不定积分典型例题高教课堂

)(baxdadx )(212xdxdx )(xxeddxe)(sincosxdxdx)cos(sinxdxdx )(ln1xddxx)(21xddxx)(arctan112xddxx )(arcsin112xddxx 常用微分公式常用微分公式1教育教学例例2.求xxxxxd)1(122解解:xxxxd1d2Cxx|lnarctanxxxxxd)1(1222教育教学例例3.求解解:xxdtan2xxd)1(sec2Cxx tanxxdtan2xxxddsec23教育教学例例4.求其中,d)(xxff(x)=x2+1,x0.1 ,1xx10 ,1 x解解:作函数，待定和原函数内分别有和在),(ln,3,1 1,0),0,()(21213CCCxCxxxxfF(x)=0 ,33xxx1 ln2xCx10 1xCx4教育教学而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C10，C21，因此满足条件的函数为F(x)=0 ,33xxx.1 1lnxx10 ,xx故CxFxxf)(d)(5教育教学 (4)axdx aaxlnC，(6)cosxdx sinxC，dx2sectgxC，(ex3cosx)dx ex3sinxC。2xdxx)cos1(21Cxx)sin(21dxx)cos1(21Cxx)sin(21。dxxx2cos2sin122dxx2sin14 4ctg xC。6 (ex3cosx)dx ex3sinxC。例例59 sin 22xdx例例610 dxxx2cos2sin122dxx2sin14例例76教育教学 (3)x1dx ln|x|C，(11)211xdx arctgxC。dxxx)111(2231dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(dxxx)111(2231x3xarctgxC。12 dxxx241dxxx24111dxxxx22211)1)(1(例例87教育教学 y)257(xdxxx507 C。解：解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以 已知当 x0 时，y1000，例例9某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本 y 的变化率是日产量 x 的函数 yx257，已知固定成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此有 C=1000，作业：作业：P137：5(2)（5)(10)(15).于是总成本 y 与日产量 x 的函数为 yxx507 1000。8教育教学例例2.xxexd12求解：解：观察12xxe中间变量u=x2+1但 u=x2+1的导数为u=2x在被积函数中添加2个因子12 221xex uu因此Cexxexx112221d9教育教学例例3.xxxd543求解解:xxxd 534Cu1211211415 4 xuudu 41 21Cx234)5(61uuduxxxd4 54134xxxfd)()(uufd)(u=(x)xudd10教育教学例例4.)0(d22axax求解：解：能想出原函数的形式吗？Cxxxarcsin1d2记得这个公式吗？如何用这个公式？22)(1d)(1daxaxaxaxCax arcsin11教育教学例例5.求解：解：xxxxd22cos1dsin2xxxd2cos21d21)2(d2cos4121xxxCxx2sin41212sind.x x12教育教学例例6解：解：22dxax求xxaxaad)11(2122dxaxxaxaxaxaa)(d)(d21Cxaxaa|ln|ln21Cxaxaaln2113教育教学例例7 7 求求.dxx 231解解,)(xxx2323121231dxx 231dxxx)(2323121duu 121Cu ln21.)ln(Cx 2321xu2314教育教学例例8 8 求求.)ln51(1dxxx 解解dxxx )ln51(1)(lnln511xdx )ln51(ln51151xdx xuln21 duu151Cu ln51熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行)(xu 转化了转化了Cx )ln51ln(5115教育教学例例9 9 求求.)(dxxx 21解解dxxx 21)()()()(xdxx 11111221111CxCx )()ln(dxxx 2111)(Cxx )()ln(11116教育教学例例11 11 求求解解dxx 3sinCxxxdxxdxxdxx )cos(coscos)cos(sinsinsin3223311正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开齐次幂拆开放在微分号放在微分号17教育教学 dxex11dxeedxeexxxx 1)1(1xxxxdeexdee 11)(1)1(11xxede .)1ln(Cex 解解例例1212 求求.11dxex 18教育教学例例13 13 求求xdxx 35sectanxdxx 35sectan 解解xdxxxxtansecsectan 24xxdxsecsec)(sec2221 xdxxxsec)secsec(sec2462 Cxxx 357315271secsecsec19教育教学例例1414 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 20教育教学例例1515 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.)(sincossinxxdx4221教育教学例例1616 求求解解.2cos3cos xdxx),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 利用积化和差公式，得利用积化和差公式，得22教育教学解解 dxxsin1 xdxcsc )(coscos112xdx duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出例例1717 求求.csc xdx dxxx2sinsin.)tanln(secsecCxxxdx .)cotln(cscCxx 23教育教学 xxd12原原式式 xxd1)1(2Cx 14解解 xxdx1例例181824教育教学dxxxx 4cos4cossin2原式原式 222)(cos4)(cosxxdCx )2cosarcsin(2解解dxxx 4cos42sin19例例25教育教学)ln1(ln112lnln1xdxx 原原式式)ln1()ln1(21xdx 解解)ln1()ln1()12(ln21xdx Cxx 2123)ln1)(12(ln2)ln1(32dxxxx ln12ln21例例26教育教学dxxexeexxxx )1()1(原原式式)()1()1(xxxxxxedxexexexe )1()(xxxxexexedCxexexx 1ln解解dxxexxx )1()1(22例例27教育教学例1解 .)0(d 22aaxx计算 .),(),(1)(22aaaxxf的连续区间为时 ),()1(ax dtansecd 20 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1|tansec|lnCtt)ln(.|ln122aCCCaxxxat22ax 28教育教学时 ),()2(ax dtansecd 2 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1|tansec|lnCtt|ln222Caxx0 x2222222)(lnCaxxaxxaxx)ln(.|ln122aCCCaxx29教育教学 ),(),(均有或综上所述，不论axax ).0(,|lnd2222aCaxxaxx。而只是作“形式”计算，一般不再分区间讨论今后在计算不定积分时 30教育教学例例2 2 求求解解).0(22 adxxatdtadxcos tdtatadxxacoscos2222,sin ttaxtataaxacossin22222 dttatdta22cos1cos222Cttata cossin2222Cxaxaxaaxt 222212arcsinarcsint22xa xa31教育教学例例3 3 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax 2222221lnln()lnln().xxaCxxaaCaaxxaC 2,2t注注 三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.32教育教学例4解.)0()(d 322axax计算 ,dcosd ,22 ,sin 故则令ttaxttaxttaxax22322cosd1)(dCtatan12 .222Cxaaxxat22xa 33教育教学例例1 1 求求解解.dxex 11xet 令令,dttdx1 dttt )(122dttt 1112Ctt )ln(ln12,lntx2 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故dxex 11回代回代将将xet .lnCeexx 12原式原式34教育教学例2解 .d 3xxx计算.6 ,31321为分母的最小公倍数的指数部分的它们xxxx ,0 ,61txt令 ,d 6d ,56故则ttxtxtttxxxd1 6d33tttd11163ttttd)111(62Ctttt|1|ln6 6 3 223 .)1ln(6632663Cxxxx35教育教学例3解 .1 d 25 xxx计算 dd 1 1 222，故，则令ttxxtxxtttxxxd)1(1 d2225tttd)1 2(24Cttt353251.1 )1 (32)1 (5123252Cxxx36教育教学例4解 .d111 xxxx计算 121 )1(d 4d 11 222，故，则令txtttxxxt)1)(1(d 4d1121222ttttxxxtttttd)1)(1()1()1(222221d21d222ttttCtttarctan2|1|1|lnCxxxxxx11arctan2|11|11|ln37教育教学例5解 .522d 2xxx计算4)1(2d522d22xxxxx ,dsec2d ,tan21 2故则令ttxtxtttxxxsec1dsec522d22tttcos)cos1(dttttcos1dcosdttttd2sec 21dsec212tan|tansec|lnCttt .1252|152|ln22Cxxxxxxtttsincos12tan配方38教育教学3.3.倒数代换倒数代换.1tx 例例1 1 求求dxxxn )(11令令tx1,12dttdx dxxxn )(11dttttn 2111 dtttnn11Ctnn|ln 11.|lnCxnn 111解解39教育教学例例2 2 求求解解.dxxxa 422令令tx1,12dttdx dtttta 2422111dttta 122dxxxa 422分母的次幂太高分母的次幂太高40教育教学dxxxax 4220,时时当当)(112122222 tadtaaCata 2232231)(.)(Cxaxa 3223223dxxxax 4220,时时当当.)(Cxaxa 322322341教育教学例3解 .)1(d 24xxx计算 ),0 ,0(,dd ,1 2故则令txttxtx1d)1(d2424tttxxxtttd11)1(24 d)111(22tttCtttarctan33 .1arctan1313Cxxx42教育教学 积分经常有效：“倒代换”法对于下列)(d2cbxaxnmxx)1 (tnmx令 的好方法。倒代换法是一个去分母43教育教学例4解 .)1(123 d 2xxxxx计算 ,dd ,1 2故则令xxtxt2223d 123 dtttxxxx2)1(4d tt ,)10(dcos2d ,sin21 从而则令tt22cos 2dcos2 123 dxxxxdC .21arcsinCxx44教育教学例例1 1 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能公式由万能公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(11222245教育教学duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 46教育教学例例3 3 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 47教育教学解（二）解（二）变形万能公式变形万能公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 48教育教学解（三）解（三）不用万能公式不用万能公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd.cot31cot3Cxx 结论结论 万能代换不一定是最佳方法万能代换不一定是最佳方法,故三角有理故三角有理式的计算中先考虑其它手段式的计算中先考虑其它手段,不得已才用不得已才用万能置换万能置换.49教育教学例例4 4 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos14150教育教学 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x.tan41Cx 51教育教学例5解 .sin2d 2xx计算 ,1dd ,1sin ,tan 2222故则令ttxttxxt 2dsin2d22ttxxCt2arctan21 .2tanarctan21Cx52教育教学例6解 .tan2d 2xx计算 ,1dd ,tan 2故则令ttxxt )1)(2(dtan2d222tttxx d211122ttt 2arctan21arctanCtt .2tanarctan21Cxx53教育教学例7解 .)0 ,0(cossind 为常数计算baxbxax cossin cossin222222xbabxbaabaxbxa ,)sin(22xba .sin ,cos ,2222babbaa其中)sin(d1cossind22xxbaxbxax d)csc(122xxba .|)cot()csc(|ln122Cxxba利用恒等变换54教育教学5 5 双曲代换双曲代换积分中为了化掉根式还可用双曲代换积分中为了化掉根式还可用双曲代换.122 tshtch,xashtxacht或 令令ashtx dxax 221 dtachtacht Ctdt1xshCa.ln22Caaxax achtdtdx 55教育教学例例3 3 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 22dxeexxx.)(22Cexeexxxx xev)(dxexeexxxx 22dxxeexxx 22xxdexex 2256教育教学例例4 4 求积分求积分.lnxdxx解解,ln xu ,22dvxdxdx xdxxln xdxxx21212ln 221xdxlnCxxx 224121ln 若被积函数是幂函数和对数函数的乘若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为积，就考虑设对数函数为 .u57教育教学例例5 5 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 xxarctan22.)arctan(21arctan22Cxxxx dxx)111(212 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为积，就考虑设反三角函数为u.58教育教学例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 59教育教学例例7 7 求积分求积分.sec xdx3解解 xdx3sec xxd tansecdxxxxx 2tansectansecdxxxxx)(secsectansec12 dxxdxxxx secsectansec33sec tansecln sectanxxxdxxx xdx3sec1(sec tanln sectan)2xxxxC60教育教学,:上例显示在运用分部积分法时可能会出现下列关系式 .)1(d)()(d)(axxfaxxxf ,便可得出后任意常数经移项并在等式右端加此时C 所求的不定积分 .)(11d)(Cxaxxf复原法复原法(回归法回归法,循环法循环法)!61教育教学例例7 7.cos1)sin1(dxxxex求求解解sin1 cos1 cosxxexedxdxxx=sin1 cos1 cosxxxededxxxsin1 cos1 cos1 cosxxxexeedxdxxxx消去消去(超越函数超越函数)法法!62教育教学例8解 .,d)(ln Znxxn计算x1nx)(lnxxnn1)(ln1 ,d)(ln 则记xxInn d)(ln)(lnd)(ln1xxnxxxxInnnn .)(ln1nnInxx :,得到一个递推关系式于是 .)(ln1nnnInxxI递推关系可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分.63教育教学 .d)(ln ,33xxI求例如 ,3)(ln233IxxI ,2)(ln122IxxI ,ln01IxxI ,dd)(ln00CxxxxI)(ln1CxxxI)(ln(2)(ln22CxxxxxI .6ln6)(ln3)(ln 233CxxxxxxxI故64教育教学例9解xcosxsinxn 1sinxxnncossin)1(2 .dsin xxn计算 ,dsin 则记xxInnxxxxxInnndsinsindsin1 dcossin)1(cossin221xxxnxxnn dsin)1(dsin)1(cossin21xxnxxnxxnnnxx22sin1cosnnnInInxx)1()1(cossin21 .1cossin1 21nnnInnxxnI故 .d0CxxI65教育教学例例1010 求积分求积分 NndxxaInn,)(221解解用分部积分法，当用分部积分法，当时，有时，有1 n dxxaInn12211)(2221222(1)()()nnxxndxaxax dxxaaxanxaxnnn)()()()(222122122112)()(nnnnIaInxaxI21122112 )()()(1122232121 nnnInxaxnaI66教育教学.,arctannICaxaI即即得得以以此此作作递递推推公公式式，并并由由 11积分过程常要兼用换元法与分部积分法。积分过程常要兼用换元法与分部积分法。例例1111 求积分求积分.dxex解解tdtdxtxxt22 ,则则令令.)()(CxeCtedetdttedxextttx 12122267教育教学arctan12xxeIdxe例求dttdxtxtex1,ln 则则令令 )1(arctan1arctanttddttttI)(arctan1arctan1tdttt dttttt )1(1arctan12解解68教育教学dtttttttI )1()1(arctan1222dttdtttt 211arctan1Ctttt )1ln(21lnarctan12Cexeexxx 21lnarctan169教育教学解解 dxxfx)()(xxdf,)()(dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导,得得x,2)(2xxexf dxxfx)(dxxfxxf)()(222xex .2Cex 70教育教学连用分部积分法xdxsinx2求解：xdxx sin222coscosxdxxxxdxxxxcos2cos2xxdxxsin2cos2xdxxxxxsin2sin2cos2Cxxxxxcos2sin2cos2同理可求不定积分xdxcosx2例14.)(cos2xdx71教育教学2215(2)xx edxx 例求解解 )21()2(222xdexdxxexxx dxexxxxexxx)2(21)21(22 dxxexexxx22cexxexxx )1(2272教育教学例16解 .sindcos 3xxxx计算x1xx3sincosx2sin21xxxxxxxx223sin2d21sin2sindcos .cot21csc22Cxxx333dsin)d(sinsindcosuuxxxxx .sin212122CxCu)sin(xu 73教育教学例17解 .d1arctan 22xxxx计算 d1arctan)11(d1arctan2222xxxxxxxx d1arctandarctan2xxxxx )d(arctanarctan1darctan2xxxxxxxx1xarctan211x .arctan21)1ln(21arctan22Cxxxx74教育教学,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx ,bMtNMx 记记75教育教学,1)2(n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn,1)1(n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 76教育教学把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法常数确定，这种方法叫待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1)3)(2()2()3(xxxBxA)3)(2()23()(xxBAxBA通分比较分子：通分比较分子：77教育教学2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 278教育教学例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解79教育教学例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 213313680教育教学Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(81教育教学例例1010 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx ,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 82教育教学例例1111 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.83教育教学dxxax 662计算计算 33333662)(131dxxaxadxxax解：解：Caxaxadxaxaxa 33333333333ln61)11(61dxxxx 234811计算计算例例1例例2三、其他典型例题84教育教学解：解：234123412248484uuduuxxdxxux原式原式Cuuuduuu )1ln(41)2ln(41)11241(41CxxxCuuu 21ln421ln4144424 dxxxxsincos1计计算算解：解：Cxxxxxxd )sinln(sin)sin(原式原式（分子是分母的导数）（分子是分母的导数）凑导数法凑导数法!例例385教育教学xdxx arcsin12 txsin 令令解：解：Cttttdttcossincos原式原式Cxxx 21arcsin1 sinctgxdxx解：方法解：方法1duuuduuuuu)111(11)1(122 原式原式例例4例例5ux sin令令被积函数为余弦的被积函数为余弦的奇函数奇函数,采用正弦换采用正弦换元元86教育教学CxxCuu 1sinsinln)1ln(ln方法方法2本例也可以直接采用凑微分的方法本例也可以直接采用凑微分的方法xdxxdxxxxsin)sin11sin1()sin1(sincos 原式原式Cxx sin1sinln3sin2cossin6cosxxxxedxx例87教育教学xdxexxdedxxxexdxxexxxxcoscossincossincos2sinsin2sinsin 解：原式解：原式xdxxexedxexexdexdexxxxxxcoscoscos)cos1(sinsinsinsinsinsin Cxexexx cossinsin dxxxxxcossincossin )4()4sin()4(sin21221)4sin(2)22cos(212xdxxdxxx解：原式解：原式例例788教育教学)4()4sin(2)4csc(221 xdxxCxxctgx )4cos(21)4()4csc(ln221sin1cosxxdxx2sin1cos1 cos1 cos1 cos2cos2xdxxdxxdxdxxxxx解：原式 )cos1ln(22)cos1ln(2xdxxtgxxtgxxxdtg例例889教育教学例例9 9 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx)23(令令Cxxxxtg )cos1ln(2cosln2290教育教学例例1010解解.cos1)sin1(dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan(xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 91教育教学例例1111解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原式原式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 凑导数法凑导数法!92教育教学例例1212解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 22212)1(11ttddttCtt 21arcsin.1arcsin12Cxxx (倒代换倒代换,尽管可采用割换尽管可采用割换)93教育教学例例1414解解.)1ln(arctan2 dxxxx求求dxxx)1ln(2 )1()1ln(2122xdx 221(1)ln(1).2xxxC221arctan(1)ln(1)2xdxxx原式221(1)ln(1)2 arctan2xxxx2212ln(1)21xxdxx94教育教学例例1515解解.)2(10 xxdx求求 )2(10109xxdxx原式原式 )2()(101101010 xxxdCxx )2ln(ln2011010.)2ln(201ln2110Cxx 凑整法凑整法95教育教学例例1616解解.)1()1(342 xxdx求求.)1()11()1()1(234342 xxxxx,11 xxt令令,)1(22dxxdt 则有则有 原原式式 234)1()11(xxxdxdtt 3421Ct 3123.11233Cxx 96教育教学例例1818解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 97教育教学例例1919解解.,1max dxx求求,1max)(xxf 设设,1,11,11,)(xxxxxxf则则,),()(上连续上连续在在xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数98教育教学须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即99教育教学.1,12111,211,21,1max22 xCxxCxxCxdxx故故.1,2132CCCC 可得可得,1CC 联立并令联立并令100教育教学例20解.)1 ln()1(d 22xxxx计算，故，则令 1 dd )1 ln(2xxuxxu d )1 ln()1(d22uuxxxx 2Cu .)1 ln(22Cxx凑导数法凑导数法,双曲函数双曲函数101教育教学例21解.d)ln(ln1 2xxxx计算2221ln1lnddln(ln)(1)xxxxxxxxx dln1d ln1 2，故，则令xxxuxxu dd)ln(ln122uuxxxx 1Cu .lnCxxx102教育教学例22解.)0(d axxaxa计算xxaxaxxaxadd222222ddxaxxxaxa22222)d(21)/(1 )/d(xaxaaxaxa .arcsin22Cxaaxa103教育教学例23解 .d)1(arctan xxxx计算，故，则令xxuxu2dd uuuxxxxd1arctan2d)1(arctan2，从而，则令21dd arctan uuvuv d2d)1(arctanvvxxxxCv 2.)(arctan)(arctan22CxCu104教育教学