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海淀区高三年级第二学期期中练习数学理科2018.4本试卷共 4 页，150 分。考试时长120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分第一部分选择题 共 40 分一、选择题共一、选择题共 8 8 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 4040 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。的一项。(1)已知集合A0,a，B x 1x2，且A B，则a可以是 (A)1 (B)0 (C)l (D)2(2)已知向量a a=(l，2)，b b=1，0，则a a+2b b=(A)1，2 (B)1，4(C)(1，2)(D)(1，4(3)执行如下图的程序框图，输出的S 值为 (A)2 (B)6 (C)8 (D)10(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1，假设四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为M，P(x,y)为M中任意一点，则yx的最大值为 (A)1 (B)2 (C)1 (D)25已知a，b为正实数，则“a1，b1”是“lgalgb0”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(6)如下图，一个棱长为1 的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是(A)1 (B)(C)(D)5326437以下函数f(x)中，其图像上任意一点P(x,y)的坐标都满足条件y x的函数是 (A)f(x)x3(B)f(x)2x (C)f(x)ex1 (D)f(x)ln(x1)222(x1)(y1)1上，点在圆C2：(x+1)(y+1)1上，则以8已知点M在圆C1：下说法错误的选项是(A)OM ON的取值范围为32 2,0 (B)OM ON取值范围为0,2 2 (C)OM ON的取值范围为2 2 2,2 2 2 (D)假设OM ON，则实数的取值范围为32 2,32 2第二部分第二部分非选择题，共 110 分二、填空题共二、填空题共 6 6 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 3030 分。分。(9)复数2i .1ix2(10)已知点(2，0)是双曲线C：2 y21的一个顶点，则C的离心率为 .a(11)直线x 2tx 2+cost为参数与曲线为参数的公共点个数为 .y ty sin3，A(12)在ABC中，假设c 2，a 6，则sinC，cos2C .(13)一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C 三所学校，其中A 学校有 2 位，B 学校有 2位，C 学校有 1 位现在五位教师排成一排照相，假设要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有种不同的站队方法(14)设函数f(x)x,x aa2x 3x,x假设f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是；假设a-2，则满足f(x)+f(x1)3的x的取值范围是三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)本小题 13 分已知f(x)2 3sin xcos x 2cos2x 1 (I)求f()的值；6()求f(x)的单调递增区间(16)本小题 13 分流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利J=-些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于65010 或小于 40%时，有利于病毒繁殖和传播下表记录了某年甲、乙两个城市12 个月的空气月平均相对湿度第一季度第二季度第三季度第四季度 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10 11 12月月月甲地乙地54%39%46%54%56%38%34%31%42%54%67%64%66%78%72%72%59%66%69%65%62%70%a%b%(I)从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；()从上表第一季度和第二季度的6 个月中随机取出 2 个月，记这 2 个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列；()假设ab 108，设乙地上表 12 个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值 只需写出结论(17)本小题 14 分已知三棱锥P ABC如图 1 的平面展开图 如图 2 中，四边形ABCD为边长为2的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥P ABC中：(I)证明：平面PAC平面ABC;()求二面角APCB的余弦值；()假设点M在棱PC上，满足CM1 2，,，点N在棱BP上，且PM3 3BM AN，BN求的取值范围BP(18)本小题 13 分已知函数f(x)ln xxa(I)当a 0时，求函数f(x)的单调递增区间；()当a0时，假设函数f(x)的最大值为，求a的值.(19)本小题 14 分x2y2已知椭圆C：221aabb0的离心率为3，且点T(2,1)在椭圆C上，设2与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点 (I)求椭圆C的标准方程；()判断OM ON的值是否为定值，并证明你的结论(20)本小题 13 分设A (ai,j)nna1,1a2,1an,1a1,2a2,2an,2a1,na2,n是由1,2,3,an,n,n2组成的n行n列的数表每个数恰好出现一次，n 2且nN*假设存在1i n，1 j n，使得ai,j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，则称数表A为一个“N 数表”ai,j为数表A的一个“N 值”，对任意给定的n，所有“N 数表”构成的集合记作n(I)判断以下数表是否是“N 数表”假设是，写出它的一个“N 值”；123147A 456，B 825789693()求证：假设数表A是“N 数表”，则A的“N 值”是唯一的；()在19中随机选取一个数表A，记A的“N 值”为X，求X的数学期望E(X)海淀区高三年级第二学期期中练习海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准2018.4一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号答案1C2A3D4B5A6D7D8B二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分。题号答案91i i10521121233131314(3,348x 1注：第 12、14 题第一空均为 3 分，第二空均为 2 分。三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答题应写出解答步骤。15.此题总分值 13 分f()2 3sin66cos62cos2621313 2 321222 3分2 f(x)3sin 2x cos2x 2sin(2 x)6因为函数y sinx的单调递增区间为2k令2k2,2k2kZ Z，2 2x6 2k2kZ Z，解得k3 x k6kZ Z，故f(x)的单调递增区间为k16.此题总分值 13 分 13分,kkZ Z 36设事件A：从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用Ai表示事件抽取的月份为第i月，则 A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12共 12 个基本领件，A A2,A6,A8,A9,A10,A11共 6 个基本领件，所以，P(A)61 4分.122在第一季度和第二季度的6 个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有 2 月和 6 月，故X所有可能的取值为0，1，2.2112C4C2C48C2621，P(X 1)2，P(X 2)2P(X 0)2C6155C615C615随机变量X的分布列为XP02518152115 13分M的最大值为58%，最小值为54%.17.此题总分值 14 分方法 1：PACOB设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意PA PB PC 2，PO 1，AO BOCO1因为 在PAC中，PA PC，O为AC的中点所以PO AC，因为 在POB中，PO 1，OB 1，PB 所以POOB因为AC2OB O，AC,OB平面ABC所以PO平面ABC 4分因为PO平面PAC所以 平面PAC平面ABC方法 2：PACOB设AC的中点为O，连接BO，PO.因为 在PAC中，PA PC，O为AC的中点所以PO AC，因为PA PB PC，PO PO PO，AO BO CO所以POAPOBPOC所以POA POB POC 90所以POOB因为ACOB O，AC,OB平面ABC所以PO平面ABC 4分因为PO平面PAC所以 平面PAC平面ABC方法 3：PAQCOB设AC的中点为O，连接PO，因为在PAC中，PA PC，所以PO AC设AB的中点Q，连接PQ，OQ及OB.因为 在OAB中，OAOB，Q为AB的中点所以OQ AB.因为 在PAB中，PA PB，Q为AB的中点所以PQ AB.因为PQOQQ，PQ,OQ平面OPQ所以AB 平面OPQ因为OP 平面OPQ所以OP AB因为ABAC A，AB,AC 平面ABC所以PO平面ABC 4分因为PO平面PAC所以 平面PAC平面ABC由PO 平面ABC，OB AC，如图建立空间直角坐标系，则zPABxCOyO(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)由OB平面APC，故平面APC的法向量为OB (0,1,0)由BC (1,1,0)，PC (1,0,1)设平面PBC的法向量为n (x,y,z)，则由n nBC 0 x y 0得：n nPC 0 x z 0令x 1，得y 1，z 1，即n (1,1,1)cos n,OB nOB133|n|OB|31由二面角A PC B是锐二面角，所以二面角A PC B的余弦值为设BN BP，01，则3 9分3BM BC CM BC CP (1,1,0)(1,0,1)(1,1,)AN AB BN AB BP (1,1,0)(0,1,1)(1,1,)令BM AN 0得(1)1(1)(1)0即11 23 311，是关于 的单调递增函数，11 24 5当,时，,，所以BN1 2 14分,BP4 518.此题总分值 13 分当a 0时，f(x)ln xx1xln x1ln x故f(x)x2xx2令故f(x)0，得0 x e ef(x)的单调递增区间为(0,e e)4分x aaln x1ln x方法 1：xf(x)x(x a)2(x a)2令g(x)1则g(x)由g(e e)aln xxa1x a 0 x2xx2aa1 0，g(e ea1)1a1(1 a)a(a11)0e eeea1故存在x0(e e,e e)，g(x0)0故当x(0,x0)时，g(x)0；当x(x0,)时，g(x)0 x(0,x0)x00极大值(x0,)f(x)f(x)故f(x0)12e ea21xln x0 0 x0 e e0故 13分，解得2ln x10a e e2x0ae e故a的值为e2.方法 2：f(x)的最大值为1ln x1x(0,)的充要条件为对任意的，且存x ae e2e e2ln x012在x0(0,)，使得2，等价于对任意的x(0,)，ae e lnxx且存x0ae e2在x0(0,)，使得a e e ln x0 x0，等价于g(x)e e ln x x的最大值为a.2e e2g(x)1，x令g(x)0，得xe e2.x(0,e e2)e e20极大值(e e2,)g(x)g(x)22222 13分故g(x)的最大值为g(e e)e e lne e e e e e，即ae e2.19 本小题 14 分 41a2b21222由题意a b c，e c3a2解得：a 2 2，b 2，c 6x2y2故椭圆C的标准方程为 5分182假设直线 TP 或 TQ 的斜率不存在，则 P 点或 Q 点的坐标为(2，1)，直线 l 的方程11为y 1(x 2)，即y x 2.22x2y2182联立方程，得x24x4 0，y 1x22此时，直线 l 与椭圆 C 相切，不合题意.故直线 TP 和 TQ 的斜率存在.方法 1：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则直线TP:y 1y11(x2)，x12y21(x2)x22直线TQ:y 1故|OM|2x12x22|ON|2，y11y21由直线OT:y 11x，设直线PQ:y xtt 022x2y2182 x22tx2t24 0联立方程，y 1xt22当 0时，x1 x2 2t，x1x2 2t 4|OM|ON|4(4(x12x22)y11y21x121x1t 12)1x2t 12x22 4x1x2(t 2)(x1 x2)4(t 1)11x1x2(t 1)(x1 x2)(t 1)2422t24(t 2)(2t)4(t 1)4121(2t 4)(t 1)(2t)(t 1)242 14分 4 方法 2：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线TP和TQ的斜率分别为k1和k2由OT:y 11x，设直线PQ:y xtt 022x2y2182 x22tx2t24 0联立方程，y 1xt22当 0时，x1 x2 2t，x1x2 2t 4k1k2y11y21x12x2211x1t 1x2t 122x12x22x1x2(t 2)(x1 x2)4(t 1)(x12)(x22)2t24(t 2)(2t)4(t 1)(x12)(x22)0故直线TP和直线TQ的斜率和为零故TMN TNM故TM TN故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为 2 14分故|OM|ON|4 20.此题总分值 13 分 3分A是“N 数表”，其“N 值”为 3，B不是“N 数表”.假设ai,j和ai,j均是数表A的“N 值”，假设i i，则ai,j maxai,1,ai,2,.,ai,n maxai,1,ai,2,.,ai,n ai,j；假设j j，则ai,j mina1,j,a2,j,.,an,j mina1,j,a2,j,.,an,j ai,j；假设i i，j j，则一方面ai,j maxai,1,ai,2,.,ai,n ai,j mina1,j,a2,j,.,an,j ai,j，另一方面ai,j maxai,1,ai,2,.,ai,n ai,j mina1,j,a2,j,.,an,j ai,j；8分矛盾.即假设数表A是“N 数表”，则其“N 值”是唯一的.方法 1：对任意的由1，2，3，361组成的19行19列的数表A (ai,j)1919.定义数表B (bj,i)1919如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行，第i列，即bj,i ai,j其中1 i 19，1 j 19显然有：数表B是由1，2，3，361组成的19行19列的数表 数表B的第j行的元素，即为数表A的第j列的元素 数表B的第i列的元素，即为数表A的第i行的元素 假设数表A中，ai,j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值.定义数表C (cj,i)1919如下，其与数表B对应位置的元素的和为 362，即cj,i 362 bj,i其中1 i 19，1 j 19显然有 数表C是由1，2，3，361组成的19行19列的数表 假设数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，cj,i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值特别地，对由1，2，3，361组成的19行19列的数表A (ai,j)1919 数表C是由1，2，3，361组成的19行19列的数表 假设数表A中，ai,j是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值则数表C中，cj,i是第i列中的最小值，也是第j列中的最大值即对任意的A19，其“N 值”为ai,j其中1 i 19，1 j 19，则C19，且其“N 值”为cj,i 362 bj,i 362 ai,j.记C T(A)，则T(C)A，即数表A与数表C T(A)的“N 值”之和为362，故可按照上述方式对19中的数表两两配对，使得每对数表的“N 值”之和为362，13分故X的数学期望E(X)181.方法 2：X所有可能的取值为19,20,21,.,341,342,343.记19中使得X k的数表A的个数记作nk，k 19,20,21,.,341,342,343，则18182nk192Ck1C361k(18)!.218182则n362k19 C361kCk1(18)!nk，则E(X)k19343nk19343kkknk19343n343362kkk19n343k(362k)343，kk19nkk19n故2E(X)k19343nk19343kkkk19n343k(362k)343362，E(X)181.13分knk19n
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