高中数学数列基础练习题

n 5 3 13 n n n n n n 1 n+1 n10101010高中数学数列基础练习题一、单选题1. ( 2 分 ) （2019全国卷理）已知各项均为正数的等比数列a 的前 4 项和为 15，且 a =3a +4a ， 则 a =（ ）A. 16 B. 8 C. 4 D. 22. ( 2 分 ) （2019全国卷理）记 S 为等差数列的前 n 项和。已知=0，=5 ，则（ ）A. a =2n-5 B. a =3n-10 C. S =2n2-8n D. S =n2-2n3. ( 2 分 ) （2018 高三上广东月考）设数列为等差数列，其前项和为，已知，A.，若对任意 B.，都有成立，则的值为( ) C. D.4. ( 2 分 ) （2018 高三上长春期中）下列四个命题中真命题的个数是（ ）设 ，则；将函数的充要条件是 ；在的向右平移 1 个单位得到函数中，；已知是等差数列的前项和，若，则 ；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. ( 2 分 ) （2019浙江）设 a，bR ， 数列a ，满足 a =a，a = a 2+b，bN*， 则（ ）A. 当 b=时，a 10 B. 当 b=时，a 10C. 当 b=-2 时，a 10 D. 当 b=-4 时，a 106. ( 2 分 ) （2018浙江）已知 ，则（ ）成等比数列，且 若中，A. B. 7. ( 2 分 ) 在等差数列C.， 其前 项和为 ， 若D.， 则的值等于（ ）A. 2011 B. -2012 C. 2014 D. -20138. ( 2 分 ) 已知 a0，b0，且为 3a 与 3b 的等比中项，则的最大值为（ ）n n n n 1 2 1n n 1 ， 5 A. B.C. D.9. ( 2 分 ) 已知数列满足下面说法正确的是（ ）当当当时，数列时，数列时，数列为递减数列；不一定有最大项；为递减数列；当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.A. B. C. D. 10. ( 2 分 ) 已知 f(x),g(x)都是定义在 R 上的函数， 且(， 且 ， 若数列的前 n 项和大于 62，则 n 的最小值为（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题11. ( 1 分 ) （2018 高三上晋江期中）已知等差数列满足 ，且 ，数列满足，的前 n 项和为 ，当取得最大值时，n 的值为_12. ( 1 分 ) （2018衡水模拟）已知数列的通项公式为，前项和为 ，则_13. ( 1 分 ) （2018中原模拟）已知等差数列的前项和为 ，且 ，数列的前项和为 ，且对于任意的，则实数 的取值范围为_14. ( 1 分 ) （2019浙江模拟）数列取值范围是_满足 ，若数列是等比数列，则15. ( 1 分 ) （2019江苏）已知数列，则的值是_.是等差数列，是其前 n 项和.若16. ( 1 分 ) （2019全国卷文）记 S 为等差数列a 的前 n 项和，若17. ( 1 分 ) （2019全国卷理）记 S 为等差数列a 项和，若 a 0，a =3a ， 则，则_.=_。18. ( 1 分 ) （2019全国卷理）记 S 为等比数列a 的前 n 项和。若 a =，则 S =_n 7 n 3 5 6n 3 4 54 3 5 n 1 n +1 n nn n+T n1 1 n+1 nn ;n nn 19. ( 1 分 )（2018上海）记等差数列的前 n 项和为 S ， 若 ，则 S =_。20. ( 1 分 ) 各项均为正数的等比数列a 满足 a 、a 、a 成等差数列，则 三、解答题21. ( 5 分 ) （2017新课标卷理）已知函数 f（x）=x1alnx（）若 f（x）0，求 a 的值；=_（）设 m 为整数，且对于任意正整数 n，（1+）（1+）（1+）m，求 m 的最小值22. ( 5 分 ) （2018浙江）已知等比数列a 的公比 q1，且 a +a +a =28，a +2 是 a ， a 的等差中项数 列b 满足 b =1，数列（b b ）a 的前 n 项和为 2n2+n （）求 q 的值；（）求数列b 的通项公式23. ( 15 分 ) （2019上海）已知等差数列，求集合 ；（1）若的公差 ，数列满足 ，集合（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：b =b ，T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有可能的值24. ( 10 分 ) （2019全国卷文）已知是各项均为正数的等比数列， ， 。（1）求（2）设的通项公式； ，求数列的前 n 项和。25. ( 5 分 ) 已知数列(1)求 与 b和满足 a =2,b =1,a =2a (nN*)，（nN*）.(2）记数列a b 的前 n 项和为 T ， 求 Tn.5 3 1n 答案解析部分一、单选题1.【答案】 C【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解： a =3a +4a ， 则，解得或 （舍）， 各项均为正数，又 等比数列a 的前 4 项为和为 15，故答案为：C.，解得 ，【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到 q=2，再由前 4 项为和为 15 列式，解得，即可求出的值.2.【答案】 A【考点】等差数列 【解析】【解答】利用等差数列通项公式和等差数列前 n 项和公式得，联立求出:故答案为：A【分析】利用等差数列通项公式和等差数列前 n 项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而 求出等差数列的通项公式。3.【答案】 C【考点】等差数列的前 n 项和，等差数列的性质【解析】【解答】设等差数列的公差为由由可得可得，即，解得，解得 的最大值为，则故答案为：【分析】本题利用等差数列的性质求出公差和首项，再利用等差数列前 n 项和公式结合函数最值的性质求 出参数 k 的取值范围。4.【答案】 B【考点】等差数列的性质，平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】设，则的充要条件是当或时，无意义，故不正确；在中，而不是 0，故不正确；将函数由诱导公式知的向右平移 1 个单位得到函数，故正确；，故不正确；已知是等差数列的前项和，若，则0,3(0,故正确.故答案为：B.【分析】1.结合向量平行的判定条件坐标满足定理，即可得出答案。2.等于 0 向量，不是 0，错误 3.函数平 移不对 4.结合诱导公式，即可得出答案。5.结合等差数列性质，即可得出答案。5.【答案】 A【考点】数列的函数特性【解析】【解答】选项 B：不动点满足，排除时，如图，若如图，若为不动点选项 C：不动点满足 排除选项 D：不动点满足则，不动点为 ，令 ，则 ，不动点为 ，令 ，则，排除.故答案为：A【分析】遇到此类问题，可以利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 的可能取值，利 用“排除法”求解.1 2 3 41 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3， 1 32 4 1 32 41 2 3 41 2 31 2 3 41 2 31 2 3 4 1 2 31 3 2 41 2 3 4 1 2 36.【答案】 B【考点】函数的单调性与导数的关系，等比数列，数列的应用【解析】【解答】a ,a ,a ,a 成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同， a 1，设公比为 q当 q0 时 ， a +a +a +a a +a +a ln(a +a +a ) ，不成立；即 a a ， a a a a ， a 0，等式不成立，所以 q-1；当 q-1 时 ， a +a +a +a 0，a +a +a +a =ln(a +a +a )不成立，当 q（-1,0）时，a a 0，a a 0， a +a +a +a =ln(a +a +a ) ，能够成立，故答案为：B【分析】利用等比数列的性质以及对数函数的单调性，通过数列的公比的讨论分析判断即可7.【答案】 C【考点】等差数列的前 n 项和，等差数列的性质【解析】【分析】等差数列中，即数列是首项为，公差为 的等差数列；因为，所以，选 .8.【答案】 B【考点】基本不等式，等比数列的通项公式【解析】【解答】解： a0，b0，且， 所以，为 3a 与 3b 的等比中项， ， 3a3b=3a+b=（）2=3， a+b=1，当且仅当故选：B= = = =时，取等号，的最大值为 【分析】由等比中项推导出 a+b=1，从而 式能求出的最大值= = =，由此利用基本不等9.【答案】 C【考点】不等式比较大小，数列的函数特性，数列与函数的综合【解析】【解答】 ， 因为 ， 所以当时， ， 即 。时， ， 即 ；当当时， ， ， ， 故数列不是递减数列。故不正确。当当时，时， 所以数列， 所以数列先减后增，有最大值，故不正确。 是递减数列，故正确。当为正整数时，令 ， 所以 。时，,数列从第二项起递减，所以此时数列有两项相等的最大值；时，数列从第一项到第项递增，从第项起递减。， 所以此时数列，所以 ， ， 所以有两项相等的最大值，故正确。选 C.10.【答案】 A【考点】导数的运算，等比数列的前 n 项和【解析】【分析】， ， ， 即 ， ， ， ， ， ， 数列为等比数列， ， 即 ， 所以 n 的最小值为 6，故选 A.二、填空题11.【答案】n 1 2 3 20202021【考点】等差数列的性质【解析】【解答】，设等差数列，的公差为 ， ，满足 ，且 ，当时，；当时，当而并且时，的每一项都大于 0，当 ， ，时， ，因此当取得最大值时， 故答案为 6【分析】本题利用等差数列的性质结合数列与数列通项公式的关系求出数列的通项公式，从而求出与数列的前 n 项和的最大值，找出此时对应的 n 的值。12.【答案】 1011【考点】数列的函数特性，等差数列的通项公式，数列的求和【解析】【解答】根据题意得到，将 n 赋值分别得到将四个数看成是一组，每一组的和分别为：12，28，44.可知每四组的和为等差数列，公差为 16.前 2021 项公 525 组，再加最后一项为 0.故前 2021 项和为（50512+）故答案为：1011.【分析】根据 a 的通项公式，将 n 赋值可得到 a ， a ， a ，将四个数看成是一组，每一组的和分别为：12，28，44.，不难求出 S ， S， 即可得出其比值大小.13.【答案】【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和，数列与不等式的综合，平均值不等式在函数极值中 的应用【解析】【解答】依题意，设等差数列的公差为 ，因为，故，故.又，故，故，故，故 ，所以，所以，所以，因为，即 ，显然 ，所以，又 ，当且仅当时，等号成立，所以.所以.故答案为：.【分析】由等差数列的两个条件求出通项公式,再将数列 不等式求最值,得到 t 的范围.14.【答案】【考点】等比数列的通项公式，等比数列的性质裂项相消求和.对不等式分享变量 t,由均值【解析】【解答】解：当时，=4由于，因此时， 为等比数列， 当， ， 解得 而 ， 不满足 为等比数列，舍去当当时，时， 为等比数列， 可得 为等比数列，公比为 2此时， 解得， 舍去综上可得： 的取值范围是:【分析】根据题意对分情况讨论，利用等比数列通项公式的性质代入数值即可。 15.【答案】 16【考点】等差数列的前 n 项和【解析】【解答】数列是等差数列，又利用等差数列通项公式得：是等差数列前 n 项和，且利用等差数列前 n 项和公式 联立，得：得：【分析】根据已知条件结合等差数列通项公式和等差数列前 n 项和公式求出等差数列的首项和公差，再利 用等差数列前 n 项和公式求出等差数列前 8 项的和。16.【答案】 100【考点】等差数列的前 n 项和【解析】【解答】解：，n 3 16 7 1 17 故答案为：100.，【分析】由已知列式 17.【答案】 4【考点】等差数列的前 n 项和，得到 ，代入等差数列的求和公式即可求值.【解析】【解答】解： 等差数列a 中，故答案为：4.，【分析】由已知得到 18.【答案】【考点】等比数列【解析】【解答】，利用等差数列的求和公式，代入化简即可求值.利用等比数列通项公式得，联立求出:【分析】利用等比数列通项公式和等比数列前 n 项和公式结合已知条件 而利用等比数列的首项和公比求出等比数列的前 5 项的和。19.【答案】 14【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和【解析】【解答】a =a +2d=0a +a =a +5d+a +6d=14故 ，故求出等比数列的公比，从故 S =72-57=14。n 1 n 3 5 65 3 6minmin【分析】等差数列的通项公式，等差数列前 n 项和公式 S =，求出 a ，d。20.【答案】1 或【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解： 各项均为正数的等比数列a 满足 a 、a 、a 成等差数列， 2a =a +a ， 即2 =整理，得 q32q，2+1=0，即（q1）（q2q1）=0，由 q0，解得 q=1 或 q=，= =1；当 q= 当 q=1 时，时，=故答案为：1 或【分析】由等比数列的通项公式和等差数列性质，得 q=1 或 q=，再由= =，能求出结果三、解答题21.【答案】 解：（）因为函数 f（x）=x1alnx，x0，所以 f（x）=1=，且 f（1）=0所以当 a0 时 f（x）0 恒成立，此时 y=f（x）在（0，+）上单调递增，所以在（0,1）上 f(x)0,这与 f （x）0 矛盾；当 a0 时令 f（x）=0，解得 x=a，所以 y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增，即 f（x） =f（a），又因为 f（x） =f（a）0，所以 a=1；（）由（）可知当 a=1 时 f（x）=x1lnx0，即 lnxx1，所以 ln（x+1）x 当且仅当 x=0 时取等号，所以 ln（1+） ，kN*,所以，kN*一方面，因为+ =1 1，所以，（1+）（1+）（1+）e；另一方面，（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）=2，同时当 n3 时，（1+）（1+）（1+）（2，e）因为 m 为整数，且对于任意正整数 n（1+）（1+）（1+）m，所以 m 的最小值为 3【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，等比数列的前 n 项和，反证法与放缩 法【解析】【分析】（）通过对函数 f（x）=x1alnx（x0）求导，分 a0、a0 两种情况考虑导函数 f（x）与 0 的大小关系可得结论；（）通过（）可知 lnxx1，进而取特殊值可知 ln（1+） ，kN* 一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+）（1+）（1+）e；另一方面可知（1+）（1+）（1+）2，且当 n3 时，（1+）（1+）（1+）（2，e）22.【答案】 解：（）由是的等差中项得 ，所以 ，解得.由得 ， 因为 ，所以.（）设 ，数列前 n 项和为.由解得.由（）可知 ，所以 ，故 ，.设，所以因此 ，n n+1 nn n+1 nn n又 ，所以【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和，数列的应用，数列的求和 【解析】【分析】（）运用等比数列和等差数列性质，列方程求解公比 q；（）设 c =（b -b ）a =（b -b ）2n-1， 运用数列的递推式可得 c =4n-1，再由数列的恒等式求得 b ，运用错位相减法，可得所求数列的通项公式23.【答案】 （1）解：当 ，集合等差数列的公差 ，数列满足 ，集合（2）解：，数列满足 ，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，此时综上，或者（3）解：当时，集合，符合题意当时，或者 ，等差数列的公差当时满足条件，此时，故， ，又当因为时，故， ，或者 ，当当所以当时，时，时，或者满足题意， ，故 ，满足题意当时，所以，或者， ，故当当当者 ，时，因为，时，因为，时，因为对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 ， ，不符合条件对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 不是整数，不符合条件对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 ，或者 ，此时，均不是整数，不符合题意，或综上， 【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式【解析】【分析】（1）等差数列的公差 ，数列满足 ，集合求出数列，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列 的通项公式，从而求出当时的集合 S.的通项公式和正弦值的求解方法(2)当等差数列首项时，利用数列满足， 用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列 数线求出使得集合的通项公式，再利用数列 恰好有两个元素的 d 的值。的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式， 再利用 是不超过7 的正整数，从而求出满足要求的的所有可能的值24.【答案】 （1）解：设，即解得（舍去）或 q=4. 因此的通项公式为（2）由（1）得的公比为 q，由题设得 .，因此数列的前 n 项和为.【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于 q 的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 可求出结果。的通项公式，再利用等差数列的前 n 项和公式即25.【答案】 (1)，(2)【考点】等差数列的通项公式，数列的求和，数列递推式【解析】【解答】（1）由得当 n=1 时，当时，所以。,故,整理得.（2）由（1)知， 所以所以。【分析】（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列的 通项公式，利用错位相减法进行数列求和。本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和。根据数列递推关系式推理得到数列的性 质和特点，以此得到数列的通项公式，利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题，本题属于中等 题，主要考查学生基本的运算能力。1. 试卷总体分布分析分值分布题量分布2. 试卷题量分布分析大题题型单选题填空题解答题3. 试卷难度结构分析序号123试卷分析部分总分：70 分客观题（占比）主观题（占比）客观题（占比）主观题（占比）题目量（占比）10（40.0%）10（40.0%）5（20.0% ）难易度容易普通困难22（31.4% ）48（68.6% ）12（48.0% ）13（52.0% ）分值（占比）20（28.6%）10（14.3%）40（57.1%）占比0%48%52%4. 试卷知识点分析序号1234567891011121314151617知识点（认知水平）等比数列的通项公式等差数列等差数列的前 n 项和等差数列的性质平面向量共线（平行）的坐标表示数列的函数特性函数的单调性与导数的关系等比数列数列的应用基本不等式不等式比较大小数列与函数的综合导数的运算等比数列的前 n 项和等差数列的通项公式数列的求和数列与不等式的综合分值（占比）21（10.8%）17（8.7% ）9（4.6% ）7（3.6% ）2（1.0% ）5（2.6% ）7（3.6% ）3（1.5% ）7（3.6% ）2（1.0% ）2（1.0% ）2（1.0% ）2（1.0% ）22（11.3%）28（14.4%）11（5.6% ）1（0.5% ）对应题号1,8,14,20,22,242,233,7,13,15,16,17,193,4,7,1145,9,126,216,186,228991010,21,22,2412,13,19,22,23,2512,22,251318192021222324平均值不等式在函数极值中的应用等比数列的性质利用导数研究函数的单调性反证法与放缩法元素与集合关系的判断集合的确定性、互异性、无序性数列递推式1（0.5% ）1（0.5% ）5（2.6% ）5（2.6% ）15（7.7% ）15（7.7% ）5（2.6% ）13142121232325