线性代数同济大学.pptx

,1,up,down,回顾 定理1 Ax b 有解 R(A) R(A,b), 向量b能由向量组A线性表示 定理2 向量组 B:1,2,l 可由向量组 A:1,2,m 线性表示 问题 Ax=0只有零解可有非零解，怎么用向量组说明？ k11 k22 km m 0. 只有零解 k1 k2 km 0. 有非零解 k1,k2,km不全为0.,2,up,down,2.向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关与线性表示的关系 三、线性相关性在线性方程组中的应用 四、例题 五、线性相关性与矩阵相乘关系 六、线性相关性与向量组的关系,3,up,down,注意,1 n 0时,才有 1 1 2 2 n n 0成立 .,1. 若 1, 2, n线性无关 ,则只有当,定义,一、线性相关性的概念,给定向量组A:1,2,m,如果存在不,全为零的数k1,k2,km使 k11 k22 kmm 0 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关,4,up,down,注意 2、对于任一向量组，不是线性相关就是线性无关 3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 . 4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的 . 5.对于含有两个向量的向 量组,它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例，几何意 义 是两向量共线；三个向 量相关的几何意义是三 向 量共面 .,5,up,down,m,设 a1,a2,am 中有一个向量（比如,am）,二、线性相关与线性表示的关系 定理 向量组1,2,（当m 2时）线性相关 的充分必要条件是1,2,m 中至少有一个向 量可由其余m 1个向量线性表示 证明 充分性,能由其余向量线性表示. 即有 am 11 2 2 m1 m1 故 11 2 2 m1 m1 1am 0 因 1,2,m1,1 这 m 个数不全为0， 故 1,2,m 线性相关.,6,up,down,证毕.,必要性,设1, 2, m 线性相关，,则有不全为0的数 k1,k2,km, 使 k11 k22 km m 0. 因k1,k2,km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0, 则有 k2 k3 km k1 k1 k1 即 1 能由其余向量线性表示.,7,up,down,三、线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某方程是其余方程的线性组合,那么, 这个方程就是多余的，则称方程组（各个方程）是线性相关的； 方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关 （或线性独立） . 方程组解 与相关性 结论 有非零解 .其中A (1, 2, m ). 若 Ax o只有零解，则 A的列向量组线性无关。 而:m 元齐次线性方程组 Ax o 有非零解 R(A) m m 元齐次线性方程组 Ax o只有零解 R(A) m,8,up,down,向量组 A线性相关就是齐次线性 方程组,结论,x11 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解 .其中A (1, 2, m ). 若 Ax o只有零解，则 A的列向量组线性无关。 而:m 元齐次线性方程组 Ax o 有非零解 R(A) m m 元齐次线性方程组 Ax o只有零解 R(A) m 所以: 定理2 向量组1,2,m线性相关 R(A) m, 相关性 其中A(1,2,m); 秩的判,9,up,down,四、例题 例 n 维向量组 T T T 称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 n维单位坐标向量组构成的矩阵 E (e1,e2,en) 是n阶单位矩阵. 由E 1 0，知R(E) n. 即R(E)等于向量组中向量个数 ，故由定理 2知此 向量组是线性无关的 .,10,up,down,结论 n阶方阵A可逆的充要条件为A的列（行）向量组 线性无关。 补例 设 A为n阶方阵，且| A| 0，则（ 3 ） (1)A中必有两列（行）元素对应成比例； (2)A中任一列（行）向量是其余列（行）向量的 线性组合； (3)A中有一列（行）向量是其余列（行）向量的 线性组合； (4)A中至少有一列（行）的元素全为零。,11,up,down, ,例 已知 1 5 7 试讨论向量组1，2，3及1，2的线性相关性. 解 分析 对矩阵（1， 2， 3），施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵 ,可同时看出矩阵（ 1， 2， 3） 及（1， 2）的秩，利用定理 2即可得出结论 .,1 0 2,(1,2,3) 1 2 4, , 1, ,7 5 ,12,up,down, , 1 5 7, 2 0 2 2， 可见R(1,2,3) 2，向量组1,2,3线性相关； R(1,2) 2,向量组1,2线性无关.,r2r1 r3 r1,2 2 2 2 ,0 0 2 2 5 5, 1 1 0 0 0,13,up,down,已知向量组1,2,3 线性无关,b1 1 2,例3,1 ,b2 2 3,b3 3 1,试证b1,b2,b3线性无关. 证 设有x1,x2,x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0 即 x（1 2） x2(2 3) x3(3 1) 0, 亦即（x1 x3)1 (x1 x2)2 (x2 x3)3 0, 因1，2，3线性无关，故有 x1 x3 0, x2 x3 0.,14,up,down,由于此方程组的系数行 列式,1 1 0 故方程组只有零解 b1,b2,b3线性无关.,0 1 1 x1,1 0 2 0 1 x2 x3 0，所以向量组, x1 x3 0, x2 x3 0.,定义法,(b1,b2,b3) (1,2,3)1 1 0,15,up,down, ,1 0 1 0 1 1 记作B AK， 设 Bx o，即 A(Kx) o,例3 已知向量组 1,2,3 线性无关 ,b1 1 2, b2 2 3,b3 3 1,试证b1,b2,b3线性无关 . (二) 由已知可得,由于1,2,3 线性无关,故 R(A) 3， 即 Ay o 只有零解。 Kx o， 而| K | 2 0，故Kx o只有零解，x o 即 B 的列向量组 b1,b2,b3 线性无关。,方程只有 零解法,(b1,b2,b3) (1,2,3)1,1 0,16,up,down,例3 已知向量组 1,2,3 线性无关 ,b1 1 2, b2 2 3,b3 3 1,试证b1,b2,b3线性无关 . (三) 由已知可得,0 1 1 1 可逆,1 0 记作B AK，而| K | 2 0，K,故R(b1,b2,b3) R(1,2,3) 3 因而 b1,b2,b3 线性无关。,矩阵的秩,17,up,down,五、线性相关性与矩阵相乘关系 结论 若对于两个 n维向量组1,2,m与1,2,m 矩阵 Kmm ,使得 (1,2,m) (1,2,m)K (1)若 K 可逆,则1,2,m线性无(相)关 1,2,m线性无(相)关。 (2)若 K 不可逆，则1,2,m必线性相关。,18,up,down,六、线性相关性与向量组的关系 定理3 (1)若向量组 A：1,2,m 线性相关,则 向量组 B:1,m,m1 也线性相关.反言之,若向 量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 . 证明 （1） 记A (a1,am),B (a1,am,am1)，有 R(B) R(A)1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R(A) m，从而R(B) R(A)1 m 1,因此, 根据定理2知向量组B线性相关. 部分相关则整体相关，整体无关则部分无关,19,up,down,说明 结论（1）可推广为 :一个向量组若有线性 相关的部分组，则该向 量组线性相关 .特别地， 含有零向量的向量组必 线性相关 .反之，若一个 向量组线性无关，则它 的任何部分组都线性无 关.,a1 j , j , , a , a1 j , bj , ( j 1,2,m),a, r1, j ,20,up,down, a2 j arj ,定理3（2）设 a2 j rj ,即 j添上一个分量后得向量 bj.若向量组 A： 1, 2, , m线性无关 ,则向量组 B： b1,b2,bm也线性无 关 .反言之，若向量组 B线性相关 ,则向量组 A也线 性相关 ., a 1 j, , a, a 1 j,b j , a,21,up,down,B线性无关 .,故R(B) m，因此向量组,说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 维）而言的，若增加多 个分量,结论也成立 .,证明 （2）记Arm (1, m )，B(r1)m (b1,bm ), 有R(A) R(B).若向量组 A线性无关 ,则R(A) m， 从而有 R(B) m . 但 R(B) m (因 B 只有 m 列），,j,( j 1,2, , m ), , , , a 2 j rj, a 2 j a rj r 1, j,22,up,down,定理3 （3）m个n维向量组成的向量组，当维数 n小 于向量个数m时一定线性相关 . 证明（3）m个n维向量1,2,m构成矩阵Anm (1,2,m)，有R(A) n.若n m,则R(A) m, 故m个向量1,2,m线性相关. 特别的：n+1个n维向量必线性相关 。,23,up,down,定理3 (4)设向量组A:1,2,m线性无关,而向量 组B:1,m,b线性相关,则向量 b必能由向量组 A线性表示,且表示式是唯一的. 证明 (4)记A (1, 2, m ),B (1, 2, m,b), 有R(A) R(B).因A组线性无关，有 R(A) m; 因B组线性相关，有 R(B) m 1.所以m R(B) m 1，即有R(B) m. 由R(A) R(B) m,知方程组 (1, 2, m )x b有唯一解，即向量 b能由向量 组A线性表示，且表示式唯 一.,24,up,down,内容小结 1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理（难点）,25,up,down,向量组线性相关的充要条件（判定定理） 给定向量组 A:1,2,m,则1,2,m线性相关的 充要条件为 (一) 存在不全为零的数 k1,k2,km 使 k1 1 k22 kmm o (二) 齐次线性方程组(1,2,m)x o 有非零解，即 R (1,2,m) m (三) 向量组 1,2,m (m 2)中至少有一个向量可以 被 其它m 1个向量线性表示,26,up,down,(二)齐次线性方程组(1,2,m)x o 只有零解，即 R (1,2,m) m (三)向量组 1,2,m (m 2)中任何一个向量都不可 以被 其它向量线性表示。因而线性无关也称作线性独立,1,k11 k22 kmm o k22 kmm o，则必有 k1 k2 km 0,向量组线性无关的充要条件（判定定理） 给定向量 1 2 m 1 2 m (一) 对于任意一组不全为零的数 k1,k2,km,都有 若 k1,27,),(1)若1,2,m 线性相关,则1可由2,m线性表示； (2)对于任意一组不全为零的数 k1,k2,km 都有 k11 k22 kmm o 则1,2,m 线性无关； (3)若1,2,m 线性相关，则对于任意一组不全为零的,数 k1,k2,km 都有 k11 k22 kmm o (4)存在全为零的数k1 k2 km 0，使得 k11 k22 kmm o 则1,2,m 线性无关。 up down,exer1 设向量组1,2,m 均为n维列向量,那么下面结,论正确的是( 2,28,up,down,exer2 如果 n维向量组1,2,3与1,2满足下面的关系式, 3 51 22 则向量组1,2,3一定线性 相关 结论 若向量组1,m可由向量组1,n线性表示，且 m n,则1,m必线性相关,29,up,down,exer3 设向量组1,2,3线性相关，向量组 2,3,4线性无关，证明 (1)1能由2,3 线性表示； (2)4不能由1,2,3线性表示。 证明 (1)由于向量组2,3,4线性无关，故 2,3 线性无关， 而向量组1,2,3线性相关，故1能由2,3 线性表示。 (2)反证法，若4能由1,2,3线性表示， 则由1 能由2,3线性表示可知，4能由2,3线性表示， 与已知向量组2,3,4线性无关矛盾， 故假设错误， 即4不能由 1,2,3线性表示。,30,up,down,作业107页,3、 4、,5、 9、 10、,