资源描述
北 师 大 版 数 学 课 件精 品 资 料 整 理 5 从力做的功到向量的数量积1.1.知识目标：知识目标：（1 1）通过物理中）通过物理中“功功”等实例，理解平面向量数量积的等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；含义及其物理意义、几何意义；（2 2）体会平面向量的数量积与向量射影（也叫投影）的）体会平面向量的数量积与向量射影（也叫投影）的关系；关系；（3 3）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用；一些简单应用；（4 4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系判断两个平面向量的垂直关系.2.2.能力目标：能力目标：学会借助实例分析，探究数学问题（体会由学会借助实例分析，探究数学问题（体会由熟悉的物熟悉的物理知识理知识“做功做功”得到向量的数量积的含义及其物理意义、得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义几何意义.精解精析几个例题，帮助理解和巩固相应的知精解精析几个例题，帮助理解和巩固相应的知识，培养自己的逻辑思维能力）识，培养自己的逻辑思维能力）.3.3.情感目标：情感目标：通过本节内容的学习，认识向量的数量积与物理学的通过本节内容的学习，认识向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；进一步领悟数形结合的思想；做功有着非常紧密的联系；进一步领悟数形结合的思想；同时同时通过熟悉的通过熟悉的物理背景去理解向量的数量积，激发学习物理背景去理解向量的数量积，激发学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.（1 1）任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向）任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？如果可以如果可以,结果又如何呢？结果又如何呢？（2 2）我们学过功的概念，即一个物体在力）我们学过功的概念，即一个物体在力F F的作用下产的作用下产生位移生位移s s（如图）（如图）FS力力F F所做的功所做的功W W可用下式计算可用下式计算:W=|F|S|cos,W=|F|S|cos,其中其中是是F F与与S S的夹角的夹角.当当0 09090时，时，W W0,0,即力即力F F做正功；做正功；当当9090时，时，W W0 0，即力，即力F F不做功；不做功；当当9090180180时，时，W W0 0，即力，即力F F做负功做负功.从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量数量积数量积的概念的概念.ab两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，则，则（）叫做向量）叫做向量 与与 的夹角的夹角aabbOA=aOB=b AOB=0180OABab思考思考1 1 如何定义向量的夹角？如何定义向量的夹角？OAB若若 ，与与 同向同向bbaa0 OAB若若 ，与与 反向反向bbaa180OABba若若 ，与与 垂直，垂直，记作记作b90aab由于零向量的方向是任由于零向量的方向是任意的，为方便起见，规意的，为方便起见，规定定零向量可与任一向量零向量可与任一向量垂直垂直.，过点，过点B B 作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为垂足为B B1 1，则，则 .OA aOB b1OBcosb|cos叫作向量叫作向量 在在 方向上的方向上的射影射影(也叫也叫投影投影)abb当当为锐角时，为锐角时，|cos_ b0 0思考思考2 2 什么是向量的射影？什么是向量的射影？OAB ab B1OBA当当=0=0时，时，|cos|cos=_=_a b b|b 当当为钝角时，为钝角时，|cos_ b当当为直角时，为直角时，|cos_ b0 0=0=0BOA1Bb a 1BOAB)(1Bb a 1()BOBAab-|b当当=180=180时，时，|cos|cos=_=_bB1物理实例中，与位移物理实例中，与位移S S方向一致的分力方向一致的分力F F1 1的长度的长度F Fcoscos，即是力，即是力F F在在S S方向上的射影。方向上的射影。FSF2F1思考思考3 3 平面向量的数量积的定义如何？平面向量的数量积的定义如何？已知两个向量已知两个向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把数量，我们把数量|cos|cos叫做叫做 与与 的数量积（或内积），的数量积（或内积），记作：记作：=|cos =|cos 注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。特别的特别的:零向量与任一向量的数零向量与任一向量的数量积为量积为0.abbababababa例例1 1 已知已知|=3|=3，|=4|=4，与与 的夹角的夹角=150=150，求求 .ababab解：解：=|cos=3 =|cos=34 4cos150cos150 =3 =34 4（-/2-/2）=6 6abab33解：解：|=,|=2,=45|=,|=2,=45 =|cos=|cos=2 2cos45cos45=2.=2.ababab22已知已知 =(1,1),=(2,0),=(1,1),=(2,0),求求 .ababab45 与 的夹角思考思考4 4 数量积的几何意义是什么？数量积的几何意义是什么？coscos与 的数量积等于 的长度与 在 方向上投影的乘积，或 的长度与 在 方向上投影的乘积.abaababbbaba|cosbabBAOcosa bab abbacosa bba【特别提醒特别提醒】1.1.2.2.若若 是单位向量是单位向量,则则2a aa 1212coscose eee 12,e e 单 位 向 量单 位 向 量是 一 种 特是 一 种 特殊 的 向 量殊 的 向 量哟！哟！【重要性质重要性质】1.1.若若 是单位向量，则是单位向量，则2.2.3.3.4.4.5.5.当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立.ecos.e aa ea 0.aba b.aa acos(0).a ba ba b.a ba bab 个产计物体在力F的作用下生位移S,那么力F所做的功W可用公如果式一算:FSW=F S=|F|S|coscosF思考思考5 5 数量积的物理意义？数量积的物理意义？,设向量和实数，则向量的数量积满足下列运算律：a b c (1);a bb a (2)()()();aba bab(3)().a bca ba c 反之成立吗？反之成立吗？a cb cab思考若，有：吗？解答：不成立解答：不成立.解答：成立解答：成立.练习：练习：判断正误判断正误3 3若若 ，=0，则则 =abab002 2若若 ，则对任一非零向量则对任一非零向量 ,有有 0abab01 1若若 =，则对任一向量则对任一向量 ，有有 =0 abab04 4若若 =0，则则 ,中至少有一个为中至少有一个为 0abab5 5若若 ，=，则则 =0cababca6 6若若 =,则则 ,当且仅当当且仅当 =时成立时成立ccababa07 7对任意向量对任意向量 有有a22.aa平面向量数量积的应用平面向量数量积的应用例例2 在在ABC中，设边中，设边BC，CA，AB的长度分别为的长度分别为a，b，c，证明：证明：a=b+c2 bccosA，b=c+a2cacosB，c=a+b2abcosC.例例2 在在ABC中，设边中，设边BC，CA，AB的的长度分别为长度分别为a，b，c，证明：，证明：a=b+c2 bccosA，b=c+a2cacosB，c=a+b2abcosC.AacbCB证明证明 设设 则则AB,BC,AC,cab222BCBC BC aa(AC-AB)(AC-AB)()()bcbc2b bc cb c 222cos.bcb cA 同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.【技巧点拨技巧点拨】1.1.将三角形的边用有向线段表示；将三角形的边用有向线段表示；2.2.根据向量的运算及向量的几何意义，写根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系；出向量之间的关系；3.3.通过平方和向量的数量积整理出所要的通过平方和向量的数量积整理出所要的结果结果.例例3 3 证明菱形的两条对角线互相垂直证明菱形的两条对角线互相垂直.AC=AD+AB,BD=AD-AB AC BD=(AD+AB)(AD-AB)22(AD)-(AB)22=AD-AB 证明证明 菱形菱形ABCDABCD中，中，AB=ADAB=AD，由于，由于可得可得ACBD =0=0，所以，所以，即菱形的两条对角线互相垂直即菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO【技巧点拨技巧点拨】1.1.取两个不共线的向量作基底；取两个不共线的向量作基底；2.2.将要证明的向量用这两个向量表示；将要证明的向量用这两个向量表示；3.3.利用利用 得到证明。得到证明。0 aba b例例4 4 已知单位向量已知单位向量 ,的夹角为的夹角为6060，求向量，求向量 ,的夹角的夹角.12aee 212bee 1e2e 解：解：由单位向量由单位向量 ,的夹角为的夹角为6060，得，得1e2e 121cos60,2e e 所以所以 3.ab 1112222e ee eee 1321.22 1221()(2)a beeee 所以所以 又又222212112223,aeeee ee 22222111222443,beeee ee 设设 与与 的夹角为的夹角为 ，由可得由可得ab312cos.233a ba b 又又 所以所以 .即向量即向量 与与 的夹角为的夹角为 .0,23ab23【技巧点拨技巧点拨】1.1.以以 ，为基底；计算为基底；计算 的值的值.2.2.利用向量的夹角公式计算利用向量的夹角公式计算.1e2 e12 e e:1ADBC,解因为与平行且方向相同ADBC0.与的夹角为AD BCADBC cos03 3 19 2.ABCD,与平行 且方向相反ABCD180 与的夹角是AB CDAB CD cos1804 4116 3.ABAD60,与的夹角是ABDA120 与的夹角是1AB DAAB DA cos1204 362 2AD BCAD9 或2AB CDAB16 或120,ABCD,AB=4,AD3,DAB60,:1.AD BC 例5 如图 在平行四边形中 已知求 2.AB CD 3.AB DA BACD60【技巧点拨技巧点拨】进行向量数量积计算时进行向量数量积计算时,既要考虑向量的既要考虑向量的模模,又要根据两个向量方向确定其夹角又要根据两个向量方向确定其夹角.1012022ab2222253aa bb（否）（否）（否）（否）1.1.已知已知 ，与与 的夹角的夹角 ，求，求 .5a 4b ab120a b 2.2,3,3,.aba ba b 已知求 与 的角 223.abab4.,?如果能否推出为什么？a ba cbc 5.是否成立？为什么？a bcab c 3.1;算下列各式abab:计本节课主要学习了：本节课主要学习了：（1 1）向量的夹角；）向量的夹角；（2 2）向量的射影；）向量的射影；（3 3）向量的数量积；）向量的数量积；（4 4）向量的数量积的几何意义和物理意义；）向量的数量积的几何意义和物理意义；（5 5）向量的数量积的性质和运算律）向量的数量积的性质和运算律.不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的。贝尔奈
展开阅读全文