内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习 第七讲 选择填空题解题策略

内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习：第七讲 选择填空题解题策略高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种思想方法，体现以考查“三基”为重点的导向，题量一般为10到12个，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大.解答选择题的基本要求是四个字准确、迅速.选择题主要考查基础知识的理解、接本技能的熟练、基本运算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面.解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选项两方面提供的信息作出判断.一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简单解法等.解题时应仔细审题、深入分析、正确推理、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确.解数学选择题的常用方法，主要分为直接法和间接法两大类.直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答.因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法.填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定空位上将缺少的语句填写清楚、准确. 它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等. 填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型. 填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误. 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等. 由于填空题和选择题相比，缺少选择的信息，所以高考题多数是以定量型问题出现.二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等. 近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上. 但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力. 想要又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法.解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格. 考试说明中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”. 为此在解填空题时要做到：快运算要快，力戒小题大作；稳变形要稳，不可操之过急；全答案要全，力避残缺不齐；活解题要活，不要生搬硬套；细审题要细，不能粗心大意.第一节 选择题的解题策略（1）【解法一】直接法：直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出选项“对号入座”，作出相应的选择. 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 （2010安徽理）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （ ）A.B.C. D. 点拨：此题是有关圆锥曲线的基础题，将双曲线方程化为标准形式，再根据的关系求出，继而求出右焦点的坐标.解：，所以右焦点坐标为，答案选C.易错点：（1）忽视双曲线标准方程的形式，错误认为；（2）混淆椭圆和双曲线标准方程中的关系，在双曲线标准方程中.例 2 （2010福建理）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（ ）A.2 B.3 C.4 D.5点拨：此题是程序框图与数列求和的简单综合题.解：由程序框图可知，该框图的功能是输出使和时的的值加1，因为，所以当时，计算到故输出的是4，答案选C.易错点：没有注意到的位置，错解.实际上 使得后加1再输出，所以输出的是4.变式与引申： 根据所示的程序框图（其中表示不大于的最大整数），输出（ ）.A. B. C.2 D. 例3（2010全国理）正方体-中，与平面所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.A.B.CDA.1B.1C1D1O点拨：此题考查立体几何线面角的求解.通过平行直线与同一平面所成角相等的性质及转化后，只需求点到面的距离.解：因为,所以与平面所成角和与平面所成角相等,设平面，由等体积法得, 即.设=,则,.所以 记与平面所成角为,则,所以,故答案选D.易错点：考虑直接找与平面所成角，没有注意到角的转化，导致思路受阻.点评：直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高直接法解选择题的能力.准确把握题目的特点，用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上，否则一味求快则会快中出错.【解法二】 特例法：用特殊值代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.例1（2010广东文）若一个椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 点拨：此题是椭圆性质与等差数列的简单综合题，可根据性质直接求解，但运算较繁，可根据性质用取特殊值的方法求解.解：根据成等差数列，设即可得答案选B.例2 （2010全国课标文）已知函数= 若均不相等，且，则的取值范围是 （ ）A.（1，10） B.(5，6) C.(10，12) D.(20，24)点拨：此题是函数综合题，涉及分段函数，对数函数，函数图像变换，可结合图像，利用方程与函数的思想直接求解，但变量多，关系复杂，直接求解较繁，采用特例法却可以很快得出答案.解：不妨设，取特例，如取，则易得，从而，故答案选C另解：不妨设，则由，再根据图像易得.实际上中较小的两个数互为倒数.例3 （2010湖北文）记实数中的最大数为，最小数为.已知的三边边长为、（）,定义它的倾斜度为，则“”是“为等边三角形”的（ ）A. 充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件C. 充要条件D.既不充分也不必要的条件点拨：此题引入新定义，需根据新信息进行解题，必要性容易判断.解：若为等边三角形时、即，则则t=1；若为等腰三角形，如时，则，此时t=1仍成立但不为等边三角形, 所以答案选B.点评：当正确的选择对象在题设条件都成立的情况下，用特殊值（取的越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.【解法三】 排除法： 充分运用选择题中单选的特征（即有且只有一个正确选项），通过分析、推理、计算、判断，逐一排除，最终达到目的.例1 (2010重庆理) 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）A. B.C. D.点拨：此题考查三角函数的周期和单调性.解：C、D中函数周期为2，所以错误.当时，函数为减函数,而函数为增函数，所以答案选A.例2（2010山东文）函数的图像大致是（ ）点拨：此题考查函数图像，需要结合函数特点进行分析,考虑观察零点.解：因为当2或4时，所以排除B、C；当-2时，故排除D，所以答案选A.易错点：易利用导数分析单调性不清导致错误.例3 （2010天津理）设函数 ， 若, 则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 点拨：此题是分段函数，对数函数，解不等式的综合题，需要结合函数单调性，对数运算性质进行分析，分类讨论，解对数不等式，运算较复杂，运用排除法较易得出答案.解：取验证满足题意，排除A、D. 取验证不满足题意, 排除B.所以答案选C.易错点：直接求解利用函数解析时，若忽略自变量应符合相应的范围，易解错点评：排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小的选项范围内找出矛盾，这样逐步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题, 尤其是选项为范围的选择题的常用方法. 【解法四】 验证法： 将选项中给出的答案代入题干逐一检验，从而确定正确答案.例1 （2010福建文）将函数的图像向左平移个单位.若所得图像与原图像重合，则的值不可能等于（ ） A.4 B.6 C.8 D.12点拨：此题考查三角函数图像变换及诱导公式，的值有很多可能，用验证较易得出答案.解：逐项代入验证即可得答案选B.实际上，函数的图像向左平移个单位所得函数为，此函数图像与原函数图像重合，即，于是为4的倍数.易错点：的图像向左平移个单位所得函数解析式，应将原解析式中的变为，图像左右平移或轴的伸缩变换均只对产生影响，其中平移符合左加右减原则，这一点需要对图像变换有深刻的理解.例2 （2009江西文）若能被整除，则的值可能为（ ） A. B. C. D.点拨：此题考查二项展开式，可能的值情况很多，宜用验证法.解：，再把各项逐一代入验证可知，答案选C.易错点：忽略原式与的二项展开式少了常数项1而无法进行求解.例3 （2009安徽文）下列双曲线中离心率为的是（ ）A. B. C. D.点拨：此题考查双曲线的性质，没有确定形式，只能根据选项验证得出答案.解：依据双曲线的离心率，逐一验证可知选B.易错点：双曲线中，与椭圆中混淆，错选D.变式与引申：下列曲线中离心率为的是（ ）A. B. C. D.点评：验证法适用于题设复杂，但结论简单的选择题. 若能根据题意确定代入顺序则能较大提高解题速度.习题 7-11. （2010江西理）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则A. = B. D.以上三种情况都有可能2（2010上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（ ）A.不能作出这样的三角形 B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形 D.作出一个钝角三角形3.（2010安徽理）设是任意等比数列，它的前项、前项、与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是( )A.B.C.D.4.定义在R上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：；，其中正确的不等序号是（ ）A. B. C. D.5.如图，在棱柱的侧棱和上各有一动点满足，过三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）A.3：1 B.2：1 C.4：1 D.6.已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（ ）A. B. C. D. 7. (2009湖南理）将函数的图象向左平移0 2的单位后，得到函数的图象，则等于 （ ）A. B. C. D. 第二节 选择题的解题策略（2）【解法五】 图解法： 据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确判断. 习惯上也叫数形结合法.例1 (2010浙江理）设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）A. B. C. D.点拨：此题考查函数零点问题，可转化为两个熟悉函数的交点问题.画图时应注意两个函数在与选项有关的关键点（如分界点）的函数值大小关系.解：将的零点转化为函数的交点，数形结合，答案选A.易错点：图像不准确，忽略关键点，易解错.例2 (2010湖北文）若直线与曲线有公共点,则的取值范围是( )A. B. C. D. 点拨： 此题考查直线与曲线的公共点问题，应利用数形结合的思想进行求解.解：曲线方程可化简为,即表示圆心为（2,3）半径为2的半圆,依据数形结合, 当直线与此半圆相切时, 须满足圆心（2,3）到直线距离等于2, 解得（舍）,当直线过（0,3）时,解得B.=3, 故所以答案选C.易错点：（1）忽略曲线方程中，曲线表示的图形是个半圆导致错误；（2）求直线与曲线相切时的值时不结合图像取值导致错误.例3 （2010重庆理）直线与圆心为D的圆交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为 （ ）A. B. C. D. 点拨：此题是直线与圆的综合题，考查圆的参数方程，直线的倾斜角及圆的性质，应用图解.解：数形结合，设直线AD与BD的倾斜角分别为，则 ，由圆的性质可知，故 .所以答案选C.易错点：考虑代数解法，利用圆的方程和直线方程进行求解，过程复杂，计算困难导致错误.点评：严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略. 但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图像，方城曲线，几何图形较熟悉，否则错误的图像会导致错误的选择.【解法六】 分析法：（1） 特征分析法：根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法.例1 已知，则等于( )A. B. C. D. 5点拨：此题考查同角三角函数关系及半角公式，可先利用同角正余弦平方和为1求的值，再根据半角公式求，运算较复杂，试根据答案数值特征分析.解：由于受条件的制约，为一确定的值，进而推知也为一确定的值，又，因而，故，所以答案选D.易错点：忽略，为一确定的值导致结果与有关.（2） 逻辑分析法：通过对四个选项之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误项，选出正确项的方法.例2 当时，恒成立，则的一个可能值是（ ）A. 5 B. C. D.-5点拨：此题是有关不等式恒成立的问题，可运用数形结合的思想进行求解，较复杂.解：由知A真 B真 C真D真，假设A,B,C真，则均有两个以上正确答案，所以根据选择题答案唯一的特点，答案选D. 也可利用数形结合思想求解.易错点：忽略不等式的特点，平方转化为二次不等式，导致错误.（3） 定性分析法：通过题干中已知条件对结论进行定性分析，再通过与选项的对比得出结论.例3 已知定义在R上的函数满足，且该函数在区间内再没有其它的值使，则此函数为（ ）A. 奇函数B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数点拨：此题考查抽象函数对称性，周期性，奇偶性.解：不难得出，该函数周期为，故函数为非奇非偶函数，答案选D.易错点： 容易得到函数的对称轴，没有将其与周期性联系起来，导致思路受阻.点评：通过观察题目的特征，巧妙运用逻辑推理的方法，可以有效地缩短解题时间，达到快速解题的目的. 此类题的设置，能有效地考查逻辑思维能力以及灵活运用数学知识解决问题的能力.【解法七】估值法： 对于选项是数值的选择题，可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项.例1（2010全国课标文）若，是第三象限的角， 则=（ ）A. B. C. D.点拨：此题考查同角三角函数关系及两角和公式，可根据角的范围先求出的正弦值，再根据两角和公式求.解：根据单位圆估算, 所以答案选A.易错点：忽略角的范围，求正弦值得出两个答案，以致思路受阻.例2据2002年3月5日第九届全国人大五次会议政府工作报告：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7. 3%. 如果“十五”期间（2001-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（ ）A.115000亿元 B. 120000亿元 C. 127000亿元 D. 135000亿元点拨：此题考查等比数列在实际生活中的应用，容易列式，但结果的数值难算，应进行估算.解：且所以答案选C.易错点：没有想清楚2005年生产总值是以95933为首项，为公比的等比数列的第五项，错列式导致错误.例3 已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面面积是（ ）A. B. C. D. 点拨：此题考查球的性质及球面面积公式，可先求截面圆半径，结合球心到截面的距离，利用勾股定理求出球半径，再求球面面积.解：球的半径不小于的外接圆半径，则，所以答案选D.点评：估值法，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷. 其应用广泛，减少了运算量，却加强了思维的层次，是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要方法.【解法八】逆推法：假设选项正确，以部分条件作为已知条件进行推理，看是否能推出与已知条件矛盾的结论，从而找出正确答案.例1 （2010湖南理）用表示两数中的最小值. 若函数的图像关于直线对称，则的值为（ ）.A. B. C. D. 点拨：此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性，应考虑画图像，由于的值未知，图像不容易确定，所以从选项假设出发.解：根据图像，时，函数的图像关于直线对称， 时，函数的图像关于直线对称，时，函数的图像关于直线对称，所以答案选D. 例2在中，所对的边分别为，若，则是（ ）A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形点拨：此题考查解三角形，条件比较难转化，考虑从选项出发. 解：等边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况，故先假设选项B正确. 此时,，不满足题目条件，所以A，B，C均不满足题意，故答案选C. 易错点：利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解, 忽略三角形内角和.例3平行四边形的周长等于，的内切圆半径等于，已知，则它的边长是（ ）.A. B. C. D. 点拨：此题考查解三角形问题，条件多而复杂，考虑从选项出发.解：，显然A选项不符合. 以“周长等于”为条件，假设选项B正确，即，则在中, ,根据余弦定理可求得，从而的内切圆半径，恰好符合条件，所以答案选B.点评：逆推法常用于由题干条件直接推导结论较复杂的选择题，逆向思维，常结合逻辑法，排除法进行运用，是只适用于选择题的特殊方法. 与验证法不同的是它需要推理，且由条件得出的答案唯一.从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”、“手段”都是无关紧要的，但平时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因. 另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确，快速.总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便方法，充分利用选项的暗示作用，迅速地作出正确的选择. 这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间.习题 7-21. 设是满足的实数，那么（ ）A. B. C. D. 2.（09重庆理）已知以为周期的函数，其中若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）ABCD3. 如图，在多面体中，已知面是边长为的正方形，,与面 的距离为，则该多面体的体积为（ ）A. B. C. D. 4. 已知，且，则的值是（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在ABC中，,，则=（ ）A. B. C. D.6将正奇数，排成5列，按右图的格式排下去，1985所在的列从左数起是（ ）A.第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列 7. 如果，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第三节 填空题的解题策略（1）一 常规填空题解法示例【解法一】直接求解法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公示等，经过变形、推理、计算、判断得到结论. 这种方法是解填空题的最基本、最常用的方法. 使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地，有意识地采取灵活、简捷的解法.例1（2010安徽理）展开式中，的系数等于_.点拨：此题考查二项展开式，应写出使的指数等于3的项.解：，写出所以的系数等于.易错点：二项展开式中指的是两项的和展开式，此题中为一项，容易忽略的符号.例2（2010北京文）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 .点拨：此题考查椭圆和双曲线的简单性质.解：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出焦点坐标为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为.易错点：容易将椭圆和双曲线中的关系混淆.【解法二】 特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊值（特殊函数，特殊角，特殊数列，特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论. 这样可以大大地简化推理、论证的过程. 此种方法也称为“完美法”，其根本特点是取一个比较“完美”的特例，把一般问题特殊化，已达到快速解答. 为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例. 例1（2009山东理）已知定义在上的奇函数满足，且在区间0，2上是增函数，若方程（）在区间上有四个不同的根，则 点拨：此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化.解：根据函数特点取，再根据图像可得【答案】-8易错点：由只想到函数的周期为8，没有注意各条件之间的联系，根据结论与对称轴有关而导致思路受阻.例2 在中，角所对的边分别为，如果成等差数列，则_.点拨：此题为解三角形与数列的综合题，直接求解较复杂，考虑取特殊值.解：取特殊值，则，. 或取，则，代入也可得.也可利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解.易错点：直接求解时容易忽略三角形内角和等于这个隐含条件而导致思路受阻.【解法三】 数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.例1（2010全国理）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .点拨：此题是椭圆和向量的综合题，由于涉及到椭圆与直线相交，应结合图形，运用椭圆的第二定义进行求解.解：如图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.易错点：没有运用椭圆的第二定义，导致运算量大且极难算.例2（2010江苏）定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作轴于点，直线与的图像交于点,则线段的长为_.点拨：此题考查三角函数图像和同角三角函数关系，涉及图像问题，应运用数形结合思想进行转化.解：线段的长即为的值，且其中的满足，解得，即线段的长为.易错点：考虑通过求出点，的纵坐标来求线段长度，没有想到线段长度的意义，忽略数形结合，导致思路受阻.【解法四】 特征分析法：有些问题看似，非常复杂，一旦挖掘出其隐含的数量或位置等特征，此问题就能迎刃而解.例1（2010重庆理）已知函数满足：，则_点拨：此题考查函数周期性，所知函数值有限，所求函数自变量数值很大，应考虑寻找规律.解：取得法一：通过计算，寻得周期为6法二：取,有,同理. 联立得, 所以 故.易错点：忽略自变量是一个数值较大的正整数，没有考虑函数值的周期性规律或数列与函数的联系，一味考虑直接求而导致思路受阻.例2（2009福建文）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1.第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的是为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为 点拨：此题考查递推数列，具有循环的特点.这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列.寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力.首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了.解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，周期是8.在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次.易错点：容易考虑将数列的前30项分别求出再求有几项是三的倍数，而没有考虑观察余数呈现的规律而导致解题过程复杂化.【解法五】构造法： 根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些熟悉的数学模型，并借助于它认识和解决问题的一种方法.例1（2010江西理）如图，在三棱锥中，三条棱，两两垂直，且,分别经过三条棱，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，则，的大小关系为 .点拨：此题考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，已知条件少，没有具体的线段长度，应根据三条棱两两垂直的特点，以，为棱，补成一个长方体.解：通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长，分别为1，2，3得.易错点：立体几何图形比较抽象，忽略将题中图形与熟悉图形联系，将线段长度具体化很难求出.例2已知实数满足，则=_.点拨：此题考查数学知识的运用能力，两个未知数一个方程，且方程次数较高，不能直接求出，的值，应考虑将整体求出，注意方程的结构特点.解：构造函数，则已知变为，即，根据函数是奇函数且单调递增可得，于是，即.易错点：没有观察方程的特点，一味想将作为整体直接求解，导致求解困难.习题7-31.（2010湖北理）己知，式中变量满足约束条件则的最大值为 .2将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）.3过抛物线准线上任一点作抛物线的两条切线，切点分别为.若已知直线过一个定点，则这个定点是_.4（09山东理）若函数（且)有两个零点，则实数a的取值范围是 5.已知数列满足：则_；=_6. 如图，点在正方形所在的平面外，且面，,则与所成角的度数为_.7. 设，将的最小值记为，则其中=_ .第四节 填空题的解题策略（2）二 开放型填空题解法示例【题型一】多选型给出若干个命题或结论，要求从中选出所有满足题意的命题或结论. 这类题不论多选还是少选都是不能得分的，相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的演绎推理，而是要求从结论出发逆向探究条件，且结论不唯一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因此，要求同学们有扎实的基本功，能够准确的阅读数学材料，读懂题意，根据新的情景，探究使结论成立的充分条件.判断命题是真命题必须通过推理证明，而判断命题是假命题，举反例是最有效的方法.例1（2010全国课标文）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 点拨：此题考查立体图形的三视图，多选题，应逐个验证，由于几何体摆放的位置不同，正视图不同，验证时应考虑全面.解：如下图所示，三棱锥、四棱锥、三棱柱、圆锥四种几何体的正视图都可能是三角形，所以应填易错点：忽略三棱柱可以倒置，底面正对视线，易漏选例2 （2010安徽理）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号）.； ； 事件与事件相互独立；是两两互斥的事件； 的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关.点拨：此题考查概率有关知识，涉及独立事件，互斥事件的概念.题型为多选型，应根据题意及概念逐个判断.解：易见是两两互斥的事件，事件的发生受到事件的影响，所以这两事件不是相互独立的.而.所以答案.易错点：容易忽略事件的发生受到事件的影响，在求事件发生的概率时没有分情况考虑而导致求解错误.【题型二】探索型从问题给定的题设中探究其相应的结论，或从给定题断要求中探究其相应的必须具备的条件.常见有：规律探索、条件探索、问题探索、结论探索等几个类型.如果是条件探索型命题，解题时要求学生要善于从所给的题断出发，逆向追索，逐步探寻，推理得出应具备的条件，进而施行填空；如果是结论探索型命题，解题时要求学生充分利用已知条件或图形的特征进行大胆猜想、透彻分析、发现规律、获取结论.例1（2010福建文）观察下列等式： ;可以推测， .点拨：此题给出多个等式，出现的系数存在规律，需对此规律进行探索，猜测，推理得出答案.解：因为所以；观察可得，所以.例2（2010陕西理）观察下列等式：，根据上述规律，第五个等式为.点拨：此题给出多个等式，需寻找规律，探索答案.解：（方法一）所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4，右边的底数依次分别为3,6,10（注意：这里），由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为.（方法二）易知第五个等式的左边为，且化简后等于，而，故易知第五个等式为【题型三】新定义型定义新情景，给出一定容量的新信息（考生未见过），要求考生依据新信息进行解题.这样必须紧扣新信息的意义，将所给信息转化成高中所学习的数学模型，然后再用学过的数学模型求解，最后回到材料的问题中给出解答.此类问题多涉及给出新定义的运算、新的背景知识、新的理论体系，要求同学有较强的分析转化能力，不过此类题的求解较为简单.例1（2010福建文）对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）.点拨：此题给出凸集这样一个新概念，需对此新定义理解，对照定义验证各个选项.解：在各个图形中任选两点构成线段，看此线段是否包含于此图形，可以在边界上，故选.易错点：忽略是由两个圆构成一个整体图形，从两个圆上各取一点构成的线段不包含于此图形，易误选.例2（2010湖南理）若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 点拨：此题定义了一个新数列，应透过复杂的符号理解简单的定义，并严格依照定义进行正确推理，寻找规律，大胆猜想.解：因为，而，所以m=1,2,所以2. 因为所以1, 4，9，16，猜想.易错点：容易对定义不理解导致思路受阻，或理解错误导致解错.【题型四】组合型给出若干个论断要求学生将其重新组合，使其构成符合题意的命题.解这类题，就要求学生对所学的知识点间的关系有透彻的理解和掌握，通过对题目的阅读、理解、分析、比较、综合、抽象和概括，用归纳、演绎、类比等推理方法准确地阐述自己的观点，理清思路，进而完成组合顺序.例是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同直线，给出下列四个论断：（1）,（2）,（3）（4），若以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题：_.点拨：此题是开放性填空题，只需填一个正确的答案，考查的是线面关系.解：通过线面关系，不难得出正确的命题有：（1）,；（2）,.所以可以填, (或,).三 减少填空题失分的检验方法【方法一】回顾检验：解答之后再回顾，即再审题，避免审题上带来某些明显的错误，这是最起码的一个环节.【方法二】赋值检验：若答案是无限的、一般性结论，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.【方法三】估算检验：当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.【方法四】作图检验：当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验即数形结合，一避免一些脱离事实而主观臆断导致错误.【方法五】变法检验：一种方法解答之后，再用其他方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.【方法六】极端检验：当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.点评：填空题是介于选择题和解答题之间的一种题型. 它既有选择题的小、活、广，又有解答题的推理运算严谨，考查全面的特点. 因此，在解题过程中可灵活选用选择题、解答题的有效方法灵活解题，以达到正确、合理、迅速的目的.因此在平时训练时要注意以下几点： 注意对一些特殊题型结构与解法的总结，以找到规律性的东西； 注意对知识的联想、迁移、类比、归纳的应用，以快速得到提示与启发； 注意从不同角度、不同方法对题目的“再解答”，以保证解答的正确性.习题7-41（2010福建理）已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时，.给出如下结论：对任意，有；函数的值域为；存在，使得；“函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得”.其中所有正确结论的序号是 .2.椭圆中心在坐标原点，为左焦点，当时（其中为短轴端点，为长轴端点），其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比黄金椭圆，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于_.3.（2010四川文）设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集.下列命题：集合Sabi|（为整数，为虚数单位）为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集.其中真命题是 （写出所有真命题的序号）4., 有以下三个论断：；.若以其中两个为条件，余下一个为结论，写出所有正确的命题：_.5. 若规定的子集为的第个子集，其中，则（1）是E的第_个子集；（2）E的第211个子集是_.6. 给出下列5个命题A. 若是数列的前，则是等差数列； B. 若，则ABC一定是锐角三角形C. 若，则ABC一定是锐角三角形；D. 若1，则ABC一定是等边三角形；E. ABC中，A、B、C所对的边长分别为 ，若三边成等差数列，则.以上正确命题的有 _(写出所有正确命题的序号).7平面几何中的射影定理为：直角中，则有，如图1；将此结论类比到空间：在三棱锥中，AB、AC、AD三边两两互相垂直，在面的射影为点，则得到的类比的结论中 有怎样的关系 .第七讲 测试卷一、 选择题（每小题5分，共20题）1.若全集为实数集，则等于（ ）A. B. C. D. 2.已知不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3.函数的最小值是（ ）A. B. C. D. 4. 若抛物线在点处的切线平行于直线，则点坐标为（ ）A. B. C. D. 5. 若复数，则（ ）A. B. C. D. 正视图俯视图2 侧视图6. 若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积是（ ）A.2 B. C. D.7. 若平面的点在直线上移动，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 8.设，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 9. 正方体中，分别是的中点，则与所成的角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 10设函数定义在实数集上，则函数与的图像关于（ ）A. 直线对称 B. 直线对称 C. 直线对称 D. 直线对称11.直线与以为端点的线段恒相交，则的斜率范围为（ ）A. B. C. D. 12.抛物线按向量平移后的焦点坐标为，则平移后的抛物线的顶点坐标为（ ）A. B. C. D. 13. 的展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D. 14.在中，是成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件15.数列中，成等差数列；成等比数列；的倒数成等差数列，那么成（ ）A. 等比数列 B. 等差数列 C. 倒数成等差数列 D. 倒数成等比数列16已知定义域为，函数满足，且，若，则等于（ ）A. B. C. D. 17. 表面积为的多面体，外切于表面积为的一个球，则这个多面体的体积为（ ）A. B. C. D. 18.已知是方程的两个根，且，则等于（ ）A. B. C. 或 D. 或19设定义在上的奇函数满足，那么等于（ ）A. B. C. D. 20.若某种物理试验进行10次，得到的实验数据为，20，18，22，19，21，20，19，19，19，20，21，则样本平均值及样本方差依次是（ ）A. 19.9 0.9 B. 19.9 0.99 C. 19.8 0.9 D. 19.8 0.99二、 填空题（每小题5分，共10题）1. 如果函数对称的图像与直线对称的交点恰有3个，则的值为_.2. 正方体中，截面和截面所成二面角的余弦值等于_.3. 直线与直线互相垂直，则的值为_.4. 若在圆上运动，则的最大值为_.5. 如图所示，是椭圆上的两个顶点，是右焦点，若，ABFOAA则椭圆的离心率是_.6. 已知，则_.7. 把函数的图像向右平移个单位，所得的图像正好关于轴对称，则的最小正值为_.8. 在中，已知且，则这个三角形的形状是.9.等差数列1，3，5，7，9，11，按如下方法分组：（1），（3,5）(7,9,11),(13,15,17,19)，第组中所有数的和=_.10.在中，的充分必要条件是；函数的最小值是；数列的前项和为，若，则数列是等差数列；空间中，垂直于同一直线的两直线平行；直线分圆所成的两部分弧长之差的绝对值为.其中正确的结论的序号为：_.