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定积分的概念,莱布尼茨,分割-以直代曲-求和-取极限,问题一: 什么叫曲边梯形?,问题二: 如何求曲边梯形的面积?,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(4)取极限:,所求曲边梯形的面积S为,xi,xi+1,xi,(3)求和:,(2)以直代曲:任取xixi-1, xi,第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为 的小矩形面积f(xi) 近似之。,一、定积分的定义,如果当n时,S 的无限接近某个常数,这个常数称为函数f(x)在区间a, b上的定积分,记作,积分上限,积分下限,积分和,积分号,a,b称为积分区间,说明: (1) 定积分是一个数值,举 例:,(2)积分值仅与被积函数及积分区间有关,二、定积分的几何意义:,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时,由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,=-S,设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区 间a, b内运动的距离s为,三、定积分的物理意义:,例题讲解:,例1:求出下列定积分的值:,用定积分表示图中四个阴影部分面积,y,y,y,练习:,三: 定积分的基本性质,性质2,性质3,(可以推广到有限多个函数作和的情况.),性质1,定积分关于积分区间具有可加性,性质4,探究一: 根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?,探究二: 根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?,三: 定积分的基本性质,推广:,练习:,课堂小结,这节课我们的收获是什么?,作业,1、习题41 第4,5,6题,2、完成优化设计对应练习,3、预习下一节微积分的基本定理,
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