使用连续小波变换在配电系统中故障定位毕业论文

使用连续小波变换在配电系统中故障定位摘要该论文说明了连续小波变换（CWT）为分析由于线路故障引起电压瞬变得基本步骤并讨论了其应用于配电系统故障定位。所进行的分析实现在网络中显示存在相关典型频率的连续小波变换转换信号和特殊路径代替转换小波引起的故障。本文提出了一种在MV离散系统中利用以上所提到的相关性确定MV配电系统故障定位的步骤。 在本文中分析MV离散系统是准确地以EMPT模型为代表，以与研究各种故障类型和网络特点。本文介绍了一些也基本测量概念和故障定位标准系统的分布式结构。关键词：故障测距;配电系统;连续小波变换;电磁暂态;分布式测控系统1.导言近年来中压配电网络的故障定位是一个日益受到重视研究话题，由于既要最严的质量的要求并要提供改进测量和监测系。此外，在网络需检修的传统程序的基础上增加的安装分布式发电资源自动开关系统。最有前途的解决这个大家关注问题的方法似乎是在离散系统中运用适当的信号处理技术引起电压/电流瞬变产生的短路事件并记录在一个或更多的位置。在本文中，使用了连续小波变换（CWT）算法。众所周知，相对于DWT的算法，CWT是一种让表现出该故障暂态更详细持续的光谱分析能源。这样的功能是用来检测单一频率电压瞬变所产生的故障。这些频率可用于推断的故障位置，在网络的拓扑结构小波沿线传播速度和已知故障类型。基于CWT故障定位的程序是与测量系统旨在获得双方的起始时间的瞬态与有关波形设想结合起来。该文件的结构如下。第3部分介绍了拟订对连续小波变换的分析和具体的路径沿网络所涵盖的行波源故障的相互关系。第4部分提出申请离散系统对称故障和非对称两个方案，同时还介绍了为不同中性点接地的特点和故障的位置检测所取得的成果。基于该CWT程序是适用于这种以计算机模拟所得的单一结果与详细EMPT（电磁暂态程序）模型离散系统，其特点和数据在附录中描述。第5部分描述前文提到测量系统与离散系统结构用于配置电压瞬变的基本特征。 结论总结所取得的成果与建议的方法和确定的主要研究额外规定方面的工作。2.连续小波变换所提供故障定位的资料一个S（t）的该CWT信号是S（t）和所产生的谐波之间积分产品， 是转换的时间和扩大规模/压缩版本一个函数具有有限能量的函数的基波。这个过程中，相当于一个标产品， 生产小波系数C（a,b） ，其中可以看出作为“相似性指标”的信号和所谓的谐波位于立场之间，b（时间平移因数）是积分模型并且正数a:其中*表示复共轭。 Eq（1）可表示频域（例如5） ：其中F(C(a,b)，S（）和分别是傅立叶变换的C（a，b），S（t）和。 Eq（2）表明，如果基波是一个带滤波器功能，在频域中，利用连续小波变换确定在该频域位置的特殊信号。根据傅立叶变换理论，如果中心频率的基波是，那么的是/a之一。因此，不同的模型允许从原始信号提取不同频率-较大得等值的模型，相应的以较低频率所给予中心频率和带宽比率之间。相反，向窗口傅立叶分析那里的常数频率分辨率和依赖于所选择的窗口带宽，与处理小波的宽度的窗口不同作为一个函数a，从而使用一些的时间窗口进行分析，这是依赖等值比率a。众所周知，必须满足“受理条件”才能允许CWT使用任意基波：Eq.（3）必须满足下列两个条件：均值等于零; 快速下降至零的围是t 。只要基波满足具体条件， 特别是正交下，信号可以也从变换系数修复。 几种基波已被用于文献（例如，6-11），在这方面的文献，即所谓的选择Morlet小波作为基波之一：与DWT不同，CWT可以在任何频域上产生效果，特别是从对原始信号提高到一些更高的频域。CWT也是不断在变化条件：在计算中，分析小波能通畅的转移到完整的的分析函数区域中。在连续小波变换的分析是表现在分析网络总线故障后记录时间域上电压瞬变。该分析瞬态记录信号S（t）的一部分可以对应到一个电压或电流瞬态变化，相应的该产品的采样时间Ts 和样本数目N在一个有限的时间（数毫秒）之间。该CWT的数值是一个一元函数S（t）同时以一个矩阵C（a,b）为围。如下： 平方和的值为所有相应的以同样的频率的系数，这是为以后所有连续小波变换信号Ecwt（a） ，确定了每个频率元件规定的重量的“尺度”：通过检查相对应最高的峰值就可以得到的Ecwt（a）的大小，该信号的检测由最明显的高频成分确定。从现在起，这些高频成分被称为暂态的“CWT的确定频率”。该CWT确定频率可以被相近的faultoriginated 波传播的现象，沿它们的间断点路线反射。为了每个故障定位， 一些理论频率值计算，作为一个功能该路径长度所涵盖的旅行波，传播速度沿线和该类型的思考。队之间的比赛，这些价值观该CWT，确定频率可以提供有用的信息为故障定位。值得注意的是，增加的衍生波在多导体传输线涉与到存在不同的增加速度。在连续小波变换为基础的分析方面， 目前已分开进行了对各种模式在电压暂态观察点的记录。Eqs.(7)和（8）总结在频域上的状态转型，作为使该对角线矩阵的矩阵阻抗和单位长度的矩阵通道之间的一个方法，即z y和yz不相等，但具有一样的特征值的平方形成对角矩阵。系数是i传播的常数模式，这个复合常数是其中是衰减常数和是i相常数相传播的模式， 其中i被赋予：变换矩阵的纵行和 ，即使对角矩阵 zy和矩阵yz ，分别给出了相应的独立的线性特征向量。 3基于故障定位程序该CWT的应用首先提出适用于简单的一个对称的（分三个阶段）故障模型的方法，然后扩展到非对称故障模型。参考故障瞬变以获得分配制度的选择，其配置显示在图.1 ，仿照电磁瞬态计划EMTP-RV 12,13 的方法 。这些关键点和数据模型在附录给出。 为基于转化矩阵和平衡线的定义在式（8），把它们对应到Clarkes（）得到一些一样系数的变换矩阵14 。由不平衡线性矩阵可以推断，仍然可以使用基于程序15程序实施EMTP。在考虑垂直对称导体架空线路中的配置（见图9的附录） ，模拟有关的平衡和不平衡线过渡的显着差异。 3.1.均衡的故障图.2显示模拟电压瞬变在三处不同的观测点的网络图.1 ， 即总线2,总线3与总线4，由于零阻抗分三个阶段出现总线1故障，即主要终端被中止。 图.1也说明了六个涵盖的行进小波路径所产生的一个故障，总线1 。该行波反映在线路终端并在故障定位。 考虑局部点多线融合在这里忽视。只有三个路径（即路径1,2与3）达到观测点。假设在总线四，即发送端的主要接口是有可能的关联，在观察点每个路径特征频率该故障暂态记录的方式如下讨论：路径1是相关的一个时期所给予的行进时间等于四个时间L1+L2+L3除以传播速度，思考作为行波的路径在故障定位(总线1)的传播路径并在发送端的主要馈线（总线4）为连接路径2和3 图.1.电力分布网络和总线1路径所涵盖的行波所造成的故障。图.2.电压瞬变对一个包含三个阶段故障的发生，在总线1观察在3个不同的节点（总线2 ，总线3与总线4 ） ，配电网络所显示的图(1):（a）一般性能与（b）详细的描述。图.3.在总线4连续小波变换分析的电压瞬态结果如图.2所示。它是由最大值(1.25)所决定。 图.三介绍了在观测点（总线4 ）的连续小波变换分析的电压瞬态结果如图.二所示，。表1比较的理论上假设和在第一次逼近结果推断，其与所确定的从高峰期行进速度等于光速的速度如图.3所示。表1 频率值理论上路径所涵盖的行波来源于一个均衡的故障系统，观察总线1总线4的不同以确定由连续小波变换分析路径长度路径路径长度（km）理论频率值（KHz）CWT确定频率（KHz）如果连续小波变换的分析是适用于记录电压瞬变在一个不同的观察点，我们正考虑测试在其他的分布式系统的观察点（见第5条），是有可能增加故障位置的有关资料的。图.4 表2显示在总线2连续小波变换分析的结果。在总线1为零阻抗分三个阶段故障。检测这三个路径的主要影响：L3+L4，与之相对应故障位置在总线2的和L1+L2+L4 反映在线路终端具有一样的结果， 而L2+L3+L5则是与反射线端子一样的结果。因此可以看出，加入总线4所提供的要素检测两个故障的地点，因此可以得到更加准确的函数。图.5和表3显示该条件下在总线5的平衡故障的结果。在这种情况下只有两条路对L1+L2有影响。与之相对应故障位置在主馈线发送端和L1 + 15有影响，其反射系数的同时显示在线端子。 图.6和表4显示该条件在总线2的平衡故障终止横向的结果。 在三个路径这种情况的影响下:（a）在故障定位（总线2）的L1+L2+L4 与之相对应故障位置在主馈线发送端（总线4）。（b）在线端子L1+L2+L3与（c）L1+L5表示的是线端子。在连续小波变换分析中运用Morlet 基波，是能够侦测到只与频率相关两条路径，即第一个和第三个路径，而第二路径的频率最大峰值似乎是隐藏的第一高峰期，由于基波通过大型过滤器的振幅影响，反映出在总线1和总线5反复均衡的故障.在总线2的发电机通过变压器的变换。该CWT确定频率的能量，在表13中，显示不修改反射系数能中止发电机。3.2.非对称故障对非对称故障不同传播速度的各种模式的衍生波必须顾与15的影响。考虑到线配置显示，在附录中，作为第一个近似，克拉克转型是适用于电压瞬变在观察点（总线4 ）的分布情况网络图.1 ，为不同类型的不平衡故障在不同地点，也与图.七的非零故障阻抗说明结果的连续小波变换分析的电压瞬变，由于在总线1到地面发生故障，无论对案件接地和毫无根据的中立。 此外，在这种情况下，考虑的路径是那些说明在图.1相速度的模式0 ，但显着低于光速的速度（如表1所显示。附录9） 。这个速度是用来评价理论频率的价值观，这在表5，比较与那些确定由连续小波变换的分析。 为同一系统的图.1和表6显示总线5到地面发生故障的结果，反复模拟和分析的考虑到故障电阻等于10。那些在表5和表6存在不平衡负载似乎没有明显的影响结果。表7显示该的从一个阶段到另一个阶段影响故障的结果，和表8显示所取得的成果为两相到地面故障。对于这两种情况下，两个故障地点 总线1和总线5 。中立被认为是毫无根据。 虽然有些结果表明，一些限制的通过的Morlet小波，即那些有关故障在图.1的该网络(例如，在总线2均衡故障)，其整体理论计算值确定已经达到CWT频率。这样的匹配鼓励我们研究定位故障。第4条讨论问题。 4.测量系统与分布式体系结构所描述的连续小波变换为基础的算法是构思要再加上一个分布式测量系统。每个单位，设在一些合适的总线的分销网络， 配备了GPS同步装置和是能够获得双方的出发瞬间的瞬态以与相关的波形。一测量单元的故障位置的分布式制度是代表图.八。改进了一些地方如16 。每个线电压的条件是透过一个VTV电压互感器（V-VT）其输出是到一个检测模块(EDB)。图.4.连续小波变换在总线2分析电压暂态的结果，由于在总线5分三个阶段发生零阻抗故障。它的值受最大频率（1.23）影响。表2 频率值，理论上相关的路径所涵盖的行波来源于一个均衡的系统故障，总线5 ，观察在总线2 ， 和价值观，确定由连续小波变换分析路径路径长度（km）理论频率值（KHz）CWT确定频率（KHz）一个检测模块（EDB）和一个模拟到字转换数字采集模块（DAQ）。经EDB特别设计检测在场的瞬变叠加到供应电压波形，并提供一个触发短暂的逻辑信号作为一个前触发该数据采集卡，为数据采集和基于GPS的装置作为一个触发模块，以便记录短暂的开始时间。该数据采集卡输出是离线分析，通过上述所描述的算法。原型已具有以下的特点：以Pearson电压差估价已使用VD305，与绝缘电压300千伏的高峰值的大小比例10000V/1V，带宽30 Hz至4兆赫（ 3分贝） ，上升时间100毫微秒，准确性1。其输出信号反馈检测模块，其中已实施的手段模拟电路中描述的 16 。其输出是的TTL双逻辑信号，在符合要求的基于GPS 设备。这个装置的捕捉时间瞬间下降边缘的投入，与标称精度 250纳秒。 此外，它提供1S为周期精度 250纳秒 TTL脉冲用于同步测量系统。比较由于时间所instants对在不同的分布式测量单位接受的电压瞬变图.5. 在总线4电压暂态连续小波变换分析的结果，由于总线5零阻抗分三个阶段发生故障。它的值受最大频率（3.66）影响表3频率值理论上路径所涵盖的行波来源于一个平衡的系统故障总线5 ，观察在总线四确定由连续小波变换分析的影响。路径路径长度（km）理论频率值（KHz）CWT确定频率（KHz）由CWT分析提供断裂部分的精确位置。 一个12位采集装置是用来采集最高采样频率为100Msa/s，其精确围是 1 和的资料存储能力为64KB， 一个采集装置十毫秒的采集速率为3.2 Msa/s。 该仪器还配备了GSM/GPRS网络调制解调器的数据传送/接收功能。这样根据一项主从式构造是为了运作而设计的的一个系统。 4.1.分析测量不确定度和不确定性的来源其传播效果通过测量算法确定，主要取决于测量硬件。在本节中，从样本所获得的描述的文献初步分析的目的是评估的不确定性影响估计的故障定位的测量结果。 国际标准化组织“不确定性测量指南”17明确评估的不确定性步骤的分析，起始量的不确定因素影响简介量的测量。 然而，在我们的已知其他许多实际情况下，不确定度评定所提供的手段是不适用分析这样的不确定步骤。因此，数控技术的基础上评价方式进行模拟统计一些有意义的测量数目，以便估计有关概率密度函数（PDF格式）。具体而言，第一步程序是表征对测量系统每个设备的计量性能以便获得PDF格式的不确定性来源。这一方法可以执行初步的实验测试，对每一个设备或由制造商提供的规格测量其准确性，。 统计相关的不确定性随机变量参数所产生的数据以与通过使用大量的模拟测量算法执行，估计获得数目的计量和有关PDF。这个程序已经应用到我们的情况下，开始准确的定义提供规格或由制造商提供精度规格：精度为1传感器其数据采集比率为1。在缺少进一步的资料这些不确定源用来影响独立均匀分布的随机变量。表4 频率值理论上路径所涵盖的行波来源于一个平衡的系统故障总线2，观察在总线4确定由连续小波变换分析路径路径长度（km）理论频率值（KHz）CWT确定频率（KHz）特别是正如已经提到的表2图.6. 在总线4连续小波变换分析的电压暂态的结果，由于总线2零阻抗发生故障分三个阶段，它的值受最大频率（1.71）影响图.7.在总线4连续小波变换的分析模式0电压暂态的结果，由于在总线1接地故障：（a）中性点接地网络，（b）无中性点接地网络。其值分别受最大值为（1.37）以与不接地中性点（1.74）影响。表5 频率值在总线1理论上相关的路径发生故障涵盖的行波源自由一个阶段到地面，观察总线4与其值由连续小波变换确定分析路径路径长度（km）理论频率值（KHz）CWT确定频率（KHz）表6 频率值在总线5理论上相关的路径发生故障涵盖的行波源自由一个阶段到地面，观察总线4与其值由CWT确定路径路径路径长度（km）理论频率值（KHz）CWT确定频率（KHz）测试的表明就不同的网络配置由不确定性水平低于200赫兹时所涵盖的行播相关的路径频率。此值提供了一个不确定性迹象的估计故障定位作为路径长度和增长速度的一个功能表7 频率值在总线1和总线5（中性点不接地）理论上相关的路径所涵盖的行波源故障，观察在总线4与其值，由CWT确定路径路径路径长度（km）理论频率值（KHz）CWT确定频率（KHz）表8 总线1和总线5（中立不接地）频率的数值相关的路径涵盖的行波源由两阶段连接到地面发生故障，观察在总线4与其值，由CWT处理值确定路径路径长度（km）理论频率值（KHz）CWT确定频率（KHz）5 结论本文论述了一种基于连续微波变换基础上来分析配电系统中电压瞬变所产生的的故障方法。 这种方法适用于测试网络、显示一些特征频率转化的信号和具体网络路径相互之间的关系。结果表明，在考虑网络配置和故障的类型基础上，能够提供达到预期的故障定位。另外可以改进的的研究工作将致力于采取到更复杂的网络（例如由架空线和电缆组成的网络）或者为提高故障定位准确性而改善基波。 此外作者认为，该论文所得到的结果构成了故障定位系统（分布式体系结构）发展的基础。 鸣这项工作得到了CESI研究计划的支持。附录在本文中，连续小波变换的分析已进行了模拟仿真。图1为配电网络的配置说明，这里使用了电磁暂态程序，即EMTP-RV代码。geometry配电网络是由一个10Km长的主要馈线（L1 ， L2和L3 ）和由两个2Km长的辅助电缆（ L4 ）和1Km长的（ L5 ）与150、20kVd的变电站组成 。架空线路的特点和导体的几何形状如图9所示。其中地面电阻率假设等于100M图 9 配置架空电缆截面的导体图8 测量系统示意图。表9架空线图模态参数值， 9以上地面与电阻率等于100的XM该表格代表了一个“连续参数线模型” （CP模型） 15 和模态参数的值观（表9 ）值得一提的是这里采用了一项频变线模型（例如FD模型 18 ） ，结果表明在电压瞬变中的结果与CP线模型接近。这一方面是由于其典型的有限长度的分布电缆，在另一方面是由于其典型的频率故障瞬变，（其中不超过几十千赫）。 这里有两种类型的电力变压器： （i） 20MVA 150/20kV的变压器与（ ii ） 3MVA 20/0.4KV配电变压器负荷总线。图10 说明了在总线上的负荷连接。图 1 中的1 、 2与3中，每个负载在低电压方面的配电变压器连接，并由三个阻抗代表。一个电容也包括在每个平行的变压器模型中，在一次近似中，其反应的瞬态频率围约为100KHZ参考On the use of continuous-wavelet transform for faultlocation in distribution power systemsA. Borghettia, S. Corsib, C.A. Nuccia,*, M. Paolonea, L. Perettoa, R. TinarelliaaDepartment of Electrical Engineering, University of Bologna, viale Risorgimento, 2, 40136 Bologna, ItalybCESI, Milan, ItalyReceived 31 March 2006; accepted 31 March 2006AbstractThe paper illustrates a procedure based on the continuous-wavelet transform (CWT) for the analysis of voltage transients due to linefaults, and discusses its application to fault location in power distribution systems. The analysis carried out shows that correlation existsbetween typical frequencies of the CWT-transformed signals and specic paths in the network covered by the traveling waves originatedby the fault. The paper presents a procedure for determining fault location in MV distribution systems, which exploits the above-men-tioned correlation. The MV distribution system analysed in the paper is accurately represented by means of an EMTP model; variousfault types and network characteristics are examined. The paper presents also the basic concepts of a measurement and fault locationprototype system with distributed architecture.2006 Elsevier Ltd. All rights reserved.Keywords:Fault location; Power distribution systems; Continuous-wavelet transform; Electromagnetic transients; Distributed measurement systems31 / 311. IntroductionFault location in MV distribution network is a researchtopic that is receiving increased attention in recent years,due both to the most severe power quality requirementsand to the availability of improved measurement and mon-itoring systems. In addition, the increasing installation ofdistributed generation resources in the network requiresthe overhaul of traditional procedures based on automaticswitching systems.The most promising approach for the problem of inter-est appears to be the application of appropriate signal pro-cessingtechniquestothevoltage/currenttransientsproduced by short circuit events and recorded at one ormore locations in the distribution system.Recent contributions to the subject are based on the useof the wavelet transform (e.g., 14), usually adopting thediscrete-wavelet transform (DWT), due to its straightfor-*Corresponding author. Tel.: +39 51 2093479; fax: +39 51 2093470.E-mail address: carloalberto.nucciunibo.it(C.A. Nucci).0142-0615/$ - see front matter2006 Elsevier Ltd. All rights reserved.doi:10.1016/j.ijepes.2006.03.001ward implementation and the reduced computational timeit requires.In this paper, use is made of the continuous-wavelettransform (CWT) algorithm. As known, compared to theDWT algorithm, the CWT one allows performing a moredetailed and continuous analysis of the spectrum energyof the fault transient. Such a feature is used to detect indi-vidual frequencies that characterize the voltage transientsgenerated by the fault. These frequencies can be used forinferring the location of the fault, being the network topol-ogy, the wave propagation velocity along the lines and thefault type known.The proposed CWT-based fault location procedure isconceived to be combined with a measurement systemaimed at acquiring both the starting time of the transientand the relevant waveforms.Thepaperisstructuredasfollows.Section3introduces the proposed correlation between the resultsof the CWT-analysis and specic paths along the net-work covered by the traveling waves originated by thefault.A. Borghetti et al. / Electrical Power and Energy Systems 28 (2006) 608617609Section 4presents the application to a distribution sys-tem for both the case of symmetrical faults and non-sym-metrical ones. It also presents the results obtained forChZ112jWxjxdx 13dierent neutral grounding characteristics and fault loca-tions. The CWT-based procedure is applied in such a sec-tion to computer simulation results obtained with adetailed EMTP (electromagnetic transient program) modelof the distribution system, whose characteristics and dataare reported in Appendix.Section 5describes the basic characteristics of the earliermentioned measurement system with distributed architec-ture for the acquisition of voltage transients.The conclusions summarize the results obtained with theproposed approach and identify the main aspects requiringEq. (3)is satised by the two following conditions: mean value of w(t) equal to zero; fast decrease to zero of w(t) for t ! 1.Provided that the mother-wavelet satises specic condi-tions, in particular the orthogonality one, the signal canalso be reconstructed from the transform coecients.Several mother-wavelet has been used in the literature(e.g.,611), in this paper, the so-called Morlet-waveletis chosen as mother one w(t):additional research eorts.wt et2=2ej2pF0t:42. Fault location information provided by continuous-wavelettransformThe CWT of a signal s(t) is the integral of the productbetweens(t) and the so-called daughter-wavelets, whichare time translated and scale expanded/compressed ver-sions of a function having nite energyw(t), calledmother-wavelet. This process, equivalent to a scalar prod-uct, produces wavelet coecients C(a, b), which can be seenas similarity indexes between the signal and the so-calleddaughter-wavelet located at position b (time shifting factor)and positive scale a:Z11Unlike DWT, CWT can operate at any scale, specicallyfrom that of the original signal up to some maximum scale.CWT is also continuous in terms of shifting: during -putation, the analyzing wavelet is shifted smoothly overthe full domain of the analyzed function.The CWT-analysis is performed in time domain on thevoltage transients recorded after the fault in a bus of thedistribution network.The analyzed part of the transient recorded signals(t),which can correspond to a voltage or current fault-transient, has a limited duration (few milliseconds) corre-sponding to the product between the sampling timeTsand the number of samples N. The numerical implementa-tion of the CWT to signal s(t) is a matrix C(a,b) dened aspwtb1Ca; b 1staadtfollows:1where * denotes complex conjugation.Eq. (1)can be expressed also in frequency domain (e.g.,Ca; iTs TspjajX1nwiTsasnTs;5):i 0; 1; . . . ; N :n05F Ca; b paW axSx2The sum of the squared values of all coecients corre-sponding to the same scale, which is henceforth calledwhere F(C(a,b), S(x) and W(x) are the Fourier transformsof C(a, b), s(t) and w(t), respectively.Eq. (2)shows that if the mother-wavelet is a band-passlter function in the frequency-domain, the use of CWT inthe frequency-domain allows for the identication of thelocal features of the signal. According to the Fourier trans-form theory, if the center frequency of the mother-waveletW(x) is F0, then the one of W(ax) is F0/a. Therefore, dier-ent scales allows the extraction of dierent frequenciesfrom the original signal larger scale values correspondingto lower frequencies given by the ratio between center fre-quency and bandwidth. Opposite to the windowed-Fourieranalysis where the frequency resolution is constant anddepends on the width of the chosen window, in the waveletapproach the width of the window varies as a function of a,thus allowing a kind of time-windowed analysis, which isdependent to the values of scale a.As known, the use of CWT, allows the use of arbitrarymother-wavelets which must satisfy the admissibilitycondition:CWT-signal energy ECWT(a), identies a scalogram whichprovides the weight of each frequency component:X1ECWTa Ca; nTs2:6n0By inspecting the relative maximum peaks of the obtainedscalogram ECWT(a), the most signicant frequency compo-nents of the signal are detected. From now on, thesefrequency components are called CWT-identied frequen-cies of the transient. The CWT-identied frequencies canbe correlated to the propagation phenomena of the fault-originated waves, traveling along the lines, and to theirreections at discontinuity points. For each fault location,some theoretical frequency values are calculated as a func-tion of the length of the path covered by the travelingwaves, of the propagation velocities along the lines andof the type of reections. The match between these valuesthe CWT-identied frequencies can provide useful infor-mation for the fault location.610A. Borghetti et al. / Electrical Power and Energy Systems 28 (2006) 608617It is worth noting that the propagation of travelingwaves in multiconductor transmission lines, involves thepresence of dierent propagation speeds. In this respect,the CWT-based analysis has been carried out separatelyon the various modes present in the voltage transientrecorded at the observation point.Eqs. (7) and (8), written in the frequency domain, summa-rize the modal transformation, as a way to make diagonal thematrixes given by the products between the impedance andadmittance per-unit-length matrixes, namely Z0Y0 andY0Z0. These matrixes are not equal, but have the sameeigenvalues that, squared, form diagonal matrix c2.hicase of non-symmetrical faults. The fault transients areobtained making reference to the distribution system con-guration shown in Fig. 1, modeled by means of the elec-tromagnetic transient program EMTP-RV 12,13. Somedetails and data of the model are given in Appendix.For the case of balanced lines, transformation matrixesTe and Ti dened in (8), are identical and the elementscan be real numbers and they correspond to the Clarkes(0, a, b) transformation matrix 14. For the case of unbal-anced lines, real matrix can be still inferred by using theprocedure implemented in EMTP-based programs 15. Inview of the vertical symmetry of the conductor congura-tion of the considered overhead line (seeFig. 9of thed2Vphdx2hi Z0Y0Vph7Appendix), the simulated transients relevant to balancedand unbalanced lines do not dier signicantly.d2Iphdx2 Y0Z0IphVph TeVmIph TiImhi83.1. Balanced faultsFig. 2shows the simulated voltage transients at threed2Vmdx2h i c2Vm9dierent observation points of the network ofFig. 1,namely bus 2, bus 3 and bus 4, due to a zero-impedanced2Imdx2 c2Imthree-phase fault at bus 1, i.e., the terminal end of the mainCoecientsciare the propagation constant of modei.They are complex numbersci= ai+ iwhereaiis theattenuation constant and biis the phase constant of modei. The phase velocity of mode i is given byxfeeder.Fig. 1also illustrates six paths covered by travelingwaves originated by a fault at bus 1. The traveling wavesare reected at the line terminations and at the fault loca-tion. Paths with partial reections at the point where morevibi:10lines converged are here disregarded. Only three paths(namely paths 1, 2 and 3) reach the observation point,The columns of transformation matrixes Te and Ti, thatmake diagonal matrix Z0Y0 and matrix Y0Z0, respec-tively, are given by corresponding linear independenteigenvectors.3. Application of the CWT-based fault location procedureThe proposed method is rstly applied to the simple caseof a balanced (three-phase) fault and then extended to theTr_1_20 MVAassumed at bus 4, i.e., the sending end of the main feeder.It is possible to correlate each path to characteristic fre-quencies of the fault transient recorded at the observationpoint by means of the following remarks: path 1 is associ-ated to a period given by a traveling time equal to fourtimes L1 + L2 + L3 divided by the propagation speed, asthe traveling wa