提取随机过程的全部信息，即任何一个样本函数的特性就可代表整个随机过程的特性。这就是各态历经性假说。,2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的概念（续） 经证明，平稳随机过程在具备一定的补充条件下，于足够长的时间对其一个样本函数取得的时间平均依概率意义趋近于该过程的统计平均（集合平均）。这样的随机过程称为具有各态历经性的过程。,2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的概念（续） 例如：在稳定状态下工作的一个噪声源，在较长时间T内观测它的噪声电压。将T均分为N等分，分别测出每个等分时刻点上的电压值，得到N个数据。只要等分时间间隔足够小，N值足够大，则这N个数据的算术平均值近似等于电压的时间均值。,又设有N个相同的噪声源，工作在相同的条件下，任选某一固定时刻，测出N个电压数据并求出其统计均值。,用同样方法求得的时间相关函数也在概率意义下近似地等于集合相关函数。,这样，在概率意义上看，前次取得的时间均值应与后次取得的统计均值相等。,用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求随机过程的数学特征就带来了很大方便。,这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如x1(t)的均值呢？我们以下式来表示 显然x1(t)不同其积分结果一般不同。 于是对一个随机过程， ，其样本函数的积分结果可能不同。此时显然用一个样本函数的数字特征如 ，近似 是不正确的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的绝大多数样本函数的均值,都有 则我们可用其中一个样本函数的均值 作 为 X(t)的近似，即,2.4.1 各态历经过程的概念和定义,1、样本的时间均值和时间相关函数 设x(t)是随机过程X(t)的一个样本函数，定义它的时间均值为 (.4.1) 时间相关函数为 (.4.2),2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的定义 1、随机过程的时间均值和时间相关函数 设随机过程X(t)，定义它的时间均值为 (.4.3) 时间相关函数为 (.4.),对于时间序列(n)，定义它的时间均值与时间相关函数分别为,2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的定义（续) 2、如果下式 MXT=EX(t)=mX (.4.) 依概率1成立，则称X(t)的均值具有各态历经性。（时间平均等于统计平均）,2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的定义（续) 3、如果下式 RXT()=EX(t)X(t-)= RX() (.4.) 依概率1成立，则称X(t)的相关函数具有各态历经性。 （时间相关函数等于统计相关函数）,2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的定义（续) 4、如果随机过程X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性，则称随机过程X(t)为各态历经过程，或称随机过程X(t)具有各态历经性。,2.4.1 各态历经过程的概念和定义, 各态历经过程的物理意义 一般说来，时间平均是随机变量，但对于各态历经的随机过程而言，时间平均趋于一个常数，这就表明，各态历经随机过程的各个样本函数的时间平均可以认为是相同的，因此随机过程的均值可以用它的一个样本函数的时间均值来代替。同样，相关函数亦可以用一个样本函数的时间相关函数来代替。也就是说，各态历经随机过程的一个样本函数经历了随机过程所有可能的状态。,这一性质，在实际应用中是很有用的，因为我们可以通过对一个样本函数的观测，就可以估计出该随机信号的均值、方差和相关函数。,2.4.2 各态历经性条件,各态历经过程必为平稳过程，反之不然 如果随机过程X(t)具有各态历经性，则根据(.4.1)至(.4.)式，其时间均值和时间相关函数必定分别为常数和的函数，并分别等于X(t)的均值和相关函数，所以X(t)必为平稳随机过程。,2.4.2 各态历经性条件, 各态历经过程必为平稳过程，反之不然（续） 反之，平稳随机过程不一定具有各态历经性。例如一直流稳压电源的输出，各样本函数为各不相同的常数，示以X(t)Y，Y为随机变量。显然，从各样本函数求得的时间均值和时间相关函数是各不相同的，因此它不具有各态历经性。,平稳随机过程的均值具有各态历经性的充要条件,随机序列i的时间均值为 随机变量，即：,其数学期望为,样本函数的时间均值依圴方收敛于mx,(时间均值),(统计均值),平稳随机过程的均值具有各态历经性的充要条件 随机序列i的均值具有各态历经性的充要条件,只要上述条件成立，则,均值,即：,令j=i-l ,并作变量替换，得出,其方差为：,证明,2.4.2 各态历经性条件,平稳随机过程的均值具有各态历经性的充要条件, 平稳过程的相关函数具有遍历性的充要条件,随机序列i的时间相关函数为：,其数学期望为：,令j1=i-l ,并作变量替换，得出,其方差为：,随机序列i的相关函数具有各态历经性的充要条件,只要(2.4.21)式的条件满足，就有,即：,2.4.2 各态历经性条件, 平稳过程的相关函数具有遍历性的充要条件,以上从理论上证明了：一个平稳过程X(t)只要满足(2.4.16)和(2.4.23)式的条件，就可以从一次试验得出的样本函数x(t)按以下二式求出它的均值和相关函数，即,统计相关函数等于时间相关函数,统计平均等于时间平均,2.4.2 各态历经性条件,必须指出，工程上常用的平稳随机过程都是满足上述充要条件的。 但是，如果要对一平稳过程按上述的充要条件来判断它的各态历经性是很困难的。对于大多数平稳随机过程而言，它们都是具有各态历经性的，因此在分析一个平稳随机过程的实际操作中，经常是凭经验把各态历经性作为一种假设，直接按各态历经过程处理，然后根据试验结果来验证这一假设是否合理。这就是各态历经性假说。,2.4.2 各态历经性条件,因为如果不是这样，我们就无法对随机过程进行数值分析.,2.4.2 各态历经性条件, 各态历经性的应用 工程上常用的平稳随机过程都是满足上述充要条件的，我们可以按照下列两式来估计随机过程的均值和自相关函数：,同样，对于各态历经的随机序列X(n)，它的一个样本函数为x(n)，则X(n)的均值、方差和自相关函数的估计表示式分别为,2.4.2 各态历经性条件, 各态历经性的例题 例.15试判断例题.10中的平稳过程X(t)=umsin(0t+ )是否具有各态历经性。 解根据例.10 题中的计算结果，知X(t)的均值和自相关函数分别为： mX=0,现在计算X(t)的时间均值,因此得到：,计算X(t)的时间相关函数,因此得到：,可见，时间平均等于统计平均，时间相关函数等于统计相关函数，因此正弦随机过程X(t)是各态历经过程。 从直观上来看也是很明显的，正弦随机过程X(t)的任意一个样本函数为周期函数，而每个周期内就包含了过程所有的状态。因此正弦过程显然是各态历经过程。,