2020年普通高等学校招生全国统一考试真题节选数学.doc

2020年普通高等学校招生全国统一考试真题节选数 学 试 题一. 选择题1.全国卷理 T10若直线与曲线和圆都相切，则的方程为. . . . 2.全国卷理 T11设双曲线：的左、右焦点分别为，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则. . . . 3.全国卷理 T12已知，设，则. . . . 4.全国卷理 T11若，则. . . . 5.全国卷理 T12周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为的的序列中，满足的序列是. . . . 6.全国卷理 T11已知圆：，圆心为，直线：，为上的动点，过作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为. . . . 7.全国卷理 T12若，则. . . . 8.天津卷 T9已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是. . . . 9.上海卷 T15在棱长为的正方体中，为左侧面上一点，已知到的距离为，到的距离为，则过且与平行的直线交于、两点，则所在的平面是. . . . 10.上海卷 T16已知命题：存在且，对任意的，均有恒成立；命题 ：单调递减，且恒成立；命题：单调递增，且存在，使得.则下列说法正确的是. 、都是的充分条件 . 只有是的充分条件 .只有是的充分条件 . 、都不是的充分条件11.北京卷 T102020年3月14日是全球首个国际圆周率日（）.历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是:当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值，按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是. . . . 12.浙江卷 T7已知等差数列的前项和为，公差，记，下列等式不可能成立的是. . . . 13.浙江卷 T8已知点，设点满足，且点为函数的图像上的一点，则. . . . 14.浙江卷 T9已知且，若在上恒成立，则. . . . 15.浙江卷 T10设集合，中至少有两个元素，且，满足：对于任意，若，则都有对于任意，若，则都有下列命题正确的是. 若有个元素，则有个元素 . 若有个元素，则有个元素. 若有个元素，则有个元素 . 若有个元素，则有个元素二. 填空题16.全国卷理 T15设复数，满足，则 .17.全国卷理 T16设有下列四个命题：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；：过空间中任意三点有且仅有一个平面；：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；：若直线平面，直线平面，则.则下述命题中所有真命题的序号是 . 18.全国卷理 T16如图，在三棱锥的平面展开图中，则 .19.天津卷 T14已知，且，则的最小值为 .20.天津卷 T15如图，在平面四边形中，且，则实数的值为 ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为 .21.上海卷 T10椭圆，过右焦点作直线交椭圆于、两点，在第二象限，已知，都在椭圆上，且，则直线的方程为 .22.上海卷 T11设，若存在定义域为的函数既满足“对于任意，的值为或”，又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围是 .23.上海卷 T12已知是平面内两两互不相等的向量，满足，且（其中，），则的最大值为 .24.北京卷 T15为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在，这三段时间中，在的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是 .25.江苏卷 T12已知，则的最小值是 .26.江苏卷 T13如图，在中，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是（的长度不为） .27.江苏卷 T14在平面直角坐标系中，已知，、是圆：上的两个动点，满足，则面积的最大值是 .28.浙江卷 T16一个盒子里有个红，个绿，个黄共四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为，则 ； .29.浙江卷 T17设，为单位向量，满足，设，的夹角为，则的最小值为 .三. 解答题30.全国卷理 T20已知椭圆：的离心率为，分别为的左、右顶点.（1）求的方程（2）若点在上，点在直线上，且，求的面积31.全国卷理 T21设函数，曲线在点处的切线与轴垂直.（1）求的值（2）若有一个绝对值不大于的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于32.全国卷理 T19已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且.（1）求的离心率（2）设是与的公共点，若，求与的标椎方程33.全国卷理 T21已知函数.（1）讨论在区间的单调性（2）证明：（3）设，证明：34.全国卷理 T20已知、分别为椭圆：的左、右顶点，为的上顶点，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为.（1）求的方程（2）证明：直线过定点35.全国卷理 T21已知函数.（1）当时，讨论的单调性（2）当时，求的取值范围36.天津卷 T18已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点.（1）求椭圆的方程（2）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点， 且为线段的中点，求直线的方程37.天津卷 T19已知为等差数列，为等比数列，.（1）求和的通项公式（2）记的前项和为，求证：（3）对任意的正整数，设，求数列的前项和38.天津卷 T20已知函数，为的导函数.（1）当时（）求曲线在点处的切线方程（）求函数的单调区间和极值（2）当时，求证：对任意的，且，有39.上海卷 T20已知双曲线：与圆：交于点（第一象限），曲线为，上满足的部分，与轴的左、右交点分别记为、，为坐标原点.（1）若，求的值（2）若，点在曲线上，且位于第一象限，求（3）点，过该点且斜率为的直线与交于两点、，用表示，并求 的取值范围40.上海卷 T21若项数为的有限数列满足，则称具有性质.（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由（2）设为，公比为的等比数列，且项数为，若具有性质，求的取值范围（3）设是的一个排列，数列满足，若和都 具有性质，求所有满足条件的数列41.北京卷 T19已知函数，.（1）求曲线上斜率为的切线方程（2）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值42.北京卷 T20已知椭圆：过点，且.（1）求椭圆的方程（2）过点的直线交椭圆于点、，直线、分别交直线于点、，求的值43.北京卷 T21已知是无穷数列，现给出两个性质：对于中任意两项，在中都存在一项，使得对于中任意一项，在中都存在两项，使得（1）若，判断数列是否满足性质，并说明理由（2）若，判断数列是否同时满足性质和性质，并说明理由（3）若是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等比数列44.江苏卷 T18如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且位于第一象限，直线与椭圆相交于另一点.（1）求的周长（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标45.江苏卷 T19已知关于的函数，与在区间上恒有.（1）若，求的表达式（2）若，求的取值范围（3）若， 求证：46.江苏卷 T20已知数列的首项，前项和为，设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列.（1）若等差数列是“”数列，求的值（2）若数列是“”数列，且，求的通项公式（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求的取值范围； 若不存在，请说明理由47.江苏卷 T23甲口袋中装有个黑球和个白球，乙口袋中装有个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球的个数为，恰有个黑球的概率为，恰有个黑球的概率为.（1）求，和，（2）求与的递推关系式和的数学期望（用表示）48.浙江卷 T20在数列，中，.（1）若数列为等比数列，且公比，求和的通项公式（2）若数列为等差数列，且公差，证明：49.浙江卷 T21如图，已知椭圆：，抛物线：，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）.（1）若，求抛物线的焦点坐标（2）若存在不过原点的直线使得为线段的中点，求的最大值50.浙江卷 T22已知，函数，其中为自然对数的底数.（1）证明：函数在有唯一零点（2）记为函数在上的零点，证明：（）（）2020年普通高等学校招生全国统一考试真题节选数 学 试 题一选择题341. A B C D2. A B C D3. A B C D4. A B C D5. A B C D6. A B C D7. A B C D8. A B C D9. A B C D10.A B C D11.A B C D12 A B C D13.A B C D14.A B C D15.A B C D二填空题16. 19. 22. 25. 28. 17. 20. 23. 26. 29. 18. 21. 24. 27. 30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.