题型05 平面向量数量积运算率及处理垂直问题

2 2( )r 秒杀高考数学题型之平面向量数量积运算率及处理垂直问题【秒杀题型二】：向量数量积的运算率。秒杀策略：运算率：交换率： a b=b a；( )分配率： a +b c=a c+bc;() ()不满足结合率： a bca bc，因为前面表示与 c 共线的向量，后面表示与 a 共线的向量。1.(高考题)对于向量a, b , c和实数l，下列命题中真命题是 ( )A.若a b=0 ，则 a =0 或 b =0B.若la =0 ，则 l =0 或 a =0C.若 a =b ，则 a =b 或 a =-b 【解析】：选 B。D.若a b=a c，则 b =c2.(高考题)关于平面向量a, b,c有下列三个命题:若a b=a c，则b =c； 若a =(1, k ), b =( -2,6)，a / b，则k =-3；非零向量a和b满足a = b = a -b，则a与a +b的夹角为60。其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【解析】： a b=a c a b -c ，错误； a = b = a -b a与a +b的夹角为30，错误；正确。【秒杀题型三】：求合成向量的模。秒杀策略：利用平方，转化为单一向量模与向量数量积运算问题。1.(高考题)若向量 a , b 的夹角为150 o ，a = 3, b =4r ，则 2 a +b =。【解析】：平方得 2。2.(高考题)若向量 a , b 满足 a =1，b =2 ，且 a 与 b 的夹角为7【解析】：平方得。p3，则a +b =。3.(2012 年新课标全国卷 13)已知向量 a, b 夹角为 45 ，且ra =1, 2 a -b = 10 ，则 b = 。2 2 2 22 【解析】：平方得b =3 2。4.(2014 年新课标全国卷 II3)设向量 a, b 满足| a +b |= 10 ，| a -b |= 6 ，则 a b= ( ) A.1 B.2 C.3 D.5【解析】：平方相减，选 A。5.(2017 年新课标全国卷 I13)已知向量 a , b 的夹角为 60,a =2 ， b =1 ，则 a +2b= 。【解析】：平方后得2 3。6.(2009 年辽宁卷)平面向量 a 与 b 的夹角为 60，a =(2,0)， b =1 ，则 a +2b= ( )A.3B.2 3C.4 D.12【解析】：平方代入，选 B。7.(高考题)已知平面向量 a , b ， a =1, b =2 ， a ( a -2b ) ，则 2a +b 。【解析】：Q a (a -2b )，所以 a =2 a b=1， 2 a +b =4a +b +4 a b=10， 2 a +b = 10。8.(高考题)若向量a, b( ) ( ) 满足： a =1, a +b a, 2 a +b b,则b =( )A.2 B.2C.1 D.22【解析】：选 B。9.(高考题)已知向量a e, e =1，对任意t R恒有a -te a -e，则 ( )A. a eB. a ( a e ) C. e ( a e ) D.( a e )( a e )【解析】：平方后转化为关于 t 的一元二次不等式，Q 恒成立，所以需 D0 ，选。10.(高考题)已知点A, B, C在圆 x2+y2=1上运动，且 AB BC 若点 P 的坐标为(2,0)，则PA +PB +PC的最大值为 ( )A.6 B.7 C.8 D.9【解析】： AC 为直径，PA +PB +PC= PO +PB=max7。【秒杀题型四】：求两向量夹角。2 22 2 1 p : a +b 1 q , p3 3 4 2 22 2r r ( )秒杀策略：逆用数量积： cos q =a ba b=x1x x +y y1 2 1 2+y x +y 1 2 2。1.(2011 年新课标全国卷 10)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为q ，有下列四个命题：p : a +b 1 q 0,2p3 2p 2 p p p : a -b 1 q 0, p : a -b 1 q , p 3 3 其中的真命题是 ( )A.p , p1 4B.p , p1 3C.p , p2 3D.p , p2 4【解析】：法一：代数法：平方后利用数量积可得夹角范围。法二：几何法：构成平行四边形为菱形，而a +b , a -b为菱形的两条对角线，选 A。2.(2010 年新课标全国卷) a , b 为平面向量，已知 a = (4,3 )，2a +b =(3,18)，则a,b 夹角的余弦值等于 ( )A.8 8 16 16B. - C. D. -65 65 65 65【解析】：可得b =(-5,12)，代入得 cosq=1665。1 3 3 1 3.(2016 年新课标全国卷 III3)已知向量 BA = , ，BC = , ，则ABC= ( )A.300 B.450 C.600 D.1200 【解析】：利用数量积或画图，选 A。4.(高考题)设向量 a 与 b 的夹角为 q ，且a =(3,3)，r2b -a =( -1,1)，则cosq=。【解析】：可求得a = 1,2，则 cosq=3 1010。5.(高考题)若| a |=1,| b |=2, c =a +b，且c a，则向量a与b的夹角为 ( )A.30B.60C.120D.150【解析】：选 C。6.(高考题)设非零向量a, b , c ，满足 a = b = c ， a +b =c ，则 a , b 的夹角为 ( )r r r r a -b 3a +2bb ( ) (2 2 a =5 b =6A.30B.60C.120D.150【解析】：三个向量构成菱形的两条边及一条对角线，内角为120,60，选 C。7.(高考题)若非零向量a, b满足a =3 b = a +2b，则a, b夹角的余弦值为 。【解析】：秒杀技巧：设b =1，则a =3，a +2b =3，平方得：cosq=-13。r8.(高考题)若非零向量 a, bp pA.B.4 2满足ra =2 2 (r )(r ) ，且 ，则33ppC.D.4ra与rb的夹角为 ( )【解析】：秒杀方法：设 b =3 ，则 a =2 2，代入即可，选 A。9.(2019 年新课标全国卷 I7)已知非零向量 a , b满足a =2 b，且 ( a -b ) b，则a 与 b 的夹角为 ( )A.p p 2p 5pB. C. D.6 3 3 6【解析】：秒杀方法：设 b =1 ，则 a =2 ， a b=1，选 B。10.(高考题)已知单位向量 e 与 e 的夹角为 a ，且1 2cosa =13，向量a =3e -2e 与 b =3e -e 1 2 1 2的夹角为b，则cosb= 。【解析】： cos b =( )( ) 3e -2e 3e -e1 2 1 2 3e -2e 3e -e1 2 1 2)2=2 23。11.(2019 年新课标全国卷 III13)已知 余弦值是 。a 、 b 为单位向量，且 a b=0，若 c =2 a - 5 b ，则 a 、 c 夹角的【解析】： cos q =a ca c=2a - 5 a b ( )22a - 5 b=23。12.(2020 年新课标全国卷 III6)已知向量a、b满足 ， ，a b=-6，则cos a , a +b= ( )A.-31 19 17 19B. - C. D.35 35 35 35【解析】：选 D。【秒杀题型五】：平面向量数量积处理垂直问题。2 (1 ) 0( ) ( )秒杀策略：a b a b=0 x x +y y = 1 2 1 20，是向量中作为工具最重要的一条性质，是高考题出现频率较高的题型，与立体几何、三角函数、解析几何等内容综合考查的一个知识点， a =( x , y )1 1，若a b，设法：b =( -ly,1lx )1。1.(2013 年新课标全国卷 I13)已知两个单位向量 a ，b 的夹角为 60，c =ta +(1 -t )b ，若 b c=0 ，则 t = 。【解析】： b c=ta b+ -t b =，代入得 t =2 。2.(2014 年辽宁卷 ) 设a , b, c是非零向量，已知命题 p ：若 a b=0 , b c=0 ，则 a c=0 ；命题 q ：若a / / b, b / / c，则a / / c，则下列命题中真命题是 ( )A.p qB.p qC.( p ) ( q )D.p ( q )【解析】：命题p中a, c可能共线，所以p为假命题，命题q中平行具有传递性，所以q为真命题，选 A。3.(2017 年新课标全国卷 I13)已知向量 a = -1,2 , b = m,1 ，若向量 a +b 【解析】：代入数量积等于 0，得 m =7。与 a垂直，则 m = 。4.(高考题)在 DABC 中， C =90 ， AB =(k ,1), AC =(2,3), 则 k 的值是 ( )A.5 B.5 C.32D.-32【解析】：代入数量积等于 0，选 A。5.( 高考题 ) 直角坐标系 xOy 中， i , j 分别是与 x , y 轴正方向同向的单位向量，在直角三角形 ABC 中，若 AB =2i +j ， AC =3i +k j ，则 k 的可能值个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】：代入数量积等于 0，有两个角可能是直角，选 B。6.(高考题)若向量a与b不共线，a b0，且 c =a -(a aa b)b，则向量a与c的夹角为 ( )A.0 B.6C.3D.2【解析】：D(数量积为 0)。q =( ) ( ) 7.(高考题)设 a, b 是非零向量，若函数f ( x) =( xa +b ) (a -xb )的图象是一条直线，则必有 ( )A.a bB.a / bC.a = bD.a b【解析】：A(二次项系数a b=0)。8.(高考题)设x, y R，向量a =( x ,1), b =(1, y ), c =(2, -4)且a c , b / c ，则 a +b =( )A.5B.10C.2 5D.10【解析】：代入坐标可得选 B。9.(高考题)设向量a=(1,cosq)与b=(1,2cosq)垂直，则cos2q等于 ( )A.22B.12C.0 D.-1【解析】：代入数量积等于 0，得2 cos2 q-1=cos 20，选 C。10.(高考题)设单位向量 m = x , y ， b = 2, -1 ，若 m b ，则 x +2 y= 。2x -y =0【解析】：代入坐标得 ，得x 2 +y 2 =1x =y =5525，x +2 y=5。11.(高考题)已知向量m =(l+1,1)，n =(l+2,2)，若( m +n ) ( m -n )，则 l = ( )A.-4B.-3C.-2D.-1【解析】：可知 m n ，代入坐标使数量积等于 0，选 B。12.(高考题)设0 qp2，向量a =(sin 2q,cosq), b =(1, -cosq)，若a b=0 ，则 tan q =。1【解析】：代入数量积等于 0，得 。213.( 高 考 题 ) 已 知 非 零 向 量 m, n 满 足4 m =3 n,cos =13. 若( )n tm +n , 则 实 数 t 的 值 为( )A.4 B.-4 C.94D.-94【解析】：设 m =3 ， n =4 ，代入坐标使数量积等于 0，选 B。14.(2020 年新课标全国卷 I14)设向量 a =(1,-1), b =( m +1,2 m -4)，若a b，则m =。2 2 22【解析】：5。15.(2020 年新课标全国卷 II5)已知单位向量 a 、b 的夹角为 60，则在下列向量中，与b 垂直的是 ( )A.a +2bB.2 a +bC.a -2bD.2 a -b【解析】：选 D。16.(2020年新课标全国卷II13)已知单位向量a、 b的夹角为 45， k a -b与 a垂直，则k= 。【解析】：22。【秒杀题型 6】：三角形四心的平面向量性质。秒杀策略：.重心:GA +GB +GC =0; .外心:OA =OB =OC;.内心:aOA +bOB +cOC =0; .垂心:OA OB =OB OC =OC OA1.(2009 年新课标全国卷 9)已知O , N , P 在 DABC 所在平面内,且OA =OB =OC ，NA +NB +NC =0,且PA PB =PB PC =PC PA ,则点 O , N , P 依次是 DABC 的 ( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心【解析】：从四心向量特点可知选 C。2.(高考题)已知 DABC ，点 M 满足 MA +MB +MC =0,若存在实数 m 使得 AB +AC =mAM 成立,则 m =( )A.2 B.3 C.4 D.5【解析】：由MA +MB +MC =0 可知 M 是 DABC 的重心，AB +AC =mAM =2 AD ，其中 D 是边 BC 的中点，所以m =3，选 B。3.( 高考题 )在DABC中,M是BC的中点,AM =1,点P在AM上且满足AP =2 PM,则PA (PB +PC )等于 ( )A.4 4 4 4B. C. - D. -9 3 3 9【解析】： 由AP =2 PM 可知 P 是 DABC 的重心， PA (PB +PC )=PA 2PM =-PA =-49，选 D。4.( 高 考 题 ) DABC 外 接圆 圆 心为O, 两 条边 上 的高 的 交点 为H , OH =m(OA +OB +OC), 则 实 数m= 。【解析】：取特例：直角三角形，可得 m =1。5.( 高考题 ) 点 O 是 DABC 所在平面内的一点 , 满足OA OB =OB OC =OC OA , 则点 O 是 DABC 的( )A.三个内角的角平分线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点【解析】：OA OB =OB OC ,即 OB (OA -OC ) =OB CA =0 ,可知 OB AC ,同理得 OC AB ,OA BC，所以O是垂心，选 D。