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（浙江专版）2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书第三节函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()AB.C.DB依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.3下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()AyByxCy2xDyxexDA选项定义域为R，由于f(x)f(x)，所以是偶函数B选项定义域为x|x0，由于f(x)xf(x)，所以是奇函数C选项定义域为R，由于f(x)2x2xf(x)，所以是偶函数D选项定义域为R，由于f(x)xexx，所以是非奇非偶函数4若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(2)_.2f(x)是周期为2的奇函数，fff42，f(2)f(0)0，ff(2)202.5(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)_.x(1x)当x0时，则x0，f(x)(x)(1x)又f(x)为奇函数，f(x)f(x)(x)(1x)，f(x)x(1x)函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x32x；(2)f(x)(x1)；(3)f(x) 【导学号：51062025】解(1)定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)32(x)x32x(x32x)f(x)该函数为奇函数.4分(2)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数.15分规律方法1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断变式训练1(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(2)判断函数f(x)的奇偶性(1)CA：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错B：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错(2)由得x23，x，4分即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.10分因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.15分函数奇偶性的应用(1)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则f(x)_.(1)1(2)(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.(2)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0时，x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即f(x)x24x(x0)，f(x)规律方法1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程(组)，从而可得f(x)的值或解析式变式训练2设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3B1C1D3A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)2020b0，解得b1，所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.函数的周期性及其应用设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 017)_. 【导学号：51062026】1 009f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)1，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.迁移探究1若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？解f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.15分迁移探究2若将本例中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)”，则结论如何？解f(x1)，f(x2)f(x1)1f(x).5分故函数f(x)的周期为2.8分由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.15分规律方法1.判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质2函数周期性的三个常用结论：(1)若f(xa)f(x)，则T2a，(2)若f(xa)，则T2a，(3)若f(xa)，则T2a(a0)变式训练3(2017杭州模拟(一)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)则下列函数值为1的是()Af(2.5)Bf(f(2.5)Cf(f(1.5)Df(2)D由f(x1)f(x)知f(x2)f(x1)f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)f(0.5)1，f(f(2.5)f(1)f(1)1，f(f(1.5)f(f(0.5)f(1)1，f(2)f(0)1，故选D.思想与方法1函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)f(x)(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性3在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用易错与防范1判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件应用时要注意函数的定义域并进行检验3判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性课时分层训练(五)函数的奇偶性与周期性A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2017嘉兴三模)在函数yxcos x，yexx2，ylg，yxsin x中，偶函数的个数是()A3B2C1D0Byxcos x是奇函数，ylg和yxsin x是偶函数，yexx2是非奇非偶函数，故选B.2函数ylog2的图象()A关于原点对称B关于直线yx对称C关于y轴对称D关于直线yx对称A由0得1x1，即函数定义域为(1,1)，又f(x)log2log2f(x)，函数ylog2为奇函数，故选A.3已知函数f(x)的定义域为R.当x时，ff，则f(6)()A2B1C0D2D由题意知当x时，ff，则f(x1)f(x)又当1x1时，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)又当x0时，f(x)x31，f(1)2，f(6)2.故选D.4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(2 019)() 【导学号：51062027】A2B2C98D98Af(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 019)f(50443)f(3)f(1)又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2122，即f(2 019)2.5对于函数f(x)，若存在常数a0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)f(2ax)，则称f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是()Af(x)Bf(x)x2Cf(x)tan xDf(x)cos(x1)D由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于xa(a0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x0，而D中f(x)cos(x1)的图象关于xk1(kZ)对称二、填空题6函数f(x)在R上为奇函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)_. 【导学号：51062028】1f(x)为奇函数，x0时，f(x)1，当x0时，x0，f(x)f(x)(1)，即x0时，f(x)(1)1.7(2017浙江五校二模)函数f(x)是奇函数，则实数a_.2由题意知，g(x)(x2)(xa)为偶函数，a2.8(2017杭州模拟)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，当x0,2)时，f(x)x2，若对于任意xR，都有f(x4)f(x)，则f(2)f(3)的值为_1由题意得f(2)f(24)f(2)f(2)，f(2)0.f(3)f(14)f(1)f(1)1，f(2)f(3)1.三、解答题9若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)，求f(x)的表达式. 【导学号：51062029】解在f(x)g(x)中用x代替x，得f(x)g(x)，4分又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(x)g(x)，8分联立方程12分两式相减得f(x).15分10已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x).(1)求f(1)和f(1)的值；(2)求f(x)在1,1上的解析式解(1)f(x)是周期为2的奇函数，f(1)f(21)f(1)f(1)，4分f(1)0，f(1)0.7分(2)由题意知，f(0)0.当x(1,0)时，x(0,1)由f(x)是奇函数，f(x)f(x)，10分综上，在1,1上，f(x)15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)f(x1)，若f(2)2，则f(2 018)的值为()A2B0 C2D2Ag(x)f(x1)，g(x)f(x1)又g(x)f(x1)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数，f(2 018)f(45042)f(2)2.2(2017浙江镇海中学测试卷二)设函数f(x)则f_，若f(a1)f(2a1)，则实数a的取值范围是_. 【导学号：51062030】(，2因为f，所以ff.因为函数f(x)在实数集上单调递增，故有a12a1，解得a2.3已知函数f(x)是奇函数，(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，则x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.2分又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.7分(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增结合f(x)的图象知12分所以1a3，故实数a的取值范围是(1,3.15分26
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