柯西中值定理

2柯西中值定理和不等式极限一柯西中值定理定理(6.5)设 川)、g“)满足(i) 在区间孔刻上连续，(ii) 在饥内可导(iii) 广3), &3)不同时为零；(iv) 羊如)则至少存在一点M丘S ,们使得柯西中值定理的几何意义曲线也由参数方程给出，除端点外处处有不垂直于氐轴的切线，则在上存在一点P处的切线平行于割线而.。注意曲线AB在点W)处的切线的斜率为而弦於的斜率为受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下：由于，0) 戒境= g3)e 时产0,类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数容易验证3)满足罗尔定理的条件且根据罗尔定理，至少有一点面 使得 厌=，即由此得注2：在柯西中值定理中，取。3)=知 则公式(3)可写成这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令映）=明，则观q.这恰恰是罗尔定理.注3:设加）在区间I上连续，fO）在区间I上为常数 疽） = ，17.三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性1、利用其几何意义要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与 两点间某点的切线平行。可以用这种几何解释进行思考解题：例1：设3）在（a，b）可导，且丁3）在a，b上严格递增，若 睥=抡），则对一切 件切有川）”*（切。证明：记A （白JS），对任意的仲，记C （）， 作弦线AB，BC，应用拉格朗日中值定理，（有M E （履），使得广*广分别等于AC，BC弦的斜率， 但因广严格递增，所以注意到脸=儿们，移项即得/V项二处），好心）2、利用其有限增量公式要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式进行思考解题：例2：设川）上连续，在（a, b）内有二阶导数，试证存在勇5、】使得证：上式左端作辅助函数则上式，其中3、作为函数的变形要点：若在a，b上连续，（a，b）内可微，则在a，b上=M介于工与曲之间）此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。例3设了3）在，心）上可导，m = 0,并设有实数A0，使得I二二 5证明：顷胡在0，京上连续，故存在疽京使得maxISSm于是 M=m= m + md)*gwAg H 5知W1z -1 z故M=0,3)在0,侦上恒为0。用数学归纳法，可证在一切京五i(i=1,2,)上恒有了=0,所以了)=0,寸居0,+oa )利用柯西中值定理研究函数的某些特性1. 证明中值点的存在性:例1 设函数/在区间上连续,(彖)证 在Cauchy中值定理中取昌3)=恒工例2 设函数在区间由上连续,内可导,且有试证明：母3 m 6而=。2.证明恒等式:7T ardgx + arcctgx = 证明：对寸拦R,有2证明设函数了和g可导且加3,又)g(x) = cf(x)设对R,有f(x + h)-f(x)Mh2,其中财是正常数.则函数/是常值函数.(证明广= ).3.证明不等式:例6证明不等式:0时，1 +破.ln( 1+1) 0)例55若.lim乌例Lm时的阶.x=5:0.1:50; y1=log(x);y2=x.”(1/2);plot(x,y1,，b，,x,y2,，m，)右图看出L高于旋Xclf, x=1:0.1:5;y1=exp(x);y2=x.”2;plot(x,y1,b,x,y2,m ,)右图看出迎 高于严注意15 寸3)不存在，并不能说明1苛爪对不存在(为什么？)注意2不能对任何比式极限都按洛必达法则来求，首先要注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则条件. X + SHI Xliiii 例 求极限X .( Hospital法则失效的例)三.其他待定型：。咛俨，3 .前四个是幕指型的.lim xln x.例7ylim (cos x)例8号口.lim (sin #商疝例 91口+lim (x + Jl + x勺云例 10EE.例11例12/（对二呼，50, x= 0.且就。）关，（。）如如）二 3.求了 0）=蜘竺二竺=蜘KT。VXT例13lim 1 + +