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321FFF333223211FVFFVFFFV与前面的计算结果很接近阐明底部剪力法的计算结果是可靠的。36 构造自振周期和振型的计算 做一个建筑物的抗震设计，首先要求这个构造的自振周期，假设采用振型分解反响谱法，还要用到振型。如何求得构造的自振周期和振型。手算方法近似计算 计算机算法较准确算法 根本周期 多个周期及振型一、能量法(Rayleigh method)nm1mmi实际根底：能量守恒原理实际根底：能量守恒原理 无阻尼自在振动时无阻尼自在振动时 动能动能+变形位能变形位能 不变不变(常量常量)构造以某频率相应振型振动时构造以某频率相应振型振动时位移位移 tsinx)t(xjjj其中其中 为相应频率为相应频率 的振型的振型 jxj速度速度)tcos(x)t(xjjjj那么那么 体系变形位能到达最大值体系变形位能到达最大值 0221maxUxMxTjTjj体系的动能到达最大值体系的动能到达最大值 021maxTxkxUjTj变形位能为零动能为零能量守恒能量守恒 jTjjTjxMxxkxjUT2maxmax可求得可求得 j、j 是哪一个自振频率，看振型。是哪一个自振频率，看振型。振型是未知的。适用算法，假定振型。振型是未知的。适用算法，假定振型。nG2G1G将质点的分量程度作用在质点上，求出相应的变形将质点的分量程度作用在质点上，求出相应的变形nuuu21、nuuux21根据此振型可求得自振频根据此振型可求得自振频率率由于由于gmGii体系最大变形位能体系最大变形位能niiiniiimaxumguGU112121体系最大动能体系最大动能niiiniiimaxum)u(mT12211212121niiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiniiiuGuGumumumgumTumumgTU112112112111211maxmax2222例例 求两层框架的根本周期能量法求两层框架的根本周期能量法如图，如图，G1=400KN G2=300KN K1=14280KN/m K2=10720KN/m 1求层间剪力求层间剪力G1、G2 作用下作用下 首层剪力首层剪力 二层剪力二层剪力 2计算层位移计算层位移 3计算根本周期计算根本周期sTuGuGuGuG508.0222112222111G1K2G2K1KNV7003004001KNV3002mKVuumKVu077.010720/300049.0/049.014280/700/2212111例例 如图为三层框架构造，假定其横梁刚度无穷大。各层质量分如图为三层框架构造，假定其横梁刚度无穷大。各层质量分别为别为m1=2561t,m2=2545t,m3=559t.各层刚度分别为各层刚度分别为k1=5.43105 KN/m,k2=9.03105KN/m,k3=8.23105KN/m。用能量。用能量法求根本周期和振型法求根本周期和振型解解 1求重力荷载程度作用下的位移求重力荷载程度作用下的位移层间剪力层间剪力ggmVggmgmVggmgmgmV55931045665333223211各层位移各层位移mggKVuumggKVuumggKVu45433234542212451111049.1451023.8/5591070.138/1070.1381003.9/31041033.104/1033.1041043.5/5665/k1k2k32构造根本频率及振型构造根本频率及振型sradumumumumumumg/89.8)(233222133221121000.1953.0717.01049.14570.13833.1044131211gXXX为提高精度，可进一步迭代。各质点的惯性力为提高精度，可进一步迭代。各质点的惯性力212113321321211222122121111211559000.15592425953.025451836717.02561XmIXmIXmI各层位移各层位移mKIuKVuumKIIuKVuumKIIIKVu42152142133233234215214212321221242152113211111093.1291023.8/5591014.123/1014.1231003.9/)2545559(1077.88/)(/1077.881043.5/4820/)(/二、折算质量法二、折算质量法 也是一种近似方法，也只是求根本频率也是一种近似方法，也只是求根本频率 体系以第一频率振型振动时体系以第一频率振型振动时 动能最大值动能最大值 原体系原体系 等效体系等效体系2121max12121max)()(nEqniiixMTxmTMeqmi两者相等两者相等sradumuIniiniiii/85.8)10)(93.12955914.123254577.882561(10)93.12955914.123242577.881836(/24212224411211212nniiixxmeqM 那么 基频eqM11 单位力程度作用下顶点位移121T 顶点作用单位力时各质点的程度位移。nixxxx,.,.,21F=1xi等效质量法等效质量法频率相等，得频率相等，得imeMiikjjkNoImageejjiiimkmkiijjiekkmm 对于多个质量，有对于多个质量，有niiiijjekmkm1于是，有于是，有niiniiiikm121211即即Dunkeley公式。可以证明，得出的结果小于真实频率。公式。可以证明，得出的结果小于真实频率。例例 用折算质量法求自振周期根本周期用折算质量法求自振周期根本周期 21GG21kkeqMkNF 1在顶部施加单位力，在顶部施加单位力，得得425110633.11000.7211kFkFkFxmxtMxxmeqniii11.382212sMTxeq496.010633.111.382210633.14142能量法瑞雷法能量法瑞雷法0.508s 非常接近。非常接近。折算质量法还适用于延续体系lmqgmmxeqMy)(yxEIqlxm84gmq lmEIqldyyxmMyllyyEIqyxleq25.0)8()()64(24)(24022234将一个均匀分布的质量换算成一个集将一个均匀分布的质量换算成一个集中质量来求其自振周期，中质量来求其自振周期，0.250.25为换为换算系数。算系数。三、顶点位移法三、顶点位移法 也是最常用的阅历方法之一手算法，将重力荷载程度方向也是最常用的阅历方法之一手算法，将重力荷载程度方向作用，求出顶点位移就可以近似地估算出构造的自振周期。作用，求出顶点位移就可以近似地估算出构造的自振周期。12GGGngmTuTu弯曲变形弯曲变形剪切变形剪切变形弯剪变形弯剪变形TTTu.Tu.Tu.T718161111Tu将重力荷载程度作用在构造上，顶点位移四、矩阵迭代法四、矩阵迭代法 也是一种手算方法，可求频率和振型，也是一种手算方法，可求频率和振型，Stodola法法 xMxkxMk220 xMxxMkxk2121方程的左边有方程的左边有 ，右边有，右边有 x x 假定一个振型规范化的振型3432243243211432111xxxxxxxxxxxxx求出规范化 可求得构造的第一振型 nnxxxMxxx:1:132232共有共有n n个方程，恣意拿出一个方程都可求得第一频率个方程，恣意拿出一个方程都可求得第一频率 。1 xkMxxMxk1122也可求出振型及也可求出振型及 ，但求得的是最高频率和振型。，但求得的是最高频率和振型。另外 求出基频及振型后，还可求出高阶频率利用振型的正交性。以一个例子来阐明123mmm123kkk求自振频率和振型求自振频率和振型1求柔度矩阵及质量矩阵求柔度矩阵及质量矩阵mknkmknkmknktmtmtm/1023.8,/1003.9,/1043.5559,2545,2561535251321knmkkkknmkkknmk/1016.4/1/1/1/1095.2/1/1/1084.1/1632133621232261131211 16.495.284.195.295.284.184.184.184.110655900025450002561M2求第一振型求第一振型假定假定 将将 作为规范化的规范作为规范化的规范111131211xxx13x 000.1953.0716.0101455145513871042101115592545256116.495.284.195.295.284.184.184.184.11052152162113121121)1(131211xxxMxxx 000.1948.0690.01012851285121888710000.1953.0716.05592545256116.495.284.195.295.284.184.184.184.11052152162113121121)2(131211xxxMxxx 000.1947.0687.01012691269120287210000.1948.0690.05592545256116.495.284.195.295.284.184.184.184.11052152162113121121)3(131211xxxMxxx0001947068701312111。于是，第一振型xxxX000.1947.0687.0101269000.1947.0687.0521sTsrad708.02/88.81112求第二振型求第二振型23222122232221xxxMxxx 021xMxT055900025450002561000.1947.0687.0232221xxxT展开055924101759232221xxx222123311.4147.3xxx22212221622232221622232221311.4147.35592545256116.495.284.195.295.284.184.184.184.1105592545256116.495.284.195.295.284.184.184.184.110 xxxxxxxxxx22216222221399477249147510 xxxx假定122221xx967.1311.41470.3/2.2719.7401351101000.1995.1135110000.1995.1000.1995.113511022212326226226222221xxxsradxx0001501001419671000199512。于是，第二振型X (3)求第三振型 利用振型的正交性，有0000.1947.0687.055900025450002561333231Txxx0000.15010014155900025450002561333231。Txxx333233312864007460 xxxx。0001286007501312111。于是，第三振型xxxX sTsradM134.0/443000.1286.0075.00001286007503323。五、雅可比法五、雅可比法JacobiJacobi 计算机方法计算机方法 务虚对称矩阵的特征值和特征向量的有效方法务虚对称矩阵的特征值和特征向量的有效方法 xxPxxkMxMxkxMk221220 AxxA实数 对称不能保证 P将将 ZZBMkMBZZMkMZMZMkZMxxMZxMMxkMMM2112112112令令于是，令于是，令那么实数对称矩阵实数对称矩阵:B 雅可比法的原理：知实对称，构造一个正交矩阵 SDDSBST正交矩阵，s的第j 列就是第 j个特征值对应的特征向量iindd.dd0000021 nnnnqnqqqpqpnpqppnnbbbbbbbbbbbbbbbbB2112222111211对角矩阵关键问题是找到正交矩阵s构造一个正交矩阵 10010010010010cossinsincosRP列 q列P行q行 1001BRBRBT中 mkpqqqpppqqqppqppqR.RRSRb/)bb(ctg)sin(cosbcossin)bb(bb2122220消掉一个非对角元素求全部特征值和特征向量高层%110508o 规范规定：8、9度 大跨构造，长悬臂构造、烟囱和挺拔构造 9度 高层建筑 思索竖向地震作用 如何思索，抗震规范根据不同的构造类型采用不同的计算方法1、高层与挺拔构造 采用反响谱法 构造总的竖向地震作用规范值eqVEVKGFmaxiviFEVKF竖向地震影响系数的最大值 取程度地震影响系数最大值的65%maxmax65.0V 构造等效重力荷载，取总重力荷载代表值的75%。eqGNoImage3、长悬臂和其它大跨度结构 竖向地震作用iVioiVioGFGF2.091.08质量和刚度分布不对称，此时，抗震规范规定应思索程度地震作用质量和刚度分布不对称，此时，抗震规范规定应思索程度地震作用产生的改动影响。产生的改动影响。依然是三个步骤：依然是三个步骤：1自在振动分析求出自振频率和振型自在振动分析求出自振频率和振型 此时平移和改动耦联。此时平移和改动耦联。2计算各振型地震作用规范值，地震作用效应计算各振型地震作用规范值，地震作用效应 3各振型地震作用效应的组合各振型地震作用效应的组合一、平移一、平移改动耦联体系的自在振动改动耦联体系的自在振动 根本假定根本假定 1楼板在其本身平面内绝对刚性，平面外刚度很小，忽略不计楼板在其本身平面内绝对刚性，平面外刚度很小，忽略不计2各榀抗侧力构造框架或剪力墙等在其本身平面内有刚度，各榀抗侧力构造框架或剪力墙等在其本身平面内有刚度，平面外刚度忽略不计平面外刚度忽略不计 3一切构件都不思索本身的抗扭作用一切构件都不思索本身的抗扭作用 4在计算中，将质量都集中到各层的楼板处在计算中，将质量都集中到各层的楼板处尽量对称，尽量使刚度、质量分布均匀、对称。有时需求立面复杂，尽量对称，尽量使刚度、质量分布均匀、对称。有时需求立面复杂，37 37 建筑构造的改动地震效应建筑构造的改动地震效应一、刚心和质心一、刚心和质心图示一房屋的平面图图示一房屋的平面图刚度中心刚度中心1yk2ykyjkynkxik1xkxnkxyo抗侧力构件cynjyjnjjyjckxkx11njxjnjjxjckxky11cx还有一个质量中心还有一个质量中心 ，假设，假设刚度中心、质量中心不重合，即刚度中心、质量中心不重合，即存在偏心矩存在偏心矩mmyxmxmymcymcxyyexxe二、单层偏心构造的振动二、单层偏心构造的振动1yk2ykyjkynkxomxmyy取质量中心为坐标原点取质量中心为坐标原点，质心在，质心在x x方向、方向、y y方向方向的位移及绕质心的转角的位移及绕质心的转角分别为分别为ux uyux uy和和 以以逆时针旋转为正那么逆时针旋转为正那么 x x方向第方向第i i榀抗侧力构件榀抗侧力构件沿沿x x方向位移方向位移ixxiyuu同理同理,y,y方向第方向第j j榀抗侧榀抗侧力构件沿力构件沿y y方向位移方向位移jyyixuu根据达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理,的的运动方程运动方程:0)()()()(00jjjyyjiiixxiyjjyyjyxiixxixxxukyyukJumxukumumyukum 写成矩阵方式写成矩阵方式,得得00000000000000000yxyxyxyyyxxxyxuuJmmuukkkkkkkuuJmm 集中于屋盖的总质量屋盖绕z轴的转动惯量屋盖在x方向的平移刚度屋盖在y方向的平移刚度屋盖的抗扭刚度jjyjyyiixixxjjyjiixijxjxxixixxxkkkykkkxkykkkkkkJm22由于坐标原点在质量中心，于是有由于坐标原点在质量中心，于是有那么那么ycxceyexjyyxjyjyyixxyixixxkexkkkkeykkk注：=1时x方向弹性恢复力的合力。Rxi=kxixi=kxi yi=kxixi于是，振动方程为于是，振动方程为00000000000000000yxyxyyxxxyyyxyyxxyxxyxuuJmmuukkekekekkekuuJmm 体系的自在振动方程体系的自在振动方程00000000000yxyyxxxyyyxyyxxyxxyxuukkekekekkekuuJmm 自振频率和振型自振频率和振型0000 xxxyxxyxxxukkekekuJm 以一简单情形为例，即以一简单情形为例，即只存在只存在y y方向偏心方向偏心,振动振动方程为方程为oXY令)sin(tXux代入到振动方程，得代入到振动方程，得0022XJkkekemkxxyxxyxx022Jkkekemkxxyxxyxx令令mJrJkmkxxx222将上式展开，得将上式展开，得0)()(422222224xyxxre解得解得422222222242222222212222xyxxxyxxrere得第一振型得第一振型yxeX21)/(11yxeX22)/(11得第二振型得第二振型 构造在平移改动振动中，每个楼层有三个自在度两个平移和一个转角。坐标原点设在每层楼板的质量中心，由于各层的的质心不在同不断线上，所以坐标轴为一折线见图328 自在振动方程 其中 为质量矩阵 阶对角阵 0DkDM Mnn 33 nnnJJJmmmmmmM00000000000212121三、多层偏心构造的地震作用三、多层偏心构造的地震作用 k刚度矩阵刚度矩阵 kkkkkkkkTyTxyyyxxx00共共 榀榀ynxyj榀榀xn:121212nnnyyyxxxD其中：其中：方向平移方向平移楼板转角iiiyyxx ynjjxxxkk1平行于平行于 x轴方向的各榀构造轴方向的各榀构造的刚度矩阵之和的刚度矩阵之和jxk平行于平行于x 轴第轴第j 榀榀构造的刚度矩阵构造的刚度矩阵 jniyyyxkk1平行于平行于y轴的各榀构造的轴的各榀构造的刚度矩阵之和刚度矩阵之和 iyk平行于平行于 y轴第轴第 i榀构造的刚度榀构造的刚度矩阵矩阵 ynjjjxxykk1njljjjjyyyyy0021平行于平行于 x x轴的第轴的第j j榀构造榀构造的的l l层的层的y y方向坐标方向坐标ljljxy jnjjyyxkkx1 njljjjjxxxxx0021平行于平行于 y轴的第轴的第 j榀构造的榀构造的 l层的层的x方向的坐标方向的坐标xynrrryTrnjjjxTjxkxykyk11 令 tDnnnyyyxxxsin:121212:121212jnjjjnjjjnjjyyyxxx 代入自在振动方程，利用前面讲过的方法可求得自振周期和振型nnjTTTT.2121 nDDD,.,21 平移-改动的振型参与系数 当仅思索 x方向地震时tjriniijijijiniijitjGryxGxr122221/当仅思索 y方向地震时iniijijijiniijitjGryxGyr122221/jjijijiry,x 第 j振型 i层质心在 x、y方向的程度相对位移 j振型 i层的改动角 j层转动半径iiimrJ2 思索改动影响的程度地震作用思索改动影响的程度地震作用 于是可求得于是可求得 j振型的地震作用振型的地震作用 第第 i层的地震作用层的地震作用ijitjjxjiGxFijitjjyjiGyFijiitjjtjiGrF2第 j振型的程度地震影响系数，由 在反响谱上求得。jjT 第 j振型地震作用效应也就求出来了。三、振型组合 前面讲过地震作用效应的组合方法 SRSS(the square root of the sum of the squares)方法 各振型独立振动，互不相关，且各频率相差比较大。现实上，各个振型有一定的耦连，特别是比较接近的频率，对应的振型之间有一定的耦联作用。现行规范思索了这种耦联作用，采用如下的组合方法。CQC(complete quadratic combination)法 j振型、k振型的耦联络数,j、k为j、k振型的阻尼比。组合普通取 915个振型TTkjTTTkjjkmjmkkjjkSSS2225.1)1(4)1()1(811jkjkTTT假设阻尼比采用假设阻尼比采用0.050.05，那，那么么TTTTTjk2225.1)1(01.0)1()1(02.0当思索双向程度地震作用的改动效应时，根据强震记录分析结果，当思索双向程度地震作用的改动效应时，根据强震记录分析结果，两个方向的程度地震加速度不相等，大约两个方向的程度地震加速度不相等，大约1 1：0.850.85，且不在同一时，且不在同一时间发生。因此，须按平方和开平方的方法确定，即间发生。因此，须按平方和开平方的方法确定，即2222)85.0()85.0(xyEKyxEKsssssssxsx、sysy分别为分别为x x、y y方向的程度地震作用效应。取以上两式中的方向的程度地震作用效应。取以上两式中的较大者。对于规那么构造，当不按改动计算时，思索到施工、较大者。对于规那么构造，当不按改动计算时，思索到施工、运用等偶尔偏心以及地面运动改动分量，规范规定：对于平行运用等偶尔偏心以及地面运动改动分量，规范规定：对于平行于地震作用方向的两个边榀的地震作用效应短边乘以增大系数于地震作用方向的两个边榀的地震作用效应短边乘以增大系数1.15,1.15,长边乘以增大系数长边乘以增大系数1.051.05。当各振型的自振周期相差较大时，这种组合方法与前面的组合方法当各振型的自振周期相差较大时，这种组合方法与前面的组合方法给出非常接近的结果。给出非常接近的结果。38 地基与上部构造相互作用的影响地基与上部构造相互作用的影响 在确定构造的地震作用时，总是假定地基在确定构造的地震作用时，总是假定地基 是刚性的，现实上地基总是有变形的。是刚性的，现实上地基总是有变形的。以自在场的地震记录作为地震输入，以自在场的地震记录作为地震输入，这样做并不合理。这样做并不合理。刚性地基自在地基)(txg)(txg)(txg 假设发生地震假设发生地震构造对场地的地面运动有影响构造对场地的地面运动有影响刚性 普通地基内力 地基的变形对构造的变形 反响有影响 由于构造物的存在，地面的运动发生了变化，由于地基的非刚由于构造物的存在，地面的运动发生了变化，由于地基的非刚性，构造的反响发生了变化，这就是地基与上部构造的相互作性，构造的反响发生了变化，这就是地基与上部构造的相互作用。用。抗震规范规定：抗震验算时，普通可不思索地基与构造的抗震规范规定：抗震验算时，普通可不思索地基与构造的相互作用，但对于相互作用，但对于、类场地类场地 采用刚性较大的根底箱、筏采用刚性较大的根底箱、筏基的高层建筑时，且设防烈度为基的高层建筑时，且设防烈度为8度和度和9度时，可将刚性假定度时，可将刚性假定所得的计算结果予以折减。规范规定对于高宽比小于所得的计算结果予以折减。规范规定对于高宽比小于3的构造，的构造，各楼层的地震剪力折减系数各楼层的地震剪力折减系数9.011TTTTT1按刚性地基假定计算时构造的根本周期按刚性地基假定计算时构造的根本周期计入地基与构造动力相互作用的附加周期，按计入地基与构造动力相互作用的附加周期，按下表采用下表采用烈度场地类别类类80.080.2090.100.25表3-7高宽比大于高宽比大于3 3的构造的构造,思索高振型的影响思索高振型的影响,顶部的地震力不折顶部的地震力不折减，底部按上式计算，中间层，用内插法确定。减，底部按上式计算，中间层，用内插法确定。39 构造竖向地震作用 震害阐明，高烈度区烟囱出现掉头破坏，顶部出现环形裂痕。唐山地震 唐山市路南区 度 砖烟囱全部掉头、破坏倒塌 这是由于竖向地震作用呵斥的。有的时候，竖向地震作用不能忽视GENN竖向地震荷载产生的内力竖向地震荷载产生的内力自重产生的内力自重产生的内力烟囱烟囱 能够超越能够超越1电视塔电视塔 可达可达%ooo89%90508高层%110508o 规范规定：8、9度 大跨构造，长悬臂构造、烟囱和挺拔构造 9度 高层建筑 思索竖向地震作用 如何思索，抗震规范根据不同的构造类型采用不同的计算方法1、高层与挺拔构造 采用反响谱法 构造总的竖向地震作用规范值eqVEVKGFmaxiviFEVKF竖向地震影响系数的最大值竖向地震影响系数的最大值 取程度地震影响系数最大值的取程度地震影响系数最大值的65%maxmax65.0V 构造等效重力荷载，取总重力荷载代表值的75%。eqG每层的地震作用标准值每层的地震作用标准值可以看出可以看出不用计算不用计算竖向自振周期竖向自振周期和底部剪力法的计算公式完全一样和底部剪力法的计算公式完全一样2 2、平板网架和大跨度屋架结构、平板网架和大跨度屋架结构大跨度屋架结构大跨度屋架结构（跨度24m)抗震规范规定抗震规范规定竖向地震作用的标准值竖向地震作用的标准值重力荷载的代表值重力荷载的代表值竖向地震作用系数竖向地震作用系数EVKHGHGviFFniiiii1vTiiViGGF查表，与查表，与烈度、场地条件、结构类型等因素有关烈度、场地条件、结构类型等因素有关。3、长悬臂和其它大跨度结构长悬臂和其它大跨度结构竖向地震作用竖向地震作用iVioiVioGFGF2.091.08
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