25.1锐角三角比的意义（1）

25.1锐角三角比的意义（1） 教学目标：1、经历锐角的正切、余切的概念的形成过程，感受该概念的建立是以相似三角形为基础的.2、掌握锐角的正切和余切的定义，会根据直角三角形中两边的长求锐角的正切或余切的值.教学重点和难点：锐角的正切、余切的概念的形成过程及运用.教学过程：教师活动学生活动设计意图一、 复习引入1、情境引入小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目测高度为1米然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？师：这是与锐角三角比有关的一个数学问题，从这节课起我们就来学习锐角三角比的相关知识.2、复习在RtABC中，若C=90o，我们知道，AB称作斜边，AC、BC称作直角边.其中与A相对的直角边称为A的对边，与A相邻的直角边称为A的邻边.问1：B的对边是什么？B的邻边又是什么？练一练（书本第63页1、2题）1、 如图，在RtMNP中,N=90, P 的对边是 ， P 的邻边是 ， M的对边是 ，M的邻边是 .2、如图，在ABC，ACB=90，C DAB， 垂足为点D，在ABC中，A的对边是 ， A 的邻边是 ;在ACD中，A的对边是 ， A 的邻边是 .在Rt 中，B的对边是AC，在Rt 中，B的邻边是BD.ACD的邻边是 ，BCD的对边是 .二、探究新知：1、建立新定义思考1：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，你知道这个角的对边与邻边的比值是多少吗？（设：AC=a）师：我们发现在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，这个角的对边与邻边的比值是一个固定值，等于.思考2：在直角三角形中，对于任意一个锐角，它的对边与邻边的比值是否还是一个确定的值？为什么？操作：任意画一个锐角A，在角A的一边上任意取点B、B1、B2，再分别过三个点向另一边作垂线，垂足依次为C、C1、C2，从而得到三个直角三角形.教师分析：从图中可以看出，因为BC、B1C1、 B2C2、分别垂直AC，所以可得 ABCAB1C1AB2C2.问1：根据相似三角形的性质，我们可以得到什么结论?问2：若继续作垂线B3C3 、B4C4 ，A的对边与邻边的比会变化吗？由此可见：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与邻边的比是一个固定值.我们把这样的一个规律给它一个名称：正切、余切的定义：在RtABC中，C=90，A、B、C所对的边分别记为a、b、c.正切：我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切（tangent）.记作tanA.板书： tanA思考3：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，A的对边与邻边的比是一个固定值.那么A的邻边与对边的比值也是一个固定值吗？余切定义：我们把锐角A的邻边与对边的比叫做A的余切(cotangent).记作cotA.板书：cotA =2、定义的唯一性思考4：当直角三角形中一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值随着变化吗？从图中可知：当锐角MAP变化为锐角NAP时，在AP上任取一点C，过点C作CEAP，垂足为点C，CE分别交AM、AN于点D、E， 得RtACD和RtACE问1： 问2：问3：由此可见：在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小变化而变化.适时小结：一个锐角的对边与邻边的长度的比值是由这个锐角的大小唯一确定的.三、新知运用：例题1.在RtABC中，C=900，BC=4，AB=5，求tanA、cotA和tanB、cotB的值.分析：问1、本题已知什么？求什么？问2、一个锐角的正切值怎么求？问3、一个锐角的余切值怎么求？问4、还缺什么条件？怎样求？解：在RtABC中，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2BC=4,AB=5,AC=. tanA= tanB=cotA= cotB=.例2 如图：在ABC中，ACB=90CDAB， 垂足为点D，则_;_;_. （用正切或余切表示）_D_C_B_A分析：问1、解决此类题目的关键是什么？问2、CD、BD是哪个直角三角形的两条边? 问3、是哪个角的正切、哪个角的余切？为什么？问4、仿照上述方法，你能用正切或余切表示和吗？想一想：在同一个RtABC中，C =90，（1）A的正切和余切有怎样的数量关系？（2）B和A互余，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？四、课堂练习：1、如图，ABC和 PQR都是直角三角形，C=R=90，AC=7，BC=5，PQ=13，PR=12. 求：（1）tanB 、 cotA ； (2)cotP、cotQ 五、小结这节课你学习了什么知识？有什么体会？ 六、回家作业：练习册，习题25.1（1）生答1：B的对边是AC，B的邻边是BC.学生完成1、 在RtMNP中,N=90, P 的对边是MN， P 的邻边是PN， M的对边是PN, M的邻边是MN.2、 在ABC中，A的对边是BC， A 的邻边是AC;在ACD中，A的对边是CD， A 的邻边是AD;在RtABC中，B的对边是AC，在RtBCD中，B的邻边是BD.ACD的邻边是CD，BCD的对边是BD.学生回答：AC=a, 则可得AB=2a,BC=a这个角的对边与邻边的比值等于.生答：任意一个锐角，它的对边与邻边的比值还是一个确定的值.生答1：由ABCAB1C1，得即：.由ABCAB2C2，得即：.生答2：不会.生答：A的邻边与对边的比值也一定是一个固定值.生答1：.生答2、.生答3、.预设生答:答1：知道直角三角形中的两条边，求锐角的正切和余切的值.答2：通过求这个锐角的对边与邻边的长度的比值得到.答3：通过求这个锐角的邻边与对边的长度的比值得到.答4：缺一条直角边AC的长度，通过勾股定理求得.答1、要看清所求的两条边位于哪个直角三角形中.答2、CD、BD是RtBCD的两条直角边.答3、CD是B的对边，BD是B的邻边，所以BD是BCD的对边，CD是BCD的邻边，所以.答4：； .在RtABC中，C =90，则有 （1）tanAcotA=1， tanA=cotB.（2）tanB=cotA, .教师分析图形，学生看图回答.tanB=.cotA=.cotP=.cotQ=.预设生答:1、学习了锐角的正切和余切的概念2、知道了对于一个直角三角形，如果给定它的一个锐角的大小，那么它的两条直角边的长度的比值是一个确定的数.tanA.cotA =.tanAcotA=1.从学生的生活实际出发，提出问题，引出思考，激发学习的积极性.初步体会实际问题数学化的过程注意提醒学生，题中共有三个直角三角形，题中角的“对边”“邻边”是相对于直角三角形中指定的锐角而言，因此，解题时需看清所对应的是哪个直角三角形.从特殊到一般，引导学生比较、分析并得出：在直角三角形中，对任意锐角而言，它的对边与邻边的比值是不变的. 为引进锐角的正切作铺垫.教师带领学生多读几遍tangent、 cotangent符号.为后面学习“已知一个锐角的一个三角比的值求这个锐角的大小”提供依据.强调定义的唯一性.已知直角三角形的两条边长，求正切、余切的值.（此题将书中的例1和例2合二为一）.本题为书本P.64课堂练习第四题，由于学生第一次接触此类问题，可能存在理解上的困难，因而将练习改编为例题，帮助学生理解掌握.通过此题，学生可以发现互余的两个锐角中一个锐角的正切等于另一个锐角的余切.这部分内容只要求学生了解，不要求掌握.