计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵课件

计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵3.8 脉冲传递函数矩阵脉冲传递函数矩阵在第在第1 1节中，我们已经讨论过用脉冲传递函数来描述单节中，我们已经讨论过用脉冲传递函数来描述单输入单输出的离散系统。脉冲传递函数矩阵的概念是脉冲输入单输出的离散系统。脉冲传递函数矩阵的概念是脉冲传递函数的推广，用脉冲传递函数矩阵可以描述传递函数的推广，用脉冲传递函数矩阵可以描述多输入多多输入多输出输出的离散系统。的离散系统。本节首先讨论由离散状态方程和输出方程求多输入多输本节首先讨论由离散状态方程和输出方程求多输入多输出系统的脉冲传递函数矩阵，然后讨论权序列矩阵，最后出系统的脉冲传递函数矩阵，然后讨论权序列矩阵，最后讨论脉冲传递函数矩阵的相似变换。讨论脉冲传递函数矩阵的相似变换。1、脉冲传递函数矩阵对 r 个输入和 m 个输出的线性定常离散状态方程可表示为 (3.160)(3.161)(1)()()kkkxGxHu()()()kkkyCxDu计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵对方程式（对方程式（3.1603.160）和（）和（3.1613.161）进行）进行Z Z变换，可得变换，可得()(0)()()zzzz zXxGXHU()()()zzzYCXDU当系统的初始状态为静止（即当系统的初始状态为静止（即 ）的条件）的条件下，得下，得 (3.162)(3.162)和和 (3.163)(3.163)其中其中 (3.164)(3.164)称为脉冲传递函数矩阵称为脉冲传递函数矩阵 。它是一个。它是一个 维维矩阵，反映了多输入多输出离散系统的动态特征。矩阵，反映了多输入多输出离散系统的动态特征。1()()()zzzXI G HU1()()()zzzYCIGHD U()()zz FU1()()zzFC I G H Dm r(0)0 x()zF计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵因为矩阵因为矩阵 的逆阵可表示为的逆阵可表示为所以，所以，脉冲传递函数矩阵可写成脉冲传递函数矩阵可写成 (3.165)(3.165)显然，显然，的极点就是的极点就是 =0=0的零点。的零点。()z IG1adj()()|zzzIGIGIG()F zadj()()|zCzIG HFDzIG()zF|z I G离散系统的特征方程式为离散系统的特征方程式为 (3.166)(3.166)或或 (3.167)(3.167)其中系数其中系数 与矩阵与矩阵 的各元素有关。的各元素有关。121210nnnnnzazaza z aiaG0zIG计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵如果如果 个输入端同时加上输入信号的个输入端同时加上输入信号的z z变变换换 ，那么在第那么在第 个输出端上的响应所对应的个输出端上的响应所对应的z z变换式为变换式为 (3.170)(3.170)其中其中 的物理意义是，当系统的初始状态为静止的条的物理意义是，当系统的初始状态为静止的条件下，在第件下，在第 个输入端施加一串单位脉冲个输入端施加一串单位脉冲 ，那末在，那末在第第 个输出端上响应所对应的个输出端上响应所对应的Z Z变换式就是变换式就是 。r12(),(),()rzzzUUU1()()()1,2,riijjjzzzimYFUijFj()kiijF (3.169)2、权序列矩阵、权序列矩阵将方程式（将方程式（3.1633.163）改写为）改写为1111211221222212()()()()()()()()()()()()()()()rrmmmmrrY zFzFzFzUzY zFzFzFzUzYzFzFzFzUz i计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵因为 可以展开为无穷级数，即 (3.171)将（3.171）式代入（3.164）式中，得 (3.172)那么 (3.173)称为权序列矩阵。1()zIG11223()zIGIzGzG z122312231()kkzzFC I zGzGHDD CHzCGHzCG HzCGHz1()()kZFFz它的物理意义是，当系统的初始状态为静止的条件下，在它的物理意义是，当系统的初始状态为静止的条件下，在各输入端各输入端同时施加同时施加一串单位脉冲一串单位脉冲 ，那么系统的响应矩，那么系统的响应矩阵就是阵就是权序列矩阵权序列矩阵。可见，权序列矩阵的概念是单输入单。可见，权序列矩阵的概念是单输入单输出系统的权序列输出系统的权序列 的推广。的推广。()k()g k计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵参照参照Z Z变换的定义，变换的定义，可写成可写成 (3.174)(3.174)()zF0()()kkzkzFF12(0)(1)(2)()kzzk zFFFF比较式（比较式（3.1743.174）和式（）和式（3.1723.172）中）中 的的各项的系数，可得权序列矩阵为各项的系数，可得权序列矩阵为(0,1,2,)kzk1(0)(1)(2)()kFDkFC HFC G HFC GH计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵因此，权序列矩阵可写成因此，权序列矩阵可写成 (3.175)(3.175)10 0()0 1,2,3,kkkkkFDC GH由方程式（3.163）可见，输出信号 可以表示为权序列矩阵和输入信号的z变换的卷积和，即 (3.176)()y k0()()()kjkkjjyFu0,1,2,k计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵例例3.11 3.11 求下述离散状态方程和输出方程的脉冲传求下述离散状态方程和输出方程的脉冲传递函数矩阵和权序列矩阵递函数矩阵和权序列矩阵11221122(1)()010()(1)()0.1611()()11()()01xkxkkxkxkykxkykxku解：由方程式（解：由方程式（3.1643.164），得），得1()()F zC zI GH D111100010.1611041111130.230.8010.810.5130.230.85151030.230.8 1141130.230.8 zzzzzzzzzz411130.230.8114130.230.8 zzzz计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵()F z对 进行z反变换，可得权序列矩阵为1111141(0.2)(0.8)33()()1,2,14(0.2)(0.8)33kkkkkZkFF z或，由方程式（或，由方程式（3.1753.175），得），得1()1,2,3,kkkFC GH因为因为 11()kZGzIGz4155(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)33330.80.814(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)3333kkkkkkkk计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵所以所以11111111111141(0.2)(0.8)1133()010.80.8(0.2)(0.8)3355(0.2)(0.8)033 141(0.2)(0.8)3341(0.2)(0.8)33 14(0.2)(0.8)33kkkkkkkkkkkkFk 1,2,3,k计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵3、脉冲传递函数矩阵的不变性、脉冲传递函数矩阵的不变性对方程式（对方程式（3.1603.160）和）和(3.161)(3.161)所示的离散状态方程进行所示的离散状态方程进行线性非奇异变换线性非奇异变换时，脉冲传递函数矩阵是不变的。时，脉冲传递函数矩阵是不变的。1-1 PG PGPHHC P=CD=D令 其中 P 为 nxn 非奇异矩阵，得 (3.177)(3.178)其中 G,H,C,D 与 、有下述关系()()kkxPx(1)()()x kkkGxHu()()()kkkyCxDuGHCD计算机控制系统的数学描述5脉冲传递函数矩阵由（由（3.1603.160）式可见，当系统的状态方程进行线性变换时，）式可见，当系统的状态方程进行线性变换时，也就是说，取不同的状态变量也就是说，取不同的状态变量 时，系统的脉冲传递时，系统的脉冲传递函数矩阵是不变的。函数矩阵是不变的。()x k还可以证明，当系统的状态方程进行线性变换时，特征方还可以证明，当系统的状态方程进行线性变换时，特征方征式征式 也是不变的。也是不变的。|0zI G因为因为 1()()F zC zIGHD1()()zC zIGHDF 因此因此 (3.179)(3.179)1111 ()()GCP zPGPHDC zPPPPHD1111()()()F zC zI GH D CP zIP GPP H D