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1第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数一、高阶导数定理一、高阶导数定理二、二、柯西不等式柯西不等式三、三、刘维尔定理刘维尔定理2第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 一、高阶导数定理一、高阶导数定理分析分析则由则由柯西积分公式柯西积分公式有有.)(,d)(21)(DzzfizfC 又又,)()(dd21 zzz )1()(!1dd)(nnnznzz ,)(2)(dd3122 zzz ,)(!1 nzn 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，)(zfCDD 3第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 一、高阶导数定理一、高阶导数定理.)(,d)()(2!)(1)(DzzfinzfCnn 定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，)(zfCDD 则则 的的各阶导数均在各阶导数均在 D 上解析上解析，)(zf证明证明(略略)意义意义 解析函数的导数仍解析解析函数的导数仍解析。应用应用 推出一些理论结果。推出一些理论结果。反过来计算积分反过来计算积分.)(!2d)()(0)(10zfnizzzzfnCn 且且 P71定理定理 3.9 (进入证明进入证明?)?)4第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 ii cos 099)(!992e zzi解解 1|3d)(cosizzizzizzi sco!22.)(21ee i例例 计算计算.d1|100e zzzz解解 1|100dezzzz.!992 i P73 例例3.12 部分部分 5第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 .)()(22eizizz 22)1()(e zzfz(1)令令解解.d)1(2|22e zzzzI例例 计算计算 212222)(d)()(d)(eeCzCzizzizizziz则则 21d)(d)(CCzzfzzfI(复合闭路定理复合闭路定理)C2C1C2 i i如图，作如图，作 C1,C2两个小圆，两个小圆，记为记为.21II 6第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 解解.d)1(2|22e zzzzI例例 计算计算C2C2 iC1 i(2)1221)(d)(eCzizzizIizzizi e2)(!12(高阶导数公式高阶导数公式).)1(2eii .)1(2e2iiI 同样可求得同样可求得(3)21III ee)1()1(2iiii .)41sin(2i 7第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 二、二、柯西不等式柯西不等式定理定理 设函数设函数 在在 内解析，且内解析，且 )(zfRzz|0,|)(|Mzf 则则,!|)(|0)(nnRMnzf.),2,1(n(柯西不等式柯西不等式)证明证明,0:11RRR 函数函数 在在 上解析，上解析，)(zf10|Rzz ,d)()(2!)(10|100)(Rzznnzzzzfinzf.),2,1(n 10|100)(d|)(|2!|)(|Rzznnszzzfnzf,!1nRMn 令令 即得即得,1RR,!|)(|0)(nnRMnzf.),2,1(n P73定理定理 3.10 8第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 三、三、刘维尔定理刘维尔定理定理定理 设函数设函数 在全平面上解析且有界，则在全平面上解析且有界，则 为一常数。为一常数。)(zf)(zf设设 为平面上任意一点，为平面上任意一点，证明证明0z函数函数 在在 上解析，且上解析，且)(zfRzz|0,0 R,|)(|Mzf 根据根据柯西不等式柯西不等式有有,|)(|0RMzf 令令 即得即得,R,0)(0 zf由由 的任意性，知在全平面上有的任意性，知在全平面上有0z,0)(zf则则 为一常数。为一常数。)(zfP74 定理定理3.119第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(反证法反证法)则函数则函数 在全平面上解析，在全平面上解析，)(1)(zfz 设函数设函数,)(0111azazazazfnnnn 其中，其中，n 为正整数，为正整数，例例,0 na(代数基本定理代数基本定理)证明方程证明方程 在全平面上在全平面上0)(zf至少有一个根。至少有一个根。假设假设 在全平面上无根，即在全平面上无根，即0)(zf,)(0)(zzf ,0 01111lim)(limazazazaznnnnzz 又又故故 在全平面上有界，在全平面上有界，)(z 根据根据刘维尔定理刘维尔定理有有Cz )(常数常数)，1)(Czf(常数常数)，与题设矛盾。与题设矛盾。10第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(1)任取正数任取正数,2 r则函数则函数 在在 内解析，内解析，)(zfrz|由由高阶导数公式高阶导数公式有有(注意注意 在在 上的性态不知道上的性态不知道)(zf2|z,d)(21)0(|2 rzzzzfif,d)(21|)0(|2 rzzzzzzfif,d|)(|21|)0(|2 rzszzzzff11第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证,d|)(|21|)0(|2 rzszzzzff(1)(2)由由,|2|1|)(|zzzf 有有 rzrzszszzf|2d|121d|2|121|)0(|,221d)|2(|121|2rrszzrz ,12)2(21|)0(|2 rrrf12第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(2),d|)(|21|)0(|2 rzszzzzff(1)12)2(21|)0(|2 rrrf,1)2(1 rr(3)令令 得得1 r.2|)0(|f13第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(1)由于由于 在在 内解析，根据内解析，根据高阶导数定理高阶导数定理可得可得)(zf2|z在在 内，内，也解析；也解析；)(zf 2|z(2)由由 可得可得|2)(|zzf 在在 内，内，2|z0)(zf)()(zfzfz 在在 内解析；内解析；2|z14第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 (3)根据根据柯西积分公式柯西积分公式有有证证(4)由由,|2)(|zzf ,0|2)0(|f;2)0(f 1|d)()(1)(zzzzfzfzi0)()()(12 zzfzfzii;)0()0(2ff 即得即得.)0(d)()(11|)(fzzzfzfziz 15第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 休息一下16第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明.)(,d)()(2!)(0100)(DzzzzzfinzfCnn 定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，)(zf则则 的的各阶导数均在各阶导数均在 D 上解析上解析，且，且CDD )(zf证明证明由函数由函数 在在 上连续，有上连续，有)(zfCDD 在在 上有界，即上有界，即|)(|zfCDD .|)(|Mzf 设边界设边界 C 的长度为的长度为 L。(1)先证先证 的情形的情形，即证，即证.d)()(21)(200 Czzzzfizf1 n17第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(1)先证先证 的情形的情形，即证，即证.d)()(21)(200 Czzzzfizf1 n根据根据柯西积分公式柯西积分公式有有,d)(21)(00 Czzzzfizfzzfzzfzf )()(00 Czzzzzzzfzid11)(21)(00,d)()()(2100 Czzzzzzzfizf18第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(1)先证先证 的情形的情形，即证，即证.d)()(21)(200 Czzzzfizf1 n,d)()()(2100 Czzzzzzzfizf Czzzzfizfd)()(2120 Czzzzzzzfizd)()()(2200记为记为.I 下面需要证明下面需要证明：当当 时，时，.0I0 z19第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(1)先证先证 的情形的情形，即证，即证.d)()(21)(200 Czzzzfizf1 n CzzzzzzzfizI.d)()()(2200dDCz0如图，设如图，设 d 为为 z0 到到 C 的最短距离，的最短距离，,2|00dzzzzzz 取取 适当小，使其满足适当小，使其满足z,2|dz 则则LMddzI 2122|即得即得,)0(,0 z,|0dzz 即即20第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(2)对于对于 的情形的情形2 n因此将因此将 作为新的函数，用同样的方法求极限：作为新的函数，用同样的方法求极限：)(zf ,)()(lim000zzfzzfz .d)()(2!2)(300 Czzzzfizf即可得即可得(3)依此类推，则可以证明依此类推，则可以证明.)(,d)()(2!)(0100)(DzzzzzfinzfCnn (返回返回)
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