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解密30 坐标系与参数方程 高考考点命题分析三年高考探源考查频率直角坐标与极坐标方程的互化从近三年高考情况来看,选考系列由原来的三选一变为二选一,且主要以解答题的形式中出现,考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算,特别要注意：（1）极坐标系中直线和圆的方程；（2）已知直线和圆的参数方程,判断直线和圆的位置关系等.求解时,熟练应用互化公式或理解参数的几何意义即可顺利解决2019新课标全国 222019新课标全国 222018新课标全国 222017新课标全国 22普通方程与参数方程的互化2019新课标全国 222018新课标全国 222018新课标全国 222017新课标全国 22坐标系与参数方程的综合2017新课标全国 22考点1 两种互化及其应用调研1 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）在曲线上取两点,与原点组成,且满足,求面积的最大值.【参考答案】（1）；（2）4【思路分析】（1）利用消掉参数,求得曲线的直角坐标方程,再利用极坐标和直角坐标相互转化的公式,求得曲线的极坐标；（2）设出两点的极坐标,写出三角形面积的表达式,并利用三角函数性质求得面积的最大值.【解析】（1）可知曲线的普通方程为,所以曲线的极坐标方程为,即.（2）由（1）不妨设,所以面积的最大值为4.【名师点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和和极坐标方程的相互转化,考查利用极坐标求解三角形面积的最大值问题.属于中档题.调研2 在平面直角坐标系中,已知曲线（为参数）,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上,在曲线上,求的最小值.【参考答案】（1）曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为；（2）.【解析】（1）由消去得,因为,由直角坐标与极坐标的转化公式可得.所以曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知的圆心为,半径为2,的最小值即为到直线的距离减去圆的半径,因为到直线的距离为,所以的最小值为.调研3 在直角坐标系中,已知曲线的方程为,曲线的参数方程为（为参数）.（1）求的参数方程和的普通方程；（2）设点在上,点在上,求的最小值.【参考答案】（1）的参数方程为（为参数）,的普通方程为；（2）1.【思路分析】（1）由椭圆的参数方程的公式可直接写出的参数方程；由曲线的参数方程消去参数可得到的普通方程；（2）先由的参数方程设出点的坐标,由题意知求的最小值即是求点到直线的距离,再由点到直线的距离公式可直接求解.【解析】（1）由曲线的方程为,得曲线的参数方程为（为参数）,由曲线的参数方程为（为参数）,得曲线的普通方程为.（2）设,点到直线的距离为,则的最小值即为的最小值,因为,其中,当时,的最小值为1,此时.【名师点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化,以及参数的方法求两点间的距离,只需熟记公式即可,属于基础题型.方法技巧点拨1参数方程化为普通方程基本思路是消去参数,常用的消参方法有:代入消元法;加减消元法;恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的方法技巧.2普通方程化为参数方程曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.3极坐标方程与直角坐标方程互化进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式：xcos,ysin,2x2y2,tan(x0)4参数方程与极坐标方程互化进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程（或极坐标方程）化为普通方程（或直角坐标方程）,再转化为极坐标方程（或参数方程）.考点2 利用参数几何意义解题调研1 以平面直角坐标系的坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为（为参数）,曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点,求.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）由,即,得曲线的直角坐标方程为.（2）将的参数方程代入,整理得,.调研2 在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(为参数,0),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设点M的坐标为(1,0),直线l与曲线C相交于A,B两点,求的值.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）曲线,即,曲线C的直角坐标方程为,即.（2）将代入并整理得, ,.【名师点睛】直线的参数方程的标准形式的应用：过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是(t是参数,t可正、可负、可为0).若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则（1）M1,M2两点的坐标分别是(x0t1cos ,y0t1sin ),(x0t2cos ,y0t2sin ).（2）|M1M2|t1t2|.（3）若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t,中点M到定点M0的距离|MM0|t|.（4）若M0为线段M1M2的中点,则t1t20.调研3 在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上的动点,求点到曲线的最小距离【参考答案】（1）；（2）.【思路分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数,能求出曲线C1的普通方程,曲线C2的极坐标方程利用,能求出曲线C2的直角坐标方程；（2）设点的坐标为,利用点到直线的距离表示点到曲线的最小距离,结合三角函数的图象与性质即可得到最小值.【解析】（1）消去参数得到,故曲线的普通方程为.由,得到,即,故曲线的直角坐标方程为.（2）解法1：设点的坐标为, 则点到曲线的距离 所以当时,的值最小, 所以点到曲线的最小距离为. （2）解法2：设平行直线：的直线的方程为.当直线与椭圆相切于点P时,P到直线的距离取得最大或最小值.由得,令其判别式,解得,经检验,当时,点P到直线的距离最小,最小值为.所以点到曲线的最小距离为.【名师点睛】本题考查的知识要点：参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,三角函数关系式的恒等变变换,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型调研4 在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设,直线的参数方程是（为参数）,已知与圆交于两点,且,求的普通方程.【参考答案】（1）;（2）.【思路分析】（1）利用代入,即可得圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入圆的直角坐标方程中,化简得,利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得,从而可得结果.【解析】（1）将代入圆的极坐标方程,得,化为圆的标准方程为. （2）将直线的参数方程（为参数）代入圆的直角坐标方程中,化简得,设两点所对应的参数分别为,由根与系数的关系知, 同号,又,由可知或,或,解得, 的普通方程为. 【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式,等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题方法技巧点拨若直线过(x0,y0),为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).考点3 利用的几何意义解题调研1 平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求出曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为,曲线与的大众点都在上,求的值.【参考答案】（1）的极坐标方程为,的直角坐标方程为；（2）.【解析】（1）消去参数得到的普通方程为,将代入的普通方程,得到的极坐标方程为.由得,把代入上式得曲线的直角坐标方程为.（2）曲线与的大众点的极坐标满足方程组,因为曲线与的大众点都在上,所以把代入方程组得,消去得.调研2 在平面直角坐标系中,已知椭圆的方程为：,动点在椭圆上,为原点,线段的中点为.（1）以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点的轨迹的极坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数）,与点的轨迹交于、两点,求弦长.【参考答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点的坐标为,为线段的中点,点的坐标为 由点在椭圆上得,化简得点的轨迹的直角坐标方程为,将,代入得,化简可得点的轨迹的极坐标方程为 （2）方法1：把直线的参数方程(为参数)代入得,化简得,设、两点对应的参数分别为,由直线参数方程的几何意义得弦长 方法2：由直线的参数方程(为参数)知,直线过极点,倾斜角为, 直线的极坐标方程为 由解得：和弦长方法3：由直线的参数方程(为参数)知,直线的普通方程为, 联立解得和 弦长1（广东省2019-2020学年高三第一次教学质量检测）极坐标系中,曲线C的极坐标方程为以极点为原点,极轴为x轴建立平面直角坐标系xOy,直线l的参数方程为（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；（2）若曲线C上恰有四个不同的点到直线l的距离等于1,求实数a的取值范围2（四川省绵阳市2019-2020学年高三上学期第一次诊断性考试）在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设射线与曲线交于点,与直线交于点,求线段的长3（贵州省安顺市2019-2020学年高三上学期第一次联考）在直角坐标系中,直线的参数方程为（其中为参数）以坐标原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）设点,直线交曲线于两点,求的值4（河南省郑州市第一中学2019-2020学年高三上学期期中考试）在直角坐标系中,直线的参数方程为：（为参数）,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆的极坐标方程为：（1）在直角坐标系中,求圆的圆心的直角坐标；（2）设点,若直线与圆交于,两点,求证：为定值,并求出该定值5（重庆市重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高考适应性月考）在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,曲线的参数方程为（为参数）（1）求曲线的极坐标方程；（2）若曲线与曲线交于,两点,且,求的值6（重庆市沙坪坝区南开中学校2019-2020学年高三11月月考）在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数,）,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）判断直线与曲线的大众点的个数,并说明理由；（2）设直线与曲线交于不同的两点,点,若,求的值7（湖南省师范大学附中2019-2020学年年高三上学期11月月考）在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系（1）求,的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程,设与的交点为,求的面积8（云南省师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期11月月考）在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数,为倾斜角）,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,圆心为,直线与圆交于,两点（1）求圆的直角坐标方程；（2）已知点,当最小时,求的值9（2019年11月四川省攀枝花市一模）在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(,为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线经过点,曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程；（2）若,是曲线上两点,求的值10（山西省大同市2019-2020学期高三上学期第一次联合考试）在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）设点分别为曲线与曲线上的任意一点,求的最大值；（2）设直线（为参数）与曲线交于两点,且,求直线的普通方程11（吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸）已知在直角坐标系内,直线的参数方程为（为参数,为倾斜角）以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；（2）设直线与曲线相交于两点,求点到两点的距离之和的最大值12（安徽省蚌埠市第二中学2019-2020学年高三上学期期中）在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线上的点到直线l的最大距离为,求实数的值13（云南省曲靖市第一中学2019-2020学年高考温习质量监测三）在极坐标系中,已知圆的圆心,半径,点在圆上运动以极点为直角坐标系原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系（1）求圆的参数方程；（2）若点在线段上,且,求动点轨迹的极坐标方程14（广西壮族自治区玉林市2019年高三上学期11月月考）以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为（t为参数）,圆C的极坐标方程为（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；（2）若点在圆C上,求的取值范围15（吉林省长春市东北师范大学附属中学2019-2020学年高三上学期一摸）在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点,轴的非负半轴建立极坐标系,点的极坐标,曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若为曲线上的动点,求中点到直线的距离最小值 1【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为（t为参数）,则点（1,0）到直线l的距离是ABCD2【2019年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值3【2019年高考全国卷理数】在极坐标系中,O为极点,点在曲线上,直线l过点且与垂直,垂足为P（1）当时,求及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程4【2019年高考全国卷理数】如图,在极坐标系Ox中,弧,所在圆的圆心分别是,曲线是弧,曲线是弧,曲线是弧（1）分别写出,的极坐标方程；（2）曲线由,组成,若点在M上,且,求P的极坐标5【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中,已知两点,直线l的方程为（1）求A,B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离6【2018年高考全国卷理数】在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个大众点,求的方程.7【2018年高考全国卷理数】在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,直线的参数方程为（为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率8【2018年高考全国卷理数】在平面直角坐标系中,的参数方程为（为参数）,过点且倾斜角为的直线与交于两点（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程9【2017年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为（为参数）,直线l的参数方程为.（1）若a=1,求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为,求a.10【2017年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为（1）M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值11【2017年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为（t为参数）,直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.12【2016年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a0）.在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：=4cos .（1）说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；（2）直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的大众点都在C3上,求a.13【2016年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. （1）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,AB=,求l的斜率.14【2016年高考全国卷理数】在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点P在上,点Q在上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.知识改变命运27
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