对面积的曲面积分15课件

对面积的曲面积分(15)三、对面积曲面积分的计算法三、对面积曲面积分的计算法一、概念的引入一、概念的引入二、对面积曲面积分的概念与性质二、对面积曲面积分的概念与性质四、小结四、小结 思考题思考题第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分(15)一、概念的引入一、概念的引入【实例实例】所谓曲面光滑即曲面上各所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面点处都有切平面,且当点在曲且当点在曲面上连续移动时面上连续移动时,切平面也连切平面也连续转动续转动.oxyz),(iii .SM 面密度为常量时面密度为常量时用网格线用网格线分割分割曲面曲面为为,iS,),(iiiiS .),(iiiiiSM 求和取极限求和取极限.),(lim10 niiiiiSM取近似取近似对面积的曲面积分(15)二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义1.【定义定义】对面积的曲面积分(15)3.【对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质】叫叫被被积积函函数数，其其中中),(zyxf .叫叫积积分分曲曲面面 2.【存在条件存在条件】(充分充分):):),(上上连连续续在在光光滑滑曲曲面面 zyxf曲面曲面的面积元素的面积元素对对面积面积的曲面积分与的曲面积分与对对弧长弧长的曲线积分性质的曲线积分性质类似类似.则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 （规定）（规定）对面积的曲面积分(15)Szyxgkzyxfkd),(),(21线性性质线性性质则则为为常常数数设设,21kk SzyxgkSzyxfkd),(d),(21【特别地】【特别地】1),(zyxf的面积的面积 dSS对面积的曲面积分(15)三、计算法三、计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:.1yxzz 若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：一一投投二二代代三三换换 化为二重积分计算化为二重积分计算),(.2zxyy ：若若曲曲面面;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(.3zyxx ：若若曲曲面面代：将曲面方程代入被积函数代：将曲面方程代入被积函数换：换面积元换：换面积元dS投：将曲面投影到坐标面得投影域投：将曲面投影到坐标面得投影域对面积的曲面积分(15)【注注】（1）这里积分曲面的方程必须是这里积分曲面的方程必须是单值显函数单值显函数，否则，否则可利用可加性，分块计算，结果相加可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式即方程的表达形式（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是把被积函数化为二元函数把被积函数化为二元函数（4）切记任何时候都要换面积元切记任何时候都要换面积元对面积的曲面积分(15)【例【例1】截截出出的的顶顶部部被被平平面面是是球球面面其其中中，计计算算曲曲面面积积分分)0(2222ahhzazyxzdS 【解】【解】222 :yxaz 2222 :hayxDxy 222221yxaazzyx 积分曲面为积分曲面为投影域投影域yxDoxzyha zSd 20da222212ln()20ahaar haaln2 yxDyxayxa222dd 22022dhararr一一投、投、二二代、代、三三换换对面积的曲面积分(15)思考思考若若 是球面是球面2222azyx 被平行平面被平行平面 z=h 截截出的上下两部分出的上下两部分,)(d zS)(d zS则则hhoxzy对面积的曲面积分(15)【注注】对面积的曲面积分有类似于三重积分的对称性对面积的曲面积分有类似于三重积分的对称性 设设对称于对称于xoy（或（或yoz，或，或zox ）坐标面）坐标面若若 f（x,y,z)关于关于z（或（或x，或，或 y）是奇函数）是奇函数 0),(dSzyxf则则若若f（x,y,z)关于关于z（或（或x，或，或y）是偶函数）是偶函数 1),(2),(dSzyxfdSzyxf部部分分位位于于对对称称坐坐标标面面一一侧侧的的是是其其中中 1完全类似于三重积分的对称性完全类似于三重积分的对称性对面积的曲面积分(15)【例【例2】0 0 0 zyxxyzdS，是是由由平平面面其其中中，.1 边边界界曲曲面面所所围围成成的的四四面面体体的的整整个个及及 zyx【解】【解】如图示如图示 设设ozyx111上的部分上的部分,则则4321,4dSzyx,1:4yxz xyxDyxyx1010:),(xyyxy10d)1(1203,0,0,0 zyx 10d3xx1 zyx 4321Szyxd 原式原式=分别表示分别表示 在平面在平面 3)1()1(122dxdydxdydS xyDyxyxyxdd3)1(对面积的曲面积分(15)xozy【例【例3】设设2222:azyx ),(zyxf计算计算.d),(SzyxfI【解】【解】锥面锥面22yxz 的的222yxaz .,2122122azayx 1 设设 ,),(22122ayxyxDyx ,22yx ，022yxz 当当22yxz 当当与上半球面与上半球面交线为交线为为上半球面夹于锥面间的部分为上半球面夹于锥面间的部分,它在它在 xoy 面上的面上的投影域为投影域为1yxD则则 1d)(22SyxI对面积的曲面积分(15)1d)(22SyxI yxDyx)(22rrraraadd202222021 )258(614 a222yxaa yxddxozy1yxD对面积的曲面积分(15)【例【例4】设】设 是四面体是四面体的的表表0,0,0,1 zyxzyx面面,计算计算.d)1(12 SyxI【解】【解】在四面体的四个面上在四面体的四个面上yxz 1yxdd3xyxDyx 10,10:1zyx11o0 zyxdd0 yxzddzxzDxz 10,10:0 xzyddzyzDzy 10,10:同上同上平面方程平面方程Sd投影域投影域对面积的曲面积分(15)yyzzd)1(1d10210 xxzzd)1(1d10210 2ln)13(233 yyxxxd)1(1d310210 d)1(1d10210yyxxx yxz 10 z0 y0 x.d)1(12 SyxI对面积的曲面积分(15)【解】【解】依对称性知：依对称性知：平面对称，平面对称，、关于关于抛物面抛物面yozxozyxz22 xyz对面积的曲面积分(15)dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 rdrrrttrdt 102222041sincos4drrrtdt21050412sin22 duuu251)41(41 .42015125 对面积的曲面积分(15)【例例6】对面积的曲面积分(15)【解解】2：2 xz,xdSxdS)(321 3xdS 31xdS 32xdS左右两片左右两片投影相同投影相同 xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx,xdS 00.,01112 DdxdyxxdS对面积的曲面积分(15)四、小结四、小结2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算二重积分计算.（按照曲面的不同情况投影到三坐标（按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）面上）1对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念;dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 注意：一投、二代、三换注意：一投、二代、三换对面积的曲面积分(15)【思考题】【思考题】在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中,有因有因子子 ,试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 【思考题解答思考题解答】是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余轴夹角的余弦的倒数弦的倒数.z对面积的曲面积分(15)思考与练习思考与练习P158 题题1；3；解答提示解答提示:P158 题题1.SzyxzyIxd),()(22P158 题题3.,),(,0:yxDyxz yxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设设则则0这说明二重积分是第一类曲面积分的特例这说明二重积分是第一类曲面积分的特例对面积的曲面积分(15)