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第 课时规律探究问题规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概况、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”常见的类型有:()数式规律型;()图形排列规律型;()图形变化规律型;()坐标变化规律型等类型一数式规律型典例()(江苏扬州)大于的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和,如,若m分裂后,其中有一个奇数是 ,则m的值是()A B C D ()(江苏盐城)已知整数a,a,a,a,满足下列条件:a,a|a|,a|a|,a|a|,依次类推,则a 的值为()A B C D 【解析】()观察等式,可以发现:分裂成的数都是奇数,且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上,奇数的个数等于底数找出 所在的奇数的范围,即可得解具体思考过程如下:,m分裂后的第一个数是m(m),共有m个奇数(),(),是底数为 的数的立方分裂后的一个奇数m()直接观察算式,我们看不出规律,根据条件求出前几个数的值,得a,a|a|,a|a|,a|a|,a|a|,这时我们可以发现,当n是奇数时,结果等于n,当n是偶数时,结果等于n因此我们将n 代入n进行计算即得 【全解】()C()B【小结】数式规律型问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,解答的基本思路是:主要是通过观察、分析、归纳、验证,分析数的变化,然后得出一般性的结论,总结归纳规律,以列代数式为主要内容如第()题找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键第()题根据所求出的数,观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键典例(湖 南株洲)一组 数 据为:x,x,x,x,观察其规律,推断第n个数据应为【解析】通过观察可得:当n为奇数时,单项式系数为正数,当n为偶数时,单项式系数为负数,x的指数为n时,的指数为(n)即当n为奇数时,单项式为:nxn;,当n为偶数时,单项式为:nxn,综上,推断第n个数据应为()nxn【全解】()nxn【提醒】找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律比如本题观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键类型二图形排列规律型典例(云南)观察下列图形的排列规律(其中、分别表示三角形、正方形、五角星)若第一个图形是三角形,则第 个图形是(填图形的名称)【解析】本题是图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案根据题意可知,每个图形一个循环,第 个图形经过了个循环,且是第个循环中的最后个,即第 个图形是【全解】五角星【提醒】此题是一道找图形排列规律的题目,这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题对观察能力和归纳总结能力有一定要求典例(山西)如图是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n个图案中阴影小三角形的个数是【解析】由图可知:第一个图案有阴影小三角形个第二图案有阴影小三角形个第三个图案有阴影小三角形 个,那么第n个就有阴影小三角形(n)n(个)【全解】(n)【小结】图形排列规律型问题主要是观察图形排列规律变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律,这需要有敏锐的观察能力和计算能力类型三图形变化规律型热点题型探究典例(山东日照)如图,在斜边长为的等腰直角三角形O A B中,作内接正方形ABCD;在等腰直角三角形O AB中,作内接正方形ABCD;在等腰直角三角形O AB中,作内接正方形ABCD;依次作下去,则第n个正方形AnBnCnDn的边长是()AnBnCnDn【解析】过点O作OMA B,交A B于点M,交AB于点N,如图所示ABA B,ONABO A B为斜边为的等腰直角三角形,OMA B又O AB为等腰直角三角形,ONABMNONOM第个正方形的边长ACMNOM同理第个正方形的边长ACON,则第n个正方形AnBnCnDn的边长为n【全解】B【提醒】此题是一道考查了等腰直角三角形的性质,以及正方形的性质的图形变化规律型问题,熟练掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键类型四坐标变化规律型典例(江苏南京)在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着x轴翻折,再向右平移个单位称为次变换如图,已知等边三角形A B C的顶点B、C的坐标分别是(,),(,),把A B C经过连续次这样的变换后得到A B C,则点A的对应点A 的坐标是【解析】首先由A B C是等边三角形,点B、C的坐标分别是(,)、(,),求得点A的坐标为(,)根据题意,得第次变换后的点A的对应点的坐标为(,),即(,),第次变换后的点A的对应点的坐标为(,),即(,),第次变换后的点A的对应点的坐标为(,),即(,),第n次变换后的点A的对应点当n为奇数时为(n,),当n为偶数时为(n,),因此,把A B C经过连续次这样的变换得到A B C,则点A的对应点A 的坐标是(,)【全解】(,)【提醒】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律本题从对称与平移的性质的运用中得到第n次变换后点A的坐标变化规律:n为奇数时为(n,),n为偶数时为(n,)(江苏泰州)根据排列规律,在横线上填上合适的代数式:x,x,x,x,(山东菏泽)一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和例如:,和分别可以按如图所示的方式“分裂”成个、个和个连续奇数的和,即 ;若也按照此规律来进行“分裂”,则“分裂”出的奇数中,最大的奇数是(第题)(贵州六盘水)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的,称为“杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的!“杨辉三角”中有许多规律,如它的每一行的数字正好对应了(ab)n(n为非负整数)的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数例如,(ab)aa bb展开式中的系数,恰好对应图中第三行的数字;再如,(ab)aaba bb展开式中的系数,恰好对应图中第四行的数字请认真观察此图,写出(ab)的展开式,(ab)(第题)(湖南娄底)如图所示的图案是按一定规律排列的,照此规律,在第至第 个图案中,“”共有个(第题)(辽宁阜新)如图,A B C的周长是,以它的三边中点为顶点组成第个三角形,再以第个三角形的三边中点为顶点组成第个三角形,则第n个三角形的周长为(第题)(第题)(贵 州 贵 阳)如 图,在A B A中,B ,A BAB,在AB上取一点C,延长A A到点A,使得AAAC;在AC上取一点D,延长AA到点A,使得AAAD;,按此做法进行下去,An的度数为(第题)(山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,有若干个横坐标分别为整数的点,其顺序按图中“”方向排列,如(,),(,),(,),(,),(,),(,),根据这个规律,第 个点的横坐标为(山东德州)如图,在一单位为的方格纸上,AAA,AAA,AAA,都是斜边在x轴上、斜边长分别为,的等腰直角三角形若AAA的顶点坐标分别为A(,),A(,),A(,),则依图中所示规律,点A 的坐标为(第题)(湖北武汉)一列数a,a,a,其中a,anan(n为不小于的整数),则a等于()ABC D (湖北荆门)已知:顺次连接矩形各边的中点,得到一个菱形,如图();再顺次连接菱形各边的中点,得到一个新的矩形,如图();然后顺次连接新的矩形各边的中点,得到一个新的菱形,如图();如此反复操作下去,则第 个图形中直角三角形的个数有()(第 题)A 个B 个C 个D 个(江苏南通)如图,在R t A B C中,A C B ,B ,A C,且A C在直线l上,将A B C绕点A顺时针旋转到,可得到点P,此时A P;将位置的三角形绕点P顺时针旋转到位置,可得到点P,此时A P;将位置的三角形绕点P顺时针旋转到位置,可得到点P,此时A P;按此规律继续旋转,直到点P 为止,则A P 等于()(第 题)A B C D 【基础达标】(湖北恩施州)观察数表根据表中数的排列规律,则BD(四川资阳)观察分析下列方程:xx;xx;x x请利用它们所蕴含的规律,求关于x的方程xnnxn(n为正整数)的根,你的答案是:(云南丽水)小明用棋子摆放图形来研究数的规律图()中棋子围成三角形,其颗数,称为三角形数类似地,图()中的,称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()热点题型探究()()(第题)A B C D (四川自贡)一质点P从距原点个单位的点M处向原点方向跳动,第一次跳动到OM的中点M处,第二次从M跳到OM的中点M处,第三次从点M跳到OM的中点M处,如此不断跳动下去,则第n次跳动后,该质点到原点O的距离为()(第题)AnBnC()nDn(广西桂林)如图是在正方形网格中按规律填成的阴影,根据此规律,则第n个图中阴影部分小正方形的个数是(第题)(广东汕头)观察下列等式:第个等式:a();第个等式:a();第个等式:a();第个等式:a();请解答下列问题:()按以 上规 律 列出 第个 等 式:a ;()用含有n的代数式表示第n个等式:an(n为正整数);()求aaaaa 的值【综合拓展】(贵州铜仁)如图,图()中一共有个平行四边形,图()中一共有个平行四边形,图()中一共有 个平行四边形,则图()中平行四边形的个数是()(第题)A B C D (广东深圳)已知,如图,MON ,点A、A、A、在 射 线ON上,点B、B、B、在 射 线OM上,ABA、ABA、ABA、均为等边三角形,若O A,则ABA的边长为()(第题)A B C D (浙江绍兴)如图,直角三角形纸片A B C中,A B,A C,D为斜边B C的中点,第次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P;设PD的中点为D,第次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P;设PD的中点为D,第次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P;设PnDn的中点为Dn,第n次将纸片折叠,使点A与点Dn重合,折痕与AD交于点Pn(n),则A P的长为()第次折叠第次折叠第次折叠(第题)A BC D (辽宁鞍山)如图,在A B C中,A C B ,A ,A Ca,作斜边A B上的中线C D,得到第一个三角形A C D;D EB C于点E,作R t B D E斜边D B上的中线E F,得到第二个三角形D E F;依此作下去,则第n个三角形的面积等于(第 题)(第 题)(山东济南)如图,矩形B C D E的各边分别平行于x轴或y轴,物体甲和物体乙分别由点A(,)同时出发,沿矩形B C D E的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以个单位/秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以个单位/秒匀速运动,则两个物体运动后的第 次相遇地点的坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)(福建莆田)如图,在平面直角坐标系中,A(,),B(,),C(,),D(,)把一条长为 个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按ABCDA的规律紧绕在四边形A B C D的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是()(第 题)A(,)B(,)C(,)D(,)(黑龙江齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中有一边长为的正方形O A B C,边O A、O C分别在x轴、y轴上,如果以对角线O B为边作第二个正方形O B BC,再以对角线O B为边作第三个正方形O BBC,照此规律作下去,则点B 的坐标为(第 题)(第 题)(山东东营)在平面直角坐标系x O y中,点A、A、A、和B、B、B、分别在直线yk xb和x轴上O AB,BAB,BAB,都 是 等 腰 直 角 三 角形,如果A(,),A(,),那么点An的纵坐标是(n为正整数)(黑龙江佳木斯)如图,直线yx,点A的坐标为(,),过点A作x轴的垂线交直线于点B,以原点O为圆心,O B长为半径画弧交x轴于点A,再过点A作x轴的垂线交直线于点B,以原点O为圆心,O B长为半径画弧交x轴于点A,按此作法进行下去,点Bn的纵坐标为(n为正整数)(第 题)(第 题)(江苏无锡)如图所示的平面直角坐标系中有一个正六边形A B C D E F,其中点C、D的坐标分别为(,)和(,)若在无滑动的情况下,将这个六边形沿着x轴向右滚动,则在滚动过程中,这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中,会过点(,)的是点第 课时规律探究问题【当堂过关】x aababa bb n n (,)A B B【课后精练】xn或xn D Dnn()()()(n)(n)nn()()aaaaa ()()()()()()()D CA an D B(,)()n()n B
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