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二、顶上事件发生的概率二、顶上事件发生的概率1假设事故树中不含有反复的或一样的根身手假设事故树中不含有反复的或一样的根身手件，各根身手件又都是相互独立的，顶上事件件，各根身手件又都是相互独立的，顶上事件发生的概率可根据事故树的构造，用以下公式发生的概率可根据事故树的构造，用以下公式求得。求得。用用“与门衔接的顶事件的发生概率为：与门衔接的顶事件的发生概率为：用用“或门衔接的顶事件的发生概率为：或门衔接的顶事件的发生概率为：式中：式中：qi第第i个根身手件的发生概率个根身手件的发生概率i=1，2，n。niiqTP1)(niiqTP1)1(1)(例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小割集：个最小割集：E1=X1，X2，E2=X2，X3，X4。知各根身手件发生的概率为：知各根身手件发生的概率为：q1=0.5；q2=0.2；q3=0.5；q4=0.5；求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？+T.E1E2X2X4X1X2X32121231112234()1(1)1(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)EiEEiiiiiP TPPPqqq qq q q 1223413222412234134()1(1)0.5 0.20.2 0.5 0.50.2 0.5 0.5 0.50.125q qqP Tq qq q qqq qq qq q qqq q()1(1 0.5 0.2)(1 0.2 0.5 0.5)0.145P T 2但当事故树含有反复出现的根身手件时，但当事故树含有反复出现的根身手件时，或根身手件能够在几个最小割集中反复或根身手件能够在几个最小割集中反复出现时，最小割集之间是相交的，这时，出现时，最小割集之间是相交的，这时，应按以下几种方法计算。应按以下几种方法计算。最小割集法最小割集法事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时，事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时，顶上事件等于最小割集的并集。顶上事件等于最小割集的并集。设某事故树有设某事故树有K个最小割集：个最小割集：E1、E2、Er、Ek，那么有：，那么有：顶上事件发生概率为：顶上事件发生概率为：krrET1krrEPTP1)(化简，顶上事件的发生概率为：化简，顶上事件的发生概率为：式中：式中：r、s、k最小割集的序号，最小割集的序号，rsk；i根身手件的序号，根身手件的序号，1rskk个最小割集中第个最小割集中第r、s两个割集的组两个割集的组合顺序；合顺序；属于第属于第r个最小割集的第个最小割集的第i个根身手件；个根身手件；属于第属于第r个或第个或第s个最小割集的第个最小割集的第i个个根身手件。根身手件。riEx sriEEx1231111()(1)irirsikkkkiiirr s kxErxEExEEEEP Tqqq 1231111()(1)irirsikkkkiiirr s kxErxEExEEEEP Tqqq 公式中的第一项“求各最小割集E的发生概率的和将各最小割集中的根身手件的概率积 相加；但有反复计算的情况，因此，在第二项中“减去每两个最小割集同时发生的概率将每两个最小割集并集的根身手件的概率积 相加；还有反复计算的情况，在第三项“加上每三个最小割集同时发生的概率 将每三个最小割集并集的根身手件的概率积 相加；以此类推，加减号交替，直到最后一项“计算一切最小割集同时发生的概率例如：某事故树共有例如：某事故树共有3个最小割集：试用个最小割集：试用最小割集法计算顶事件的发生的概率。最小割集法计算顶事件的发生的概率。E1=X1，X2，X3，E2=X1，X4E3=X3，X5知各根身手件发生的概率为：知各根身手件发生的概率为：q1=0.01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？1231111()(1)irirsikkkkiiirr s kxErxEExEEEEP Tqqq 123143512341235134512345()0.001904872P Tq q qq qq qq q q qq q q qq q q qq q q q qE1=X1，X2，X3，E2=X1，X4 E3=X3，X51、列出顶上事件、列出顶上事件发生的概率表达式发生的概率表达式2、展开，消除每个概率积中、展开，消除每个概率积中的反复的概率因子的反复的概率因子qiqi=qi3、将各根身手件的概率值带、将各根身手件的概率值带入，计算顶上事件的发生概率入，计算顶上事件的发生概率假设各个最小割集中彼此不存在反复的根身手假设各个最小割集中彼此不存在反复的根身手件，可省略第件，可省略第2步步最小径集法最小径集法根据最小径集与最小割集的对偶性，利根据最小径集与最小割集的对偶性，利用最小径集同样可求出顶事件发生的概用最小径集同样可求出顶事件发生的概率。率。设 某 事 故 树 有设 某 事 故 树 有 k个 最 小 径 集：个 最 小 径 集：P 1、P2、Pr、Pk。用。用Drr=1，2，k表示最小径集不发生的事件，表示最小径集不发生的事件，用用表示顶上事件不发生。表示顶上事件不发生。T 由最小径集定义可知，只需由最小径集定义可知，只需k个最小径集个最小径集中有一个不发生，顶事件就不会发生，中有一个不发生，顶事件就不会发生，那么：那么：krrDT1krrDPTP1)(1 故顶上事件发生的概率：故顶上事件发生的概率：式中：式中：Pr最小径集最小径集r=1，2，k；r、s最小径集的序数，最小径集的序数，rs；k最小径集数；最小径集数；1-qr第第i个根身手件不发生的概率；个根身手件不发生的概率；属于第属于第r个最小径集的第个最小径集的第i个根身手件；个根身手件；属于第属于第r个或第个或第s个最小径集的第个最小径集的第i个根身手件个根身手件1231111()11111irirsikkkkiiirr s kxPxPPrxPPPPP Tqqq ripx srippx公式中的第二项“减去各最小径集P实现的概率的和将各最小径集中的根身手件不发生的概率积 相加；但有反复计算的情况，因此，在第二项中“加上每两个最小径集同时实现的概率将每两个最小径集并集中的各根身手件不发生的概率积 相加；还有反复计算的情况，在第三项“减去每三个最小径集同时实现的概率 将每三个最小径集并集的根身手件不发生的概率积 相加；以此类推，加减号交替，直到最后一项“计算一切最小径集同时实现的概率1231111()11111irirsikkkkiiirr s kxPxPPrxPPPPP Tqqq 例如：某事故树共有例如：某事故树共有4个最小径集，个最小径集，P1=X1，X3，P2=X1，X5,P3=X3，X4,P3=X2，X4，X5知各根身手件发生的概率为：知各根身手件发生的概率为：q1=0.01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05试用最小径集法求顶上事件发生概率？试用最小径集法求顶上事件发生概率？1231111()11111irirsikkkkiiirr s kxPxPPrxPPPPP Tqqq 131534245135134123451534124523()1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(P Tqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 451345123451234512345123451)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqP1=X1，X3，P2=X1，X5,P3=X3，X4,P3=X2，X4，X51、列出定上事件、列出定上事件发生的概率表达式发生的概率表达式2、展开，消除每个概率积中的反、展开，消除每个概率积中的反复的概率因子复的概率因子(1-qi)(1-qi)=1-qi3、将各根身手件的概率值带、将各根身手件的概率值带入，计算顶上事件的发生概率入，计算顶上事件的发生概率假设各个最小径集中彼此不存在反复的根身手假设各个最小径集中彼此不存在反复的根身手件，可省略第件，可省略第2步步例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小径集：个最小径集：P1=X1，X2，P2=X2，X3。知各根身手件发生的概率为：。知各根身手件发生的概率为：q1=0.5；q2=0.2；q3=0.5；求顶上事件发生概率？；求顶上事件发生概率？1212231222222222221223231213123233112313121323312312311311222233()1(1)(1)(1(1)(1)()()0.5 0.PPq qqq q qP TPPqqqqqqq qqqq qq qq qq q qq qqqq q qqqq qq qq qqqqqq q qq qqq qq qqqqq qqqq50.5 0.2 0.50.20.4+T.P1P2X2X3X1X2+三、根身手件的概率重要度三、根身手件的概率重要度 根身手件的重要度：一个根身手件对顶根身手件的重要度：一个根身手件对顶上事件发生的影响大小。上事件发生的影响大小。根身手件的构造重要度分析只是按事故根身手件的构造重要度分析只是按事故树的构造分析各根身手件对顶事件的影树的构造分析各根身手件对顶事件的影响程度，所以，还应思索各根身手件发响程度，所以，还应思索各根身手件发生概率对顶事件发生概率的影响，即对生概率对顶事件发生概率的影响，即对事故树进展概率重要度分析。事故树进展概率重要度分析。事故树的概率重要度分析是依托各根事故树的概率重要度分析是依托各根身手件的概率重要度系数大小进展定身手件的概率重要度系数大小进展定量分析。所谓概率重要度分析，它表量分析。所谓概率重要度分析，它表示第示第i个根身手件发生的概率的变化引个根身手件发生的概率的变化引起顶事件发生概率变化的程度。起顶事件发生概率变化的程度。由于顶上事件发生概率函数是由于顶上事件发生概率函数是n个根个根身手件发生概率的多重线性函数身手件发生概率的多重线性函数 对自变量对自变量qi求一次偏导，即可得到该求一次偏导，即可得到该根身手件的概率重要度系数。根身手件的概率重要度系数。xi根身手件的概率重要度系数：根身手件的概率重要度系数：式中：式中：PT顶事件发生的概率；顶事件发生的概率；qi 第第i个根身手件的发生概率。个根身手件的发生概率。利用上式求出各根身手件的概率重要度利用上式求出各根身手件的概率重要度系数，可确定降低哪个根身手件的概率系数，可确定降低哪个根身手件的概率能迅速有效地降低顶事件的发生概率。能迅速有效地降低顶事件的发生概率。igqTPiI)(例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小割集：个最小割集：E1=X1，X2，E2=X2，X3。知各根身手件发生的概率为：。知各根身手件发生的概率为：q1=0.4；q2=0.2；q3=0.3；陈列各根身手件的概率重；陈列各根身手件的概率重要度，要度，12231232231131322123()0.116()(1)0.16()(2)0.49()(3)0.12gggP Tq qq qq q qP TIqq qqP TIqqq qqP TIqq qq(2)(1)(3)gggIII+T.P1P2X2X3X1X2.四、根身手件的关键重要度临界重要度四、根身手件的关键重要度临界重要度普通当各普通当各qi不等时，改动不等时，改动qi大的大的Xi较容易，较容易，但概率重要度系数并未反映但概率重要度系数并未反映qi变化变化思索从本质上反映思索从本质上反映Xi在在FT中的重要程度。中的重要程度。关键重要度分析，它表示第关键重要度分析，它表示第i个根身手件发个根身手件发生概率的变化率引起顶事件概率的变化生概率的变化率引起顶事件概率的变化率；率；相比概率重要度关键重要度，更合理更具相比概率重要度关键重要度，更合理更具有实践意义。有实践意义。根身手件的关键重要度：根身手件的关键重要度：式中：式中：第第i个根身手件的关键重要度系数；个根身手件的关键重要度系数；第第i个根身手件的概率重要度系个根身手件的概率重要度系数；数；PT顶事件发生的概率；顶事件发生的概率；qi第第i个根身手件发生概率。个根身手件发生概率。iITpqqTpTpqqqTpTpiIgiiqiiiqcgii)()(lim)()()(lim00 iIcg iIg例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小割集：个最小割集：E1=X1，X2，E2=X2，X3。知各根身手件发生的概率为：。知各根身手件发生的概率为：q1=0.4；q2=0.2；q3=0.3；陈列各根身手件的关键重；陈列各根身手件的关键重要度，要度，123()0.116;(1)0.16;(2)0.49;(3)0.120.4(1)(1)0.160.552()0.1160.2(2)(2)0.490.845()0.1160.3(3)(1)0.120.310()0.1(2)(1)(31)6gcccgggggcggcggcggP TIIIqIIP TqIIPIIqIIP TIT
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