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题型一题型一 求数值型矩阵的逆矩阵求数值型矩阵的逆矩阵基本方法有：基本方法有：1.1.定义法：设定义法：设A A的逆矩阵为的逆矩阵为X X，由，由AX=EAX=E（或（或XA=EXA=E），求出），求出X X即可。即可。2.2.公式法：公式法：3.3.初等变换法：初等变换法：AAA11)()(1AEEA4.4.分块求逆法：若分块求逆法：若A A能分成以下类型之一时能分成以下类型之一时00,0,0,0021122221112212112211AAAAAAAAAA当当A11，A22可逆时，可用分块求逆公式进行计算可逆时，可用分块求逆公式进行计算例例1.设设A1，A2分别为分别为m,n阶矩阵，试求阶矩阵，试求的逆矩阵。的逆矩阵。4321AAAAA解：43211-XXXXA令得nmEXAXAXAXAXAXAEXAXA442342213413321100则1314211)(AAAAX1211342112)(AAAAAAX1314213143)(AAAAAAX1211344)(AAAAX即1211341314213141211342111314211)()()()(AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA例例2.设设A，B，A+B都是可逆矩阵，试求：（都是可逆矩阵，试求：（A-1+B-1）-1。解：（1）A-1+B-1=B-1（BA-1+E）=B-1（BA-1+AA-1）=B-1（A+B）A-1（2）（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A题型二题型二 A为抽象矩阵，讨论为抽象矩阵，讨论A的可逆性的可逆性1.1.证明证明A A可逆的方法可逆的方法（1）把已知矩阵等式写为AB=C的形式，AB=AB=C0知A0，从而可逆；（2）证明AX=0只有零解，则A0，从而可逆；（3）证明的特征值全不为零即可。2.2.证明证明A A不可逆的方法不可逆的方法（1）反证法，假设A可逆，再在等式两边乘以A-1，导出矛盾；（2）直接计算A=0；（3）证明A有零的特征值；（4）证明AX=0只有非零解，则A不可逆。例例1.设设n阶矩阵阶矩阵A满足关系式满足关系式A3+A2-A-E=0，证明，证明A可逆，并可逆，并求求A-1。解：由A A3 3+A+A2 2-A-E=0-A-E=0可得可得A A（A A2 2-A-E-A-E）=E=E从而 A A（A A2 2-A-E-A-E）=（A A2 2-A-E-A-E）A=1于是A0，故A可逆，且A-1=A A2 2-A-E-A-E例例2.设设A，B为为n阶矩阵，且阶矩阵，且E-AB可逆，证明可逆，证明E-BA可逆。可逆。解：用反证法设E-AB不可逆，则存在X00，使（E-AB）X=0=0即 X=BAXX=BAX 于是 AX=ABAXAX=ABAX，令Y=AXY=AX，则Y0Y0，否则若 Y=0Y=0，则有 X=BAX=BY=0X=BAX=BY=0，这与X00矛盾，从而有 Y=ABY,Y 0Y=ABY,Y 0即即 （E-AB）Y=0,Y 0=0,Y 0这与E-AB可逆矛盾，故E-AB不可逆题型三题型三 考查矩阵运算的特殊性考查矩阵运算的特殊性矩阵运算不满足交换律矩阵运算不满足交换律ABBA，涉，涉及到两个矩阵是否可交换，一般联想及到两个矩阵是否可交换，一般联想到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结合律：合律：A(BC)=(AB)C，巧妙地运用结，巧妙地运用结合律往往可以简化计算合律往往可以简化计算。例例1.设设A，B，C均为均为n阶矩阵，阶矩阵，E为为n阶单位矩阵，若阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则，则B-C为？为？解：由解：由B=E+AB，C=A+CA，知，知 （E-A）B=E，C（E-A）=A，可见，可见，E-A与与B互为逆矩阵，于是互为逆矩阵，于是B（E-A）=E,从而有从而有 （B-C）（）（E-A）=E-A，而而 E-A可逆，故可逆，故B-C=E。例2.解：.AAA333222111A10042，求设3332221116A6PQ(QP)(QP)QP(QP)(QP)PQPQPQAA636A6A6AAAA6A6PQQQPPPQPQA6321111QPPQA111Q321P111321333222111A999999100222242）（于是，则，令因为题型四题型四 解矩阵方程解矩阵方程（1）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先化简，再计算。化简，再计算。（2）矩阵方程的基本形式有：）矩阵方程的基本形式有：AX=B，XA=B，AXB=C，若若A为可逆矩阵时，其解分别为为可逆矩阵时，其解分别为X=A-1B，X=BA-1以及以及X=A-1CB-1（这里要求（这里要求B可逆）。可逆）。（3）当）当A不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组。例1。的伴随矩阵，求矩阵是其中，满足，矩阵设矩阵XAA2XAXAX11-1111-1-11A1-解：（若先计算出方程中的 及A-1，然后再解方程求X，则计算过程会十分复杂，为了避免求 及A-1，可用公式在等式两边同时左乘矩阵A进行化简。）A,EAAAAA解：2AXAAXAAA-1，得两边同乘1-2A-EAXEX2A-EA2AXEXAEAAA）（，从而有）（即，上式化为利用公式.10111001141111-1-1111-121X111-1-1111-122A-EA411-1111-1-11A1-故，由于例1。的伴随矩阵，试求为为单位矩阵，其中满足设矩阵BAAE10002-0001A8E-2BABAABA,8E-2ABBA8AA-2ABAABAAAAAAEAAA1-1-1-1即得，再分别右乘，等式两边分别左乘利用公式.20004-000240002-00048EA-2A8B1-）（从而解：题型五题型五 求矩阵的秩求矩阵的秩例1.A),2,1(0.0,A212221212111）求秩（其中设nibabababababababababaiinnnnnn解：因为A的任一二阶子式1A,0）于是秩（ljkjlikibabababa而A为非零矩阵，故秩（A）1，从而秩（A）=1的秩。试求矩阵设三阶矩阵例A,111111A2.xxx2A02-112-2-1112-1112-A0A231A111111111A0A123A0A211,)1)(2(1111111(2）显然秩（，这时有二阶子式，且时，）当（，），显然秩（，且时，）当（，），秩（时，且）当（故）：方法解xxxxxxxxx2A231A123A0A211,)1)(2(00)1(10111)1(0)1(10111111111111112(2）时，秩（）当（，）时，秩（）当（，），秩（时，且）当（矩阵的秩，知于是由初等变换不改变）：方法解xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxA
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