5.第四章 筒体结构分析

4.1.5 框筒受扭的近似计算框筒受扭的近似计算 两x向腹框架(连同y向相应翼框)中每榀所受层剪力为Vx 两y向腹框架(连同x向相应翼框)中每榀所受层剪力为Vy框筒结构在该楼层所受扭矩为Mz把筒看作由四榀框架组成把筒看作由四榀框架组成框筒结构框筒结构 1212122 2c2 ,(m),(,)(b),yzxyzTxxxxmTyyyymTzzzzmxiyizibVMVb VMVVVVVVVVMMMMV VxayiMx 则有平衡条件 2cV对所有楼层，以矩阵形式表达其中为总层数分别为每榀 方向，方向的腹框架第 层剪力 为i框筒结构第 层的扭矩 框筒受扭的近似计算框筒受扭的近似计算框筒结构框筒结构平衡关系平衡关系 1212,(c)(d)TxxxxmTyyyymxxxyyyxyx yVKVKKKmm 设分别为向的腹框架在框架本身平面方向的位移列阵 则：均为阶方阵，分别为 x,y向腹框的侧向刚度矩阵 框筒受扭的近似计算框筒受扭的近似计算框筒结构框筒结构物理关系物理关系 1222o ,(2(2)zTmixyxyzMicbc KbKMef 另：框筒结构在的作用下产生绕 点(刚心)的竖轴的转角第楼层绕竖轴z的转角 则：有 将e,f代入c,d后再代入b式得 框筒受扭的近似计算框筒受扭的近似计算框筒结构框筒结构几何关系几何关系 12212222 22 22 22 ,xyzxyzxyzzxyxycKbKMcKbKMcKbKKKMFMFKe fc dVV11则转角位移列阵则转角位移列阵令扭转刚度方阵 则或 框筒扭转柔度矩阵将代入得再代入得再按展开平面框架法得各杆件内力 框筒受扭的近似计算框筒受扭的近似计算框筒结构框筒结构 可以作为内单筒单独承受水平荷载实腹筒体；可以作为内单筒单独承受水平荷载实腹筒体；可以和框筒或其它实腹筒共同工作抵抗水平荷载。可以和框筒或其它实腹筒共同工作抵抗水平荷载。但需先解决单个实腹筒在水平荷载下的计算问题但需先解决单个实腹筒在水平荷载下的计算问题.4.2.1 变形特性变形特性 单个实腹筒体可以看作底端固定，顶端自由的单个实腹筒体可以看作底端固定，顶端自由的 竖向悬臂竖向悬臂 开口薄壁杆件开口薄壁杆件 闭口薄壁杆件（以后将介绍）闭口薄壁杆件（以后将介绍）4.2 实腹筒体结构的计算实腹筒体结构的计算筒体结构筒体结构Vy通过通过o点时：平面弯曲问题，点时：平面弯曲问题，可按材料力学方法计算可按材料力学方法计算 实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算o点为点为弯曲中心弯曲中心当当Vy通过通过o点时，点时，筒体只产生弯曲变形筒体只产生弯曲变形 当当Vy不通过不通过o点时，点时，筒体产生筒体产生 弯曲变形弯曲变形 绕绕o点的扭转变形点的扭转变形 o点也称为点也称为扭转中心扭转中心筒体结构筒体结构 当当Vy不通不通 过过o点时：点时：简化简化 等效平移过等效平移过o点点 另加另加Mz：扭转：扭转 自由扭转自由扭转 约束扭转约束扭转实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算弯曲中心弯曲中心筒体结构筒体结构4.2.2 扭转分类扭转分类 当实腹筒体（开口薄壁杆件）受扭时，横截面不当实腹筒体（开口薄壁杆件）受扭时，横截面不再保持为平面再保持为平面 发生翘曲（即出平面的凹凸）发生翘曲（即出平面的凹凸）l自由扭转：自由扭转：如果外扭矩仅施加于筒体（杆件）两如果外扭矩仅施加于筒体（杆件）两端，且两端可以自由翘曲则：端，且两端可以自由翘曲则：各横截面的翘曲相同各横截面的翘曲相同 无纵向线应变无纵向线应变 横截面上无正应力横截面上无正应力 筒体的每一部分也不筒体的每一部分也不会在纵向平面内发生弯曲（自由扭转或纯扭转）会在纵向平面内发生弯曲（自由扭转或纯扭转）实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构l约束扭转约束扭转：开口薄壁筒体受扭时，若：开口薄壁筒体受扭时，若 筒体截面沿高度变化筒体截面沿高度变化 或或 Mz不限于施加于筒体两端不限于施加于筒体两端 或或 端截面由于支座的约束端截面由于支座的约束则则 截面不能自由翘曲：翘曲受阻截面不能自由翘曲：翘曲受阻 截面截面产生不均匀的正应力产生不均匀的正应力 杆的每一部分在纵杆的每一部分在纵向平面内各自产生弯曲。向平面内各自产生弯曲。实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构 自由扭转（开口）自由扭转（开口）横截面上的扭转剪应力横截面上的扭转剪应力沿壁厚按直线规律变化沿壁厚按直线规律变化max0 tttztzMIM中线处中线所形成的纵向曲面 （中曲面）内无剪切变形截面边缘处 达最大，且：截面的“纯扭矩”：壁厚4.2.3 自由扭转的剪应力自由扭转的剪应力实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算4.2.4 约束扭转的正应力约束扭转的正应力 可按符拉索夫理论分析计算，该理论的假定 杆件“中面上”无剪应变（为简化计算的假定）实际上，中面上 a:剪应力、剪应变均存在 b:均不大 c:假定的误差可接受31 3ttiiiiiIIhhii：抗扭惯性矩，若截面由若干狭长矩形 组成则：第 个矩形的高度 ：第 个矩形截面的宽度（壁厚）框筒受扭的近似计算框筒受扭的近似计算 扭转前后截面在与纵轴垂直的面上扭转前后截面在与纵轴垂直的面上投影不变投影不变 a.开口薄壁杆件的约束扭矩，截面周开口薄壁杆件的约束扭矩，截面周 边存在着变形边存在着变形;实际上实际上 b.此变形对计算结果的影响不大此变形对计算结果的影响不大;c.实际工程中，因楼板的横隔作用，实际工程中，因楼板的横隔作用，影响更小影响更小 实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构故此假定的误差很小故此假定的误差很小.112 :1 :snnnEEEErdswwrdswwwn 的表达式材料的弹性模量材料的泊松比某点的扇形面积或扇形坐标纵向位移分量数学上：积分常量物理上：弧长起算点 的纵向位移分量实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构rrS弧Sds 由主扇性坐标的几何由主扇性坐标的几何意义意义：薄壁筒体横截面：薄壁筒体横截面中线与连梁轴线所围成中线与连梁轴线所围成的闭合图形面积的的闭合图形面积的2倍。倍。112 :1 :snnnEEEErdswwrdswwwn 的表达式材料的弹性模量材料的泊松比某点的扇形面积或扇形坐标纵向位移分量数学上：积分常量物理上：弧长起算点 的纵向位移分量一阶一阶实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构:vvrzBI切向位移分量 扭转角对纵坐标 的二阶导数计算公式是一个自相平衡的力系，22:iiiAIdAdsI截面周边由直线段组成截面的主扇形惯性矩 截面上某点的扇形坐标实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构4.2.5 约束扭转正应力约束扭转正应力 所对应的内力所对应的内力2:AffBBdAMMhBkN m 双力矩定义大小相等两翼缘各产生方向相反令截面上的双力矩由引起，量纲：实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构双力矩的概念双力矩的概念4.2.6 4.2.6 弯曲扭转的剪应力弯曲扭转的剪应力 一方面：使杆件每一部分各自在纵向平面内弯曲，并产生约束扭转正应力另一方面：在横截面还产生弯曲扭转剪应力：,max tftttMIMGI纯扭转（前已述）约束扭转同时产生扭转角：弯曲扭转实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构1 oZtAdBMMMMdzEdA某横截面上：壁厚 方向：沿截面周边切向 大小：沿壁厚不变（薄壁）oMtdsoMZofM纯扭转纯扭转弯曲扭转弯曲扭转实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算 0 0 0BMz 固定端边界条件 0转角曲率根据另一端的边界条件确定未知 整个筒体所受的外力对z轴取矩为0的平衡确定条件实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构4.2.7 开口薄壁筒体约束扭转的边界条件开口薄壁筒体约束扭转的边界条件000 0:0 0 0 wZBBBM 自由端边界条件：未知该端无外力矩作用时该端有外力矩作用时扭转固定、弯曲简支的边界条件：0已知未知已知未知实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构 高层建筑中的薄壁筒体结构，一般开口位置在高层建筑中的薄壁筒体结构，一般开口位置在各层楼盖的标高处设有连续梁（即各楼层形成的门各层楼盖的标高处设有连续梁（即各楼层形成的门窗洞）窗洞）构成了带连梁的开口薄壁筒体结构：构成了带连梁的开口薄壁筒体结构：连梁的存在连梁的存在 、加强了薄壁筒体结构、加强了薄壁筒体结构 抵抗界面翘曲变形的能力抵抗界面翘曲变形的能力 、增加了筒体抵抗约束扭转、增加了筒体抵抗约束扭转 的刚度的刚度实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构4.3连梁和楼板对开口薄壁筒体约束扭转的影响连梁和楼板对开口薄壁筒体约束扭转的影响薄壁筒体横截面中线：一般由直线组成薄壁筒体横截面中线：一般由直线组成srds薄壁筒体横截面中及薄壁筒体横截面中及洞口附近的部分主扇洞口附近的部分主扇形坐标图形坐标图S为扭转中心为扭转中心 横截面中线为直线时，横截面中线为直线时，图也为直线所组成图也为直线所组成xy扭转中心Sfaa连梁ScdlSabbcm,ncbrdde实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构 由于截面翘曲 变形产生的纵向位ab和 cd段 连梁变形（由引起）nnwrdsww 翘曲产生的纵向位移因某点纵向位移分量：a、b、c、d四点由于横截面翘曲所产生的相对纵向位移（wn=0）,/aabbccccwwwwddz 式中 为转角 四竖向坐标的导数abwawbl/2bcdwcwdl/2Zc实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算对截面中线为直线的ab与cd：为常量，因此(,)iia b c di为 点的主扇性坐标bababababcdcdccdcdwwSSwwSS bc则连梁两端的转角与洞口边缘薄壁截面的转角相等则连梁两端的转角与洞口边缘薄壁截面的转角相等 cbbcgibc因此有因此有实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算连梁变形曲线的切线与连梁跨中竖线交与g、i 两切线相互平行（间距离相等），竖线位移：331212():bbbcbbbEIEIVlllI 连梁考虑剪切变形的折算惯性矩bc22()bcbcbcbcccllwwwwll 由筒体受约束扭转使连梁产生的剪力V为：cbbcgibc 切开m、n截面，将m、n点 的V均等效移至b、c处，则2281 bbbb bbcIIIA l连梁反弯点在梁中点bcbc点、V、M点、V、M()2bclMMV逆时针vvvvMcMbcnmbcbbcgibc实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算连梁对筒体的约束作用等效于在点连梁对筒体的约束作用等效于在点b b和和c c分别作用有分别作用有 V V（向上）（向上）M Mb b和和V(V(向下向下)、M MC C，有有:作用在截面上点作用在截面上点b b的向上力的向上力V V，引起截面产生，引起截面产生 （约束）双力矩（约束）双力矩B B1 1：作用在截面上点作用在截面上点c c的向下力的向下力V V所引起筒体截面所引起筒体截面产生（约束）双力矩产生（约束）双力矩B B22：在截面在截面b b点作用的集中力偶点作用的集中力偶M Mb b可用一对等值、可用一对等值、反向、相距为反向、相距为dsds的力的力M Mb b/ds/ds来代替。这一对集中来代替。这一对集中力所引起的（约束）双力矩为：力所引起的（约束）双力矩为：B B11=+V=+Vb bB B22=+V=+Vc c 实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构结结 论论同理，作用与同理，作用与c c点上的力偶点上的力偶McMc所引起的双力矩所引起的双力矩3()(=r)bbbbbbbbbMMBddsdsMddsdM rds 4cBM r Mb/dsMb/dsdsb 则连梁对筒体受扭的总约束作用，即所引起则连梁对筒体受扭的总约束作用，即所引起的全部约束双力矩为：的全部约束双力矩为：23412()()bicbcbiEIBBVrlrll 实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算 由主扇性坐标的几何意义由主扇性坐标的几何意义（c c-b b+rl+rl）=薄薄壁筒体横截面中线与连梁轴线所围成的闭合图形壁筒体横截面中线与连梁轴线所围成的闭合图形面积的面积的2 2倍。倍。rds21348blEIBACl rrS弧Sds2221333124812()()bbbcblnmEIEIEICrlAlll实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构 上式中上式中C C1 1为与结构有关的常数，为与结构有关的常数，M M的约束作用：相当于在每一个楼层的约束作用：相当于在每一个楼层 标高处外加标高处外加M M的集中力偶，的集中力偶，将沿高度连续化将沿高度连续化得筒体沿高度分布的得筒体沿高度分布的 附加外力偶矩附加外力偶矩m m。1wwdBMCdz 1MCmhh 则连梁对筒体的则连梁对筒体的约束作用所产生的约束作用所产生的相应相应弯曲扭转力矩：弯曲扭转力矩：实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算筒体结构筒体结构则考虑连梁对筒体的则考虑连梁对筒体的约束作用时的扭转角约束作用时的扭转角基本微分方程：基本微分方程：(4)11111tmkE ICGIhkE I 1Ch（不考虑扭转时连梁作用为（不考虑扭转时连梁作用为 ）故连梁的约束：等效于把筒体的纯扭转刚度增大了故连梁的约束：等效于把筒体的纯扭转刚度增大了(4)1tE IGIm 同理，可分析楼板对开口薄壁筒体的约束扭转的影响。作用：扭转刚度实腹筒体受扭的计算实腹筒体受扭的计算4.4 4.4 闭合薄壁截面筒体的约束扭转（略）闭合薄壁截面筒体的约束扭转（略）4.5 4.5 框筒化作等效实腹筒的结构分析框筒化作等效实腹筒的结构分析 超静定次数很高超静定次数很高若把框筒作为杆系结构若把框筒作为杆系结构 未知量很多未知量很多 计算量大计算量大 把每一面由梁、柱体系形成的框架转化为均匀的正把每一面由梁、柱体系形成的框架转化为均匀的正交异性板转化为闭合等效实腹筒。则分析弹性连续交异性板转化为闭合等效实腹筒。则分析弹性连续体的多种结构均可分析这种等效实腹筒。体的多种结构均可分析这种等效实腹筒。框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构4.5.1 4.5.1 等效实腹筒的特征等效实腹筒的特征 由于楼板在自身平面内刚度很大，能约束壁由于楼板在自身平面内刚度很大，能约束壁板平面外的变形。因此，只需考虑每一壁板在平板平面外的变形。因此，只需考虑每一壁板在平面内的作用（近似）。面内的作用（近似）。框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构等效的正交异性板的力学特征等效的正交异性板的力学特征确定原则确定原则 在竖直方向的弹性模量应能代表柱的轴向刚度在竖直方向的弹性模量应能代表柱的轴向刚度 剪变模量应能代表框架的剪切刚度剪变模量应能代表框架的剪切刚度条件条件：若层高相等，柱距均匀，梁和柱截面尺寸不变：若层高相等，柱距均匀，梁和柱截面尺寸不变结论结论:等效板的竖向弹性模量等效板的竖向弹性模量zzAEdE dEAEttzE 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构等效板的剪变模量等效板的剪变模量见下图：见下图：根据框架和等效板受到相等剪力根据框架和等效板受到相等剪力V时，时，两者具有等值的水平位移的条件确定（可两者具有等值的水平位移的条件确定（可参考梁启智），得一个梁柱单元的参考梁启智），得一个梁柱单元的GA，:,zAtdEAtEEt单根柱截面面积 等效板厚 柱中距（中至中）材料弹性模量若取等效板厚则 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构VIb1b2Id/212d/22th/2h/2t1cAIcdd12d=(d+d)/212tV 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒考虑梁、柱单元的弯曲变形和剪切变形考虑梁、柱单元的弯曲变形和剪切变形（同时考虑有限结点的剪切变形）（同时考虑有限结点的剪切变形）得：得：板的等效剪变模量板的等效剪变模量Gxz：筒体结构筒体结构332112222122 1212 1xzxzxzcbbcjEGtdChth dth dtEChId IGd AhthtthAA tdh系数 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒 Ab 梁横截面面积梁横截面面积 Aj 有限结点的截面面积有限结点的截面面积筒体结构筒体结构4.5.2 4.5.2 水平荷载作用下的内力计算水平荷载作用下的内力计算 如果结构对如果结构对oxzoxz和和 oyzoyz两个竖平面对称，则两个竖平面对称，则 在跟荷载方向平行在跟荷载方向平行的两个侧面板上同点处的两个侧面板上同点处应力状态是相同的；应力状态是相同的；在跟荷载方向垂直的在跟荷载方向垂直的两个法向面板上，应力两个法向面板上，应力等值而反向。等值而反向。2c2bzxxzHzyyzxyzop(x)框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构由弹性力学可知由弹性力学可知0000yzyzxzxzyzyzxzxzyzxz法向面板上（与p(x)）平衡方程侧向面板上 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构n在法向面板中，由于剪力滞后的影响，竖向应在法向面板中，由于剪力滞后的影响，竖向应力力z z呈：两头大、中间小：呈：两头大、中间小：可假设用对可假设用对oxzoxz竖平面对称的竖平面对称的y y的二次抛物线分布来表示：的二次抛物线分布来表示：20 zM zyCSzS zIb 初等梁理论；初等梁理论；是对是对的修正的修正 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒M M：外荷载的：外荷载的 悬臂弯矩；悬臂弯矩；I I：等效实腹筒的：等效实腹筒的 截面惯性矩。截面惯性矩。筒体结构筒体结构I:I:等效实腹筒的截面惯性矩等效实腹筒的截面惯性矩 233222423234(3)3112(2)(22)(22)12124(33334)3cItcbcIbcbtctbc tbctbtAtcc tctA Ac c:角柱（除去均匀布置部分的）附加加强部分角柱（除去均匀布置部分的）附加加强部分的截面之和。的截面之和。框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构n在侧向面板中竖向应力在侧向面板中竖向应力 对竖平面对竖平面oyzoyz反对称，可假设用对坐标反对称，可假设用对坐标x x反对称反对称的的x x三次曲线来表示：三次曲线来表示：31()()()zM xxxS zIc初等梁初等梁理论项理论项 修正项修正项 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构c 为角柱中的轴向应力为角柱中的轴向应力n在任意高度处，横在任意高度处，横截面上应力所形成截面上应力所形成的弯矩应等于外荷的弯矩应等于外荷载的悬臂弯矩。载的悬臂弯矩。224()bczzccbctcdytxdxA cM z两块法向两块法向面板贡献面板贡献 两块侧向两块侧向贡献面板贡献面板 角柱贡献角柱贡献2c2bzxxzHzyyzxyzop(x)利用相容条件，边界条件和平衡条件n相容条件：在在角隅处角隅处两向面板两向面板的竖向应力相容的竖向应力相容:（z高度处）高度处）(,)(,)zzcb zc zEEE 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构n当当x=c时时n当当x=-c时时n当当y=b时时22()122xP xd Mtt dz 0 x0y()xzx zyzy bcccctdztdzdzAz 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构n角柱处的角柱处的 平衡条件平衡条件（竖向微段）（竖向微段）ccxzx zyzy bAtz即n剪应力剪应力 对对oxz竖平面呈反对称竖平面呈反对称n两等效侧面板各承受外荷载悬臂剪力的一半。两等效侧面板各承受外荷载悬臂剪力的一半。n由于楼板在自身平面内刚度很大，可以近似地认由于楼板在自身平面内刚度很大，可以近似地认为水平应变为为水平应变为0231 31131(1)3zzcMycmSIbMxxmSIcMcm SI 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构可得各种应力值可得各种应力值的计算表达式：的计算表达式：三个方程三个方程22422222223232212(21)2121321212()(1)()2331(1)()320yyzccxb cyd Mbyyd SmmIbdzbbdzc dMydSymI dzbdzAAcbbxxd MIcctccttcdzcxmc 252234()2211(1 3)()24 55315/55/cxzccxd ScdzAcbxdMcxdSmIcctcdzcdzbcAtmbcAt四四个个方方程程上述上述7个应力计算表达式是基于个应力计算表达式是基于平衡方程平衡方程和和平衡条件平衡条件结合边界条件确定的结合边界条件确定的 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒224()bczzccbctcdytxdxA cM z0000yzyzxzxzyzyzxzxzyzxz法向面板上（与p(x)）平衡方程侧向面板上筒体结构筒体结构平衡方程平衡方程平衡条件平衡条件另：根据最小功原理（应变能极小）可得函数S（z）的控制微分方程：k，为与G,E,H,b,c,t,Ac,m有关的常数 A.B为积分常量，可由边界条件确定222222()bd SKdSdzHdzbMcI()()S zAch kbsh kS（）（）zH筒按悬臂梁计算法向面板的竖向正应力全解为：与已知荷载有关的特解筒体结构筒体结构 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒另：对倒三角，均匀荷载，顶部集中力的特解另：对倒三角，均匀荷载，顶部集中力的特解及全解及全解 可参考梁启智可参考梁启智高层结构设计高层结构设计此处略此处略()S()S,zzyzxz 设计中比较重要的四个应力分量注：有关参考书上给出其计算的图表，可查用2 0(0)0 0bZSdSdZHdzdz（若底端固定，筒顶自由则：顶端 处底端处 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构4.5.3水平荷载作用下的位移计算水平荷载作用下的位移计算 根据4.5.2中已求得的等效实腹筒体的应力，可以推求筒体结构的位移。框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构1）框筒在xoz平面内受水平均布荷载p（z）情况1()()0()()0zzxzxzz Hz HwzEwuxzGw zw Hu zu 边界条件 为侧面板上的点为侧面板上的点沿沿z方向的位移；方向的位移；u为沿为沿x轴方向的轴方向的位移。位移。p 侧面板的应力应变位移关系侧面板的应力应变位移关系xzo可分别得出w和u的计算表达式（此略）同理，倒三角、顶点集中力作用下可求。1()0zzz HwwzHHw z边界条件p 法向面板的应力应变位移关系法向面板的应力应变位移关系 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构4.5.44.5.4扭转荷载作用下的内力扭转荷载作用下的内力等效实腹筒在扭矩Mz作用下 假设剪应力xzyz用对x和y轴对称的二次抛物线分布来表示212234 (1,2,3,4)zxzyzidrxdrdzcdzdrydrdzbdzr i 仅是坐标 的函数2c2bzxxzHzyyzxyzoBACDMz 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构12 cxzcbyzbStdxABCDStdyBCAD令和面上的剪力和面上的剪力则在任意高度处，截面上的剪应力形成的扭矩应等于Mz1222zbScSM进一步（上述等式）得：式中：为等效实腹闭合截面筒体自由扭转时得剪应力 ()8zsMzbct13141()2()3sdrdrdrdrzdzdzdzdz 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒平衡条件平衡条件 筒体结构筒体结构3321124224002()(0)2()(0),()()(0)(0)yzzxzyzxzzyzzxzzyzxzdzy r zrybDdzx r zrxcxc ybbr zr zrrc 前已讲，平衡方程并利用的表达式（二次）代入相容条件如角柱则：得 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构1234422222222221()(32)()31()(322)()32(0)2(0),xzsyzszzdrdrdrdrAcdrdzdzdzdztbdzxdrznmcdzydrznmmbdzyrrbcxrrcbAcmncct 将上式代入平衡方程得转化推演得式中 框筒化作等效实腹筒框筒化作等效实腹筒筒体结构筒体结构