实对称矩阵的特征值和特征向量.ppt

P13-1,3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,实对称矩阵特征值的性质,实对称矩阵对角化方法,向量的内积,正交矩阵,P13-2,一、向量的内积,1.Def.: 设 = (a1 , a2 , , an)T , = (b1 , b2 , bn)T 为 Rn 中的两个列向量，则,称为向量 与 的内积.,内积T 也可记作(, ),P13-3,一、向量的内积,1. Def.: 设 = (a1 , a2 , , an)T , = (b1 , b2 , bn)T 为 Rn 中的两个列向量，则,2. 内积的性质,(1) ( , ) = ( , ) ;,(2) (k , )= k( , );,(3) ( + , )= (, )+ ( , );,(4) ( , ) 0 , 且( ,)= 0 = 0 .,其中 , , 为 Rn 中的任意列向量，k R .,称为向量 与 的内积.,内积T 也可记作(, ),P13-4,3.Def.: 设 = (a1 , a2 , , an)T Rn ，称,为向量 的长度(或模)，记作 | | .,即,如果 | | = 1，则称 为单位向量.,4. 长度的性质,(1) | | 0 , 且 | | = 0 = 0 ;,(2) | k | = | k | | | ;,(3) |( , )| | | | | , 且,|( , ) | = | | | | , 线性相关., 0 ，则,为单位向量或标准化向量.,P13-5,5.Def.: 设 , Rn , 如果 T = 0, 则称向量 , 正交.,6.Def.: 若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零 向量) 1 , 2 , , s (s 2) 中的向量两两正交, 则称非 零向量组 1 , 2 , , s 为一个正交向量组.,若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称 该向量组为正交单位向量组.,注:,(1) Rn 中的零向量与任意向量都正交;,(2) 与自身正交的向量只能是零向量; (3) 正交的几何意义:,T = | | | | cos ,7.Th.: 设 1 , 2 , , s 是一个正交向量组, 则1,2 , ,s 线性无关.,P13-6,由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组.,8. 施密特(Schmidt) 正交化方法,设 1 ,2 , s ( s 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令,则 1 , 2 , , s 是一个正交向量组, 且, 1 , 2 , , s 1 , 2 , , s ,P13-7,8. 施密特(Schmidt) 正交化方法,设 1 ,2 , s ( s 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令,例1 求与向量组,1 = (1, 1, 1)T ,2 = (1, -2, -3)T ,3 = (1, 2, 2)T,等价的一个正交单位向量组.,P13-8,例2 已知,求 3 使之与1 , 2 都正交.,二、正交矩阵,1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足,ATA = E (或AAT = E ),则称 A 为一个 n 阶正交矩阵.,2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 可逆. A-1= AT,3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 的列向量组(或行向 量组) 为正交单位向量组.,P13-9,二、正交矩阵,1.Def.: 设 A 为一个 n 阶实矩阵，若 A满足,ATA = E (或AAT = E ),则称 A 为一个 n 阶正交矩阵.,2.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 可逆 A-1= AT,3.Th.: n 阶实矩阵 A 为正交矩阵 A 的列向量组(或行向 量组) 为正交单位向量组.,4. 正交矩阵的性质,(1) 若 A 是正交矩阵，则 A-1 也是正交矩阵;,(2) 若 A , B 均为 n 阶正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵.,(3) 若 A 是正交矩阵，则 detA = -1 或 1 .,P13-10,三、实对称矩阵特征值的性质,1. 实对称矩阵的特征值都是实数.,2. 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交.,3. 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ 成为对角矩阵.,四、实对称矩阵对角化方法,例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.,P13-11,四、实对称矩阵对角化方法,例1 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.,例2 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0 , 1 (二重), 属于 特征值 0 的一个特征向量为1= (0, 1, 1)T . 求 A .,P13-12,作业: 第149页第1题之(2), (3); 第2题,练习3.2选解: 2. 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似, m 阶矩阵 C 与 D 相似, 证明:,P13-13,6. 已知矩阵,求x, y的值; 求矩阵P , 使P-1AP = B.,9. 设A为3阶矩阵, 1 ,2 ,3线性无关, 且 A1 =21 +2+3, A2 =22, A3 = -2 +1. 求矩阵B, 使得A(1 , 2, 3)=(1 , 2, 3)B; 求A的特征值; 求矩阵P 和对角阵 , 使P-1AP = .,练习3.3选解: 3. 设A为3阶实对称矩阵, 且A2+2A=O, r(A)=2, 求与A 相似的对角矩阵.,