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2021-2022学年山西省晋中市平遥县校高一下学期5月月考数学试题一、单选题1若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数ABCDC【详解】则故选2为了了解某路口每天在学校放学时段的车流量，有下面几个样本，统计该路口在学校放学时段的车流量，你认为合适的是（）A抽取两天作为一个样本B春夏秋冬每个季节各选两周作为样本C选取每周星期日作为样本D以全年每一天作为样本B【分析】选择调查的对象要有代表性即可判断【详解】解：依题意春夏秋冬每个季节某路口在学校放学时段的车流量可能会有差异，为了统计该路口在学校放学时段的车流量，春夏秋冬每个季节各选两周作为样本更具有代表性，故B正确；对于A：随机抽取两天作为一个样本，不具有代表性，故A错误；对于C：显然星期一到星期五学校放学时段的车流量与周末时学校放学时段的车流量会有差异，故选取每周星期日作为样本也不具有代表性，故C错误；对于D：全年每天的数据，属于全面调查，不属于抽样调查，故D错误；故选：B3已知向量满足，则A4B3C2D0B【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘： 4在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）、三点共线；、四点共面；、四点共面； 、四点共面ABCDC【分析】根据公理3和异面直线的判定定理可得结果【详解】，平面，平面，平面，平面，是平面和平面的公共点；同理可得，点和都是平面和平面的公共点，根据公理3可得、，在平面和平面的交线上，因此正确，,，确定一个平面，又，平面，平面，故正确根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故、四点不共面，故不正确根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故、四点不共面，故不正确故选C本题考查点共线，点共面的判断，考查异面直线判定定理的应用，属于基础题.5直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于A30B45C60D90C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AEA1B，EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得AEC1为正三角形，EC1B为，故选C6已知中，则等于（）ABCDA【分析】根据三边的比令，进而可知，根据勾股定理逆定理推断出，进而根据推断出，进而求得，则三个角的比可求【详解】解：依题意令，所以为直角三角形且，又，且，故选：A7如图,在棱长为的正方体中,点、是棱、的中点, 是底面上（含边界）一动点,满足,则线段长度的取值范围是ABCDD【详解】因为平面 ，平面 ，所以 ，又因为 所以可得平面 ，当点在线段 上时，总有，所以的最大值为 ，的最小值为 ，可得线段长度的取值范围是，故选D.【方法点晴】本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理的应用，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.8张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，且，利用张衡的结论可得球的表面积为（）A30BC33DB由判断出球心的位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得的值，进而根据球的表面积公式计算出球的表面积.【详解】因为，所以，又底面，所以球的球心为侧棱的中点，从而球的直径为.利用张衡的结论可得，则，所以球的表面积为.故选：B本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.二、多选题9下列命题不正确的是（）.A棱台的上下底面可以不相似，但侧棱长一定相等B有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱D直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥ABCD【分析】直接根据棱台、棱柱、棱锥和圆锥的定义判断各选项即可【详解】对于A：棱台的上、下底似，但侧棱长不一定相等，故A错误；对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误；对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误；对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，故D错误；故选：ABCD10已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，记的面积为S，则下列说法正确的是（）ABCDBD利用向量的共线定义可判断A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B；利用向量数量积的定义可判断C；利用三角形的面积公式即可判断D.【详解】由，可知点P为的三等分点，点Q 为延长线的点，且为的中点，如图所示：对于A，点P为的三等分点，点为的中点，所以与不平行，故A错误； 对于B，,故B正确；对于C，故C错误；对于D，设的高为，即，则的面积，故D正确；故选：BD本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题11已知是不同的直线，是两个不重合的平面.下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则平行于平面内任意一条直线AB【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断即可【详解】解：对于A：若，由面面平行的性质可得，故A正确；对于B：若，则，故B正确；对于C：若，则或与异面，故C错误；对于D：若，则与平面内任意一条直线平行或异面，故D错误；故选：AB12已知向量，则下列结论正确的有（）AB若，则C的最大值为2D的最大值为3AC【分析】先利用平面向量的基本运算得到三角关系，再利用三角函数运算逐一判断即可.【详解】对于，正确；对于，若，则，错误；对于，所以当时最大值为2，正确；对于，因为，所以，则，即，错误.故选：AC.本题考查了平面向量的基本运算和三角函数的性质，属于中档题.三、填空题13采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高一年级被抽取人，高三年级被抽取人，高二年级共有人，则这个学校共有高中学生的人数为_【分析】先求出抽样比，即可求出学生总数.【详解】由题意可得抽样比为，所以学生总数为，即这个学校共有高中学生900人故900.14以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，使和折成互相垂直的两个平面，则_.【详解】试题分析：不妨设的斜边为，则，因为和折成互相垂直的两个平面，且，所以是二面角的平面角，即，则，所以折叠后的为等边三角形，即；故填15已知，则在上的投影向量的坐标为_.【分析】利用投影向量的定义直接求解.【详解】因为，所以在上的投影向量为.故16已知底面半径，高的圆锥内接一个圆柱，则圆柱侧面积的最大值是_.【分析】设圆柱的底面半径为，高为，根据比例关系表示，写出圆柱的侧面积，利用二次函数求最大值.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，解得：，（），则圆柱的侧面积 当时，侧面积取得最大值.故答案为.四、解答题17如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，求梯形的面积.5【分析】如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积【详解】如图，根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，原图中，从而得出ADDC，且，直观图中，原图中，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图故其面积.18三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面；（2）由于，为的中点，可得，再由平面平面，可证得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（3）由于平面，所以求，可得三棱锥的体积【详解】(1)证明：、分别为、的中点，又平面，平面，平面；(2)证明：，为的中点，又平面平面，平面平面，且平面，平面，又平面，平面平面；(3)解：在等腰直角三角形中，等边三角形的面积，又平面，三棱锥的体积， .19用向量法证明以为顶点的四边形是一个矩形.证明见解析【分析】分别利用坐标计算即可得证【详解】证明：因为，故，不为零向量，且不与平行，所以以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形.又，所以，故以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形.20的内角的对边分别为，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积.(1)；(2).【分析】（1）根据已知求出，再利用余弦定理得解；（2）求出，即得解.【详解】(1)解：由已知可得，因为，所以.在中，由余弦定理得，即，解得（舍去），.(2)解：由题设可得，所以.故.又，所以.21如图，平面，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.(1)证明见解析(2)【分析】（1）由三角形中位线定理结合已知条件可得，再由平面，可得结论，（2）连接，则由已知可证得平面，从而得为和平面所成的角，然后在Rt中求解.【详解】(1)分别为的中点，.又，.平面，平面，平面，平面.(2)连接.为的中点，且.平面平面，平面，平面，平面，由（1）有，又四边形为平行四边形，平面.平面.为和平面所成的角.由得，在Rt中，和平面所成角的正弦值为.22在平面直角坐标系中，设向量，(1)若，求的值；(2)设，且，求的值(1)(2)【分析】(1)利用向量的模长公式.(2)利用向量平行的坐标形式求解.【详解】(1)因为，所以，且. 因为，所以，即， 所以，即(2)因为，所以依题意，因为，所以 化简得，所以因为，所以所以，即
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