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安徽电气工程职业技术学院基础部 数学教研室 臧永翠,第八章 多元函数积分学,本章共安排12学时，其中习题课有2课时。具体如下：,第1,2课时：8.1.1 二重积分的概念 8.1.2 二重积分的性质,教学目的：理解二重积分的概念 了解二重积分的性质 掌握二重积分的几何意义 教学重点：二重积分的定义与性质 教学难点：二重积分的性质,教学过程： 1. 复习一元函数定积分的定义，回忆求曲 边梯形面积的步骤： （10） “分割”“近似代替”“求和”“取极限” 然后提出问题：如何求曲顶柱体的体积 （理解一下什么叫曲顶柱体？） 2. 分析其四个步骤，求出曲顶柱体的体积 从中引出二重积分的定义 （15）,3. 二重积分的定义： （15） （比照定积分的定义，加以说明其 共性：“和式的极限”） 4. 二重积分的几何意义： （10） 5. 二重积分的性质： （35） 着重介绍性质1，2，3，4要求学生一定要掌握对性质4： （积分区域的面积） 应补充例题如： 等,=,对性质5，6，7仅作介绍。学生知道即可，不要求掌握。 （15） 6 本次课程小结，带领学生一起做习题9.1的1,2,3 （15）,第3,4课时8.1.3二重积分的计算方法,教学目的：掌握二重积分的计算公式 并会交换积分次序 教学重点：二重积分的计算 教学难点：化二重积分为二次积分 （累次积分） 会定积分变量的上下限,教学过程： 1. 复习二重积分的定义及几何意义（提问） 定积分中已知平行截面面积求立体体积 （教师讲解） （10） 2. 推导公式：见教材P285P287 （15） （此处可以按教材进行，直到推出公式9.3） 3. 讲解教材中的例2，例3然后讲解例5，发现问题： （25） 在 = 中先对y积分， = 的原函数求不出来，此 时再提出积分的次序可以交换，给出公式9.4 后，完成例5 的讲解,4 归纳求二重积分的步骤，给出学生求二 重积分的思路 （10） 5 讲解例4（分析恰当的选择积分次序的重 要性，要学会根据被积函数与积分区域来定） 6 两种特例： （20） 积分区域D为矩型区域，且 积分区域D既为型，又为Y型区域要会交 换积分次序 7. 可先补充例题如： （10）, 再讲解例6 8. 本次课程小结，布置作业 （10）,第5,6课时：8.1.3 二重积分的计算方法,教学目的：掌握在极坐标系下计算二 重积分 教学重点：在极坐标系下二重积分的 计算公式 教学难点：积分变量极角，极限上下 限的确定,教学过程： 1. 复习在直角坐标系下计算二重积分的两个公式 然后给出：化 为累次积分，其中D 为圆环域： 让学生来定上下限。 从中发现问题，再引出极坐标的概念 （15） 2. 推导公式：先推出面积元素 = ,将二 重积分化为极坐标系下的二重积分,再化为累 次积分，其积分次序只有一种，即先对 r积分 再对积分（告诉学生如何定出r，的上下限） （15）,3. 讲解例7，例8， （15） 补充例题： 其中D: 从中引出概率积分： = 4. 求空间立体的体积： （15） 关键在于两点：,步骤：画出空间立体的图形 找出空间立体在xoy面上的投 影区域D 计算二重积分 5. 讲解教材中的例9，例10 （25） （从中可以告诉学生如何找出积分区域及被 积函数的简单方法，可以不画空间立体的图 形） 再补充一例，让学生练习。 6. 本次课程小结，布置作业。 （10）,第7,8课时：8.2 曲线积分,教学目的： 理解曲线积分的概念与性质 掌握曲线积分的计算方法 教学重点： 曲线积分的计算方法 教学难点： 曲线积分概念的引入,教学过程： 1. 复习定积分，二重积分的定义“和式 的极限” （10） 两个向量的数量积以及功的求法： 从而提出问题：如何求出变力沿曲线所做的 功 2. 引例：求变力沿曲线做功 （15） 通过“分割”“近似代替”“求和”“取极限” 这四个步骤得出 :,（这里可以由教师叙述出来其过程，最后只写出结 论引导学生看出这又是一种和式的极限，然后对 比定积分，二重积分的定义，抽象出对坐标的曲 线积分的定义） 3. 对坐标的曲线积分的性质 （10） 4. 给出对坐标的曲线积分的计算公式（9.16） （9.17）, （9.18） （15） (基本思路：化曲线积分为定积分) 5. 讲解教材中的例1，例2，例3，（例4，例5可讲可 不讲） （25） 然后根据以上例题分析一下，有的积分的值与路 径有关（如例1），有的积分的值与路径无关（如 例2）,6. 将习题9.3中的2，3作为课堂练习，让 学生做 (20) 7. 本次课程小结，布置作业 ( 5 ),第9,10课时： 8.2.4 格林公式,教学目的： 熟练掌握格林公式 会判定曲线积分是否 与路径无关 教学重点： 格林公式 积分与路径无关的条件 教学难点： 格林公式应用的条件,教学过程： 1. 复习曲线积分的计算方法，牛顿莱布尼 茨公式 （10） 2. 讲解格林公式（不用证明，着重分析格林 公式的条件及结论） （10） 格林公式的条件：L为D的正向边界， 在D内连续 3. 讲解例6，例7，例8（可以补一例 ） （30）,8.2.5 平面上曲线积分与路径无关的条件,4. 从上次课的例2入手，引出曲线积分与路 径无关的条件 （10） 5. 讲解定理：设P（X,Y）,Q(X,Y)在单连域D 上具有连续的一阶偏导数，则下面三个条 件是相互等价的： （15） 在D内处处成立 在D内任一闭曲线C，有, 对D内任一曲线L 与积分路径 无关，只与曲线的起点，终点有关 即 = （这里将教材中的定理2，定理3合并在一 起） 6. 讲解教材中例9，例10，例11 （20） 7. 本次课程小结，布置作业 （ 5 ）,第11，12课时,1.本章内容小结 2.带领学生做复习题九,