四边形内角和定理

四边形内角和定理 北京师范大学大同附属中学校 张凤卿教学目标：（1）知识与技能：探究并了解四边形的内角和。 （2）过程与方法：通过引导学生自主探究四边形内角和，培养学生探究问题的方法与能力；让学生尝试从不同角度寻求探究问题的方法并能有效地解决问题，训练学生的发散性思维和培养他们的创新精神。 （3）情感态度价值观：在自主探究、合作交流的过程中，感受数学活动的重要意义和合作成功的喜悦，提高学生学习的热情和合作意识。教学重点：经历探究发现和验证“四边形的内角和是360度”这一规律的过程。 教学难点：如何引导学生参与到探索四边形的内角和的过程；探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。教法与学法：教法：教师采用启发式教学法、小组合作探究法。学法：学生积极思考，动手操作，自主探究新知。学具的准备：量角器、三角板、不同类型的四边形纸片教具的准备：多媒体实物投影仪、PPT课件教学过程：一、创设情境，导入新课1.猜谜语师：同学们，今天我们猜一个谜语，什么时候4减1等于5，打一几何图形？生：四边形，将四边形纸片减去一个小角就是五边形图形2.引出问题师：我们刚刚学过了三角形相关的知识，大家一起说三角形的内角和是多少度？生：180。师：那四边形会不会也有内角和呢？内角和又是多少度？（板书课题）今天我们就一起来解决这个新问题.师：先独立完成下面的学习任务单，分钟后说说你的发现.画一画：如图1.1，在纸上任意画一个四边形，说出它的边、内角、顶点、对角线、外角等.拼一拼：剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个内角的顶点重合）。通过拼图你发现了什么？学生：我发现，四个角拼在一起刚好是一个周角（如图1.2、图1.3，放在处，放在处，放在处），说明四边形的四个内角加起来等于360.学生：我用量角器量出角的度数并加起来等于360. 图1.1 图1.2 图1.3师：同桌交流，其他同学与你的发现相同吗？你能够把你的发现概括成一个命题吗？学生：四边形内角和为360.师：是不是任意一个四边形的内角和一定是360呢？你可以采用什么方法来验证你的猜想？（若学生回答矩形或者正方形时，教师指出矩形或者正方形是特殊的四边形，我们不能由特殊的例子得出一般的结论； 若学生回答可通过测量时，教师可通过几何画板演示，并指出测量有限个四边形还不足以说明所有的四边形都有同样的结论（一般性），测量存在误差，还需要进行严格的论证）师：好，下面以四人为一小组，探究如何来证明该命题“四边形内角和为360”.请画出图形，最后派小组代表分享你们的成果.（3分钟后）学生4：老师，连接对角线AC，如图1.4，这样就转化为两个三角形，利用三角形内角和等于180，内角和为2180=360，可以得四边形内角和为360.3.四边形的内角和定理四边形的四个内角和等于360符号语言：在四边形ABCD中,A+ B+ C+ D=360学生5：我觉得也可在刚才基础上延长AC，也就是作一条射线AE，如图图1.5，为的一个外角，则，同理,因,的和为360，进而得出四边形ABCD的内角和为360. 图1.4 图1.5学生6：如图1.6，我们组是这样做的，在四边形ABCD里取一点F，连结FA、FB、FC、FD，利用四个三角形内角和，再减去点为顶点的周角，就可以得到四边形ABCD的内角和为360，为4180-360=360.学生7：嘿嘿,我们组作的辅助线，如图1.7，选取的F的位置比刚才小组做法更简单，我们是连接两条对角线AC，BD,交于点F，证明过程同上. 图1.6 图1.7师：以上这几种方法的共同点是什么？学生8：都是转化为三角形，利用三角形的性质，来求证四边形的内角和。师：对，构造三角形，将四边形问题转化为三角形问题。刚才我们有的小组作的辅助线，有的是连接对角线，有的是在四边形内部取一点，这一点还有其他取法吗？组内同学交流探讨一下.（4分钟后）学生们：哈哈，老师，老师，想出来了师：太棒了，把你们组画的图形贴在黑板上，由于时间关系，请同学们下去自己规范书写证明过程.（学生积极地把本组画的图形贴在黑板上，有的在四边形边上取一点，或在四边形外部取一点） 图1.8 图1.9 图1.10 图1.11师：还有其他方法吗？能否用学过的直线位置关系，来构造图形？组内同学交流探讨一下.（几分钟后）学生9：老师,其实不一定都是转化为三角形.师：那你说说你是如何转化的呢?学生9：（走上讲台边画图边讲）过点D作/BC,交B于(交点落在四边形的一条边上)(如图1.12),则四边形ABCD的内角和即为两组同旁内角的和加上的内角和度数减去以为顶点的平角的度数,得出四边形ABCD的内角和为360.当然作平行线的交点也可能落在边的延长线上(如图1.13),证法相似. 图1.12 图1.13师:(兴奋地),哇,这个证法有新意,老师都没你想的全,你真棒!（学生一阵掌声）学生10：老师,我们组是作了两条垂线,过点A,点D分别作,垂足分别为点 M,N.可将四边形的内角和转化为2对互余的角和一组平行线所夹的同旁内角的和(如图1.14 )学生11：连接AC,过点A,点D分别作,垂足分别为点P,Q.可将四边形的内角和转化为4对互余的角的和(如图1.15). 图1.14 图1.154.小结梳理，画龙点睛师:很好,证明“四边形的内角和为360”这一命题，我们“一题多解”，对比这些证法,你能说出他们之间的联系吗?师生共同:构造辅助线的方法大约有三类,一是用点分割四边形,转化为三角形问题,用运动的观点、分类的数学思想、一般与特殊的辩证关系等角度来引导学生，去总结反思，形成知识网络；二是利用过学过的平行线、垂线的基础性；三是联系三角形内角和定理证明方法，从动手操作感悟辅助线的构造方法，通过构造平行线将角移到一起.5.作业布置1、规范归纳梳理“四边形内角和为360”的证法；2、思考：五边形内角和为多少度？可以类比求证“四边形内角和为360”.6四边形内角和定理的证法过程展示四边形内角和定理:四边形的内角和为360已知:如图，四边形ABCD.求证:.注:下面证法中，为书写简便，记三角形内角和为，如的内角和为.证法一：连接对角线AC，如图（1）故四边形ABCD的内角和为360.图（1）证法二：过点A,点C作射线AE，如图（2）为的一个外角同理故四边形ABCD的内角和为360. 图（2）证法三：在四边形ABCD里取一点F，连接FA、FB、FC、FD，如图（3） 图（3）证法四：连接两条对角线AC，BD,交于点F，证明过程同证法三. 图（4）证法五：在四边形ABCD的边BC（不与端点重合，不然和证法一重复）上任取一点G，连接GA、GD，如图（5）图（5）证法六：在四边形ABCD的BC延长线上取一点H，连接AH、DH,如图（6）图（6）证法七：在四边形ABCD的外部任取一点I1，连接BI1、CI1,交AD分别于点J,点K,如图（7） 图（7） 证法八：在四边形ABCD的外部任取一点I1，连接AI1、BI1、CI1、DI1,BI1、CI1交AD分别于点J,点K,如图（8） 图（8）证法九：延长BA、CD交于点I2，如图（9） 图（9）证法十：点D作/BC,交AB于，如图（10） 图（10）证法十一：点A作/CD,交CD延长线于，如图（11），证明过程同证法十 图（11）证法十二：过点A,点D分别作,垂足分别为 M,N，如图（12）. 图（12） 图（13）证法十三：连接AC,过点A,点D分别作,垂足分别为点P,Q，如图（13）.7反思一是可以充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧。在学生较好地掌握了一般方法后，要注意诱导学生离开原有思维轨道，从多方面思考问题，进行思维变通。当学生思维闭塞时，教师要善于调度原型帮助学生接通与有关旧知识和解题经验的联系，作出转换、假设、化归、逆反等变通，产生多种解决问题的设想。二是可以开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。所谓发散思维是不依常规，寻求变异，对给出的材料、信息从不同角度，向不同方向，用不同方法或途径进行分析和解决问题的一种思维方式。这种思维方式的最基本的特色是：从多方面、多思路去思考问题，而不是囿于一种思路，一个角度，一条路走到黑。它主要特征是：多向性、变通性、独特性。事实上，在创造性思维活动中，发散性思维又起着主导作用，是创造性思维的核心和基础。数学教学其实是数学思维活动的教学。三是可以激发学生敢于提出问题，勤于思考，善于思考，提高分析问题和解决问题的能力。所有这些都围绕培养学生数学学科素养展开，也是当前数学教学改革的重点之一。在分析和解决问题的过程中，学生能别出心裁地提出新异的想法和解法，这是思维独创性的表现。教师应满腔热情地鼓励他们别出心裁地思考问题，大胆地提出与众不同的意见与质疑，独辟蹊径地解决问题，这样才能使学生思维从求异、发散向创新推进。