Mathematica教程-2常用的数学函数.ppt

常用的数学函数,Mathematica里定义了许多数学函数，包括三角函数、指数对数函数、双曲函数和许多特殊函数 。这些函数都可以用在表达式里。命名规则一般使用习惯的英文缩写，应该注意的是：函数名都是由字符串表示，字符之间不能有空格；函数名字的第一个字母总是大写的，后面的字母是小写的，但如果名字是由几个段构成的（如ArcSin），则每段的第一个字母都必须大写，这些是Mathematica内部函数取名的规则。再一点应当特别注意：函数的参数是用方括号括起来的。如Sinx,三角函数 ：Sinx，Cosx ，Tanx ，Cotx 等 反三角函数 ：ArcSinx ，ArcCosx ，ArcTanx等 双曲函数与反双曲函数 ：Sinhx ，Coshx ，Tanhx，ArcSinhx，ArcCoshx，ArcTanhx 指数函数Ex（或Expx），指数函数ax 对数函数ln x用Logx，以a为底的对数函数用Loga,x 平方根函数 ：Sqrtx ，绝对值函数 ：Absx Maxx1,x1,: 取x1,x2,中的最大值 Minx1,x2,: 取x1,x2,中的最小值 Signx: 符号函数（x大于0时值为1，小于0时值为-1）,常用函数的命令格式,Roundx: 最接近x的整数 Floorx: 不大于x的最大整数 Ceilingx: 不小于x的最小整数 Absx: x的绝对值或复数的摸 x+Iy : 复数x+iy；Rez: 复数z的实部 Imz: 复数z的虚部；Argz: 复数z的幅角 Divisorsn: 能整除n的所有整数组成的表 Modm,n: m被n除的正余数 Quotientm,n: m/n的整数部分 GCDn1,n2: 求n1,n1，的最大公因数 LCMn1,n2: 求n1,n2，的最小公倍数,。,Random : 01之间的随机数 RandomReal,xmax: 0 xmax之间的随机数 RandomReal,xmin,xmax: xminxmax之间的随机数 N表达式，k-求表达式的近似值，k为可选项，它指定计算结果的有效数字的位数。系统默认精度为六位有效数字 N!: n的阶乘 N!:n的双阶乘,在Mathematica中，除使用系统提供的函数外，也可自定义函数。定义一个不带附加条件的一元函数的规则是fx_:=或fx_=后面紧跟一个以x为变量的表达式，其中x_称为形式参数。如果需要给出附加条件，可在表达式的后面通过“/；”与表达式连接，即形式为：fx_：=表达式/；条件。调用自定义函数fx_时，只需用实在参数（变量或数值等）代替其中的形式参数即可。对于定义的函数我们可以使用命令Clearf清除掉或用Removef从系统中删除该函数。,自定义函数,函数的立即定义,立即定义函数的语法如下fx_=expr函数名为f,自变量为x，expr是表达式。在执行时会把expr 中的x都换为f的自变量x(不是x_)。函数的自变量具有局部性，只对所在的函数起作用。函数执行结束后也就没有了，不会改变其它全局定义的同名变量的值。例: 定义函数f(x)=x*Sinx+x2, 对定义的函数求函数值，并绘制它的图形。,多变量函数的定义,也可以定义多个变量的函数，格式为fx_,y_,z_,=expr 自变量为x,y,z., 相应的expr中的自变量 会被替换。例如定义函数 f(x,y)=xy+ycosx,使用条件运算符定义和If命令定义函数,如果要定义如： 可以使用条件运算符，基本格式为fx_:=expr/;condition 当condition条件满足时才把expr赋给f,当然使用If命令也可以定义上面的函数,表,将一些相互关联的元素放在一起，使它们成为一个整体。既可以对整体操作，也可以对整体中的一个元素单独进行操作。在Mathematica中这样的数据结构就称作表（List）。表主要有三个用法：表a,b,c可以表示一个向量；表a,b,c,d可表示一个矩阵。,建 表,在表中元素较少时，可以采取直接列表的方式列出表中的元素，如1,2,3 In1:=1,2,3 Out1=1,2,3 下面是符号表达式的列表 In2:=1+%x+x% Out2=1+2x,1+2x+x2,1+3x+x2,下面是对列表中的表达式对x求导 In3:=D%,x Out3=2,2+2x,3+2x In4:=%/.x-1 Out4=2,4,5,下面给出x乘i的值的表，i的变化范围为2,6 In1:=Tablex*i,i,2,6 Out1=2x,3x,4x,5x,6x In2:=Tablex2,4 Out2=x2,x2,x2,x2,用Range函数生成一个序列数 In3:=Range10 Out3=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 下面这个序列是以步长为2，范围从8到20 In4:=Range8,20,2 Out4=8,10,12,14,16,18,20,如果表中的元素较多时，可以用建表函数进行建表 Tablef, i,min,max,step :以step为步长给出f的数值表，i由min变到max， Tablef,min,max: 给出f的数值表，i由min变到max 步长为1 Tablef,max: 给出max个f的表Tablef, i,imin,imax,j,jmin,jmax,. : 生成一个多维表 TableFormlist: 以表格格式显示一个表 Rangen: 生成一个1,2,.的列表Rangen1,n2,d: 生成n1,n1+d,n1+d,.,n2的列表,表达式,表达式的含义 Mathematica 能处理数学公式，表以及图形等多多种数据形式。尽管他们从形式上看起来不一样，但在Mathematica内部都被看成同种类型，即都把他们当作表达式的形式。Mathematica 中的表达式是由常量、变量、函数、命令、运算符和括号等组成，最典型的形式是fx,y,表达式的表示形式 在显示表达式时，由于需要的不同，有时我们需要表达式的展开形式，有时又需要其因子乘积的形式。在我们计算过程中可能得到很复杂的表达式，这时我们又需要对它们进行化简。常用的处理这种情况的函数。 Expandexpr: 按幂次升高的顺序展开表达式 Factorexpr : 以因子乘积的形式表示表达式 Simplifyexpr: 进行最佳的代数运算，并给出表达式的最少项形式 Apartexpr: 将多项式为化为部分分式之和,表达式（x+y）4（x+y2） 展开： 还原上面的表达式为因子乘积的形式：,多项式表达式的项数较多，比较复杂，在显示时显得比较杂乱，而且在计算过程中没有必要知道全部的内容；或表达式的项很有规律，没有必要打印全部的表达式的结果， Mathematica 提供了一些命令，可将它缩短输出或不输出 expr/Short: 显示表达式的一行形式 Shortexpr,n: 显示表达式的n行形式,命令后加一分号“；” 不打印结果,将表达式（1+x）30展开，并仅显示一行有代表项的式子：,“%”称ditto运算符，有重复以前内容的意思。在计算过程中某次的计算可能要用到上次的计算结果,或者前几次的计算结果,就可用”%”符,用法如下:,运算结果的读取-%运算符,置换运算符“/.”,代数式里的变量可以用某表达式替换，生成新的代数式。也可以把代数式里的所有的变量用数值替换，得到此代数式的计算结果。替换的格式为： expr/.x-x0：表示将表达式里的变量x用x0代替。 expr/.x-x0,y-y0，：表示将代数式里的变量 x,y用x0,y0,代替。 字符串” /.”由一个除号和一个圆点符号组成 字符串”-”由一个减号和一个大于符号连成,关系表达式与逻辑表达式,关系表达式是最简单的逻辑表达式，我们常用关系表达式表示一个判别条件。例如：x0,y=0。关系表达式的一般形式是：表达式关系算子表达式。其中表达式可为数字表达式、字符表达式或意义更广泛的表达式，如一个图形表达式等。在我们实际运用中，这儿的表达式常常是数字表达式或字符表达式。,关系运算,例如： In1:=x=2;y=9 Out1=9; In2:=xy Out2=false 下面是比较两个表达式的大小 In3:=32y+1 Out3=True,逻辑运算,四种主要逻辑运算：逻辑非、逻辑与、逻辑或、逻辑异或,常用的符号,(term) 圆括号用于组合运算 fx 方括号用于函数 花括号用于列表 i 双括号用于排序 % 代表最后产生的结果 % 倒数第二次的算结果 %（k） 倒数第k次的计算结果 %n 例出行Outn)的结果,多项式的表示形式,多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematica提供一组按不同形式表示代数式的函数。,Expandploy 按幂次展开多项式 ployExpandploy全部展开多项式 ployExpandAllploy全部展开多项式ploy Factorploy 对多项式poly 进行因式分解 FactorTermsploy，x,y, 按变量 x,y,进行分解 Simplifypoly把多项式化为最简形式 FullSimplifyploy 把多项式展开并化简 Collectploy,x把多项式poly按x幂展开 Collectpoly,x,y 把多项式poly按x,y.的幂次展开,对x8-1 进行分解,展开多项式（1+x）5,化简（2+x）4(1+x)4(3+x)3,多项式的代数运算,使用Cancel函数可以约去公因式 In8 := Cancel(2+3a+a2)/(1+a) Out8 = 2+a,两个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返商式和余式。,两个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加 Mathematic中提供两个函数PolynomialQuotient和PolynomialRemainder分别返回商式和余式。,方程及其根的表示,Mathematica把方程看作逻辑语句。在数学方程式表示为形如“x2-2x+1=0”的形式,在Mathematica中用“=”表示逻辑等号，则方程应表示为“x2-2x+1=0” 。方程的解同原方程一样被看作是逻辑语句。例如用Roots求方程x2-3x+2的根显示为,用Solve 可得解集形式。,求解一元代数方程,Solvelhs=rhs,vars:给出方程的解集 NSolvelhs=rhs,vars:直接给出方程的数值解集 Rootslhs=rhs,vars:求表达式的根 FindRootlhs=rhs,x,x0 以x=x0为初始值，求方程的解,当方程中有一些复杂的函数时， Solve 可能无法直接给出解来。此时可用FindRoot 来求解， 例如：求3Cosx=logx的解,如果方程有几个不同的解，当给定不同的初始值时，会给出不同的解。如上例若求x=10附近的,则,因此确定解的起始位置是比较关键，一种常用的方法是，先绘制图形观察后再解,如上例通过图形可断定在x=5附近有另一根,求方程组的根,使用Solve和NSolve，FindRoot也可求方程组的解 求解,求方程的全解,求ax2+bx+c=0的根. 我们用Solve函数解的结果是：,这不大合理，因为对不同的a,b,c方程的解有不同的情况，而上面只是给出部分解。如果要解决这个问题可用Reduce命令，它可根据，a,b,c的取值给出全部值。,解条件方程,在作方程计算时，可以把一个方程看作你要处理的主要方程，而把其他方程作为必须满足的辅助条件，你将会发现这样处理很方便。譬如在求解像 这样的方程时，通常我们采用 的代换方法使求解方程得到简化。在Mahematica中，我们通常是首先命名辅助条件组，然后用名字把辅助条件包含在你要用函数Solve 求解的方程组中。 用Sc定义方程： ，在这种条件下，求解方程。,求和与求积,在Mathematica中，数学上的和式符号 用Sum表示，连乘 用Product表示。,Sumf,i,imin,imax 求和 Sumf,i,imin,imax,di 以步长di增加i求和 Sumf,i,imin,imax,j,jmin,jmax 嵌套求和 Productf,i,imain,imax 求积 Product f,i,imin,imax,di 以步长di增加i求积 Productf,I,imin,imax,j,jmin,jmax 嵌套求积 Nsumf,i,imin,Infinity 求 近似值 NProductf,i,imin,Infinity 求 近似值,