资源描述
五五 斯托克斯公式与旋度斯托克斯公式与旋度 有向曲面边界曲线的方向有向曲面边界曲线的方向.的的正正向向是是闭闭曲曲线线就就则则其其余余四四指指所所指指的的方方向向向向曲曲面面法法线线的的正正向向指指即即如如果果右右手手拇拇指指的的方方向向的的正正向向按按右右手手法法则则规规定定闭闭曲曲线线空空间间闭闭曲曲线线的的边边界界是是设设光光滑滑有有向向曲曲面面 ,CCC nC CzRyQxPddd dd)(dd)(dd)(yxyPxQxzxRzPzyzQyR 斯托克斯定理斯托克斯定理其其中中的的侧侧向向符符合合右右手手法法则则的的正正向向与与曲曲面面曲曲线线 C.上上式式称称为为斯斯托托克克斯斯公公式式.设设分分片片光光滑滑曲曲面面的的边边界界是是分分段段光光滑滑C 闭闭曲曲线线.空空间间 空空间间域域内内具具有有的的面面 一阶连续一阶连续偏导数，偏导数，则有则有 ddddddddd RQPzyxyxxzzyzRyQxPC ARQPzyxzRyQxPCd coscoscos ddd 或或 斯托克斯公式的实质：斯托克斯公式的实质：则则得得取取上上侧侧面面上上位位于于若若 ,0),(xOyzyxR .dd dd yxyPxQyQxPC格林公式格林公式xyzOnC.,推推广广格格林林公公式式在在三三维维空空间间的的是是型型曲曲线线积积分分之之间间的的关关系系定定向向边边界界曲曲线线上上的的第第二二二二型型曲曲面面积积分分与与曲曲面面的的表表达达了了有有向向曲曲面面上上的的第第例例1.计算计算 ，其中，其中 为为平面平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角形的被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这三角形上侧的法向整个边界，它的正向与这三角形上侧的法向量之间符合右手规则。量之间符合右手规则。ydzxdyzdxzxy解ydzxdyzdxdydxdxdzdzdy23dxdy3xyDdzyxdyzxdxyzC)()()(xyDdxdydydx.222yxzxyzzyxdydxdxdzdzdyxyoz1xyD1CxyzO111xyO1123 yx21 yx2121解:取所围成的部分的上侧被为平面 23 Czyx，1 ,1 ,131 n的单位法向量，即31coscoscos，由Stokes公式得 CdzyxdyxzdxzyI)()()(222222dSyxxzzyzyx2222223131314()392xyz dS .29)8121(66xyDdxdyxyDdxdydS3322334二二.环量与环量面密度环量与环量面密度1.1.环量环量定义定义设有向量场),(),(),(zyxRzyxQzyxPA，称的沿有向闭曲线 CA曲线积分 CCRdzQdyPdxdsA 为的沿有向闭曲线向量场 CA环量环量。环量表示了A 向量场沿有向闭曲线 C 旋转的整体 性态，但它不能表示A 向量场在一点处的旋转性态。定义定义 中的一点为向量场设 AM，处取定一个在点 M n 方向，作一小曲面，使其在 nM的法向量为点。小曲面的S面积记为，其边界为分段l 光滑闭曲线，nl 与的关系按右手法则确定，向量场正向的沿 lA 与环量 曲面面积S之比 称为绕沿曲线在点 lMA n 向量的平均环量面密度平均环量面密度。ldsASS 1nlM如果当在保持为其法向量 n而任意收缩到点 M 时，的 S极限存在，则称此极限为向量场MA 在点 沿的向量 n环量面密度环量面密度，记为Arotn，即 lMndsASArot 1lim.注意注意:环量面密度是一个数量，它是环量对曲面环量面密度是一个数量，它是环量对曲面 面积的变化率，且在点面积的变化率，且在点 M 沿不同方向可能有不沿不同方向可能有不 同的环量面密度同的环量面密度。中的一点为向量场设 AM。若存在一个向量，其方向 是处在点 MA，环量面密度取最大值的方向，其模恰好 是环量面密度所取得的最大值，则称此向量为 A向量场 在点M处的旋度旋度，记为Arot。设),(),(),(zyxRzyxQzyxPA，其中RQP,具有一阶连续偏导数，记,yPxQxRzPzQyR，则有 lA ds dSn 公式Stokes积分中值定理).,()(的面积为SMSnM1lim nlMrot AA dsS MMMMnn)()(lim，,)(),cos(),cos(nnnnnArot即 MnnArot)(.这表明Arotn等于向量方向在 n上的投影，显然，当),cos(,0),(nn时有最大值，即的方向 n 的与 方向相同时，Arotn有最大值，其值为。.RQPzyxkjiArot 或 ,yPxQxRzPzQyRArot由此得旋度的表达式Arot：（2）)()(为数量场AgradArotArot；（3）0)(gradrot(),(zyxuu具有二阶连续偏导数)。证（3）：zuyuxuzyxkjigradrot )(.0)()()(222222kxyuyxujzxuxzuizyuyzu结论结论:梯度场无旋梯度场无旋例 4).(),(),2,3,1(),(MFrotMFdivMkjixyzF求设解11326)(,MFdivxyxzyzFdiv4,3,1)()(),(),(MFrotxyzzxyyzxxyzxyzxyzzyxkjiFrot四.空间曲线积分与路径无关的条件空间曲线积分与路径无关的条件 为保守场：F与与路路径径无无关关若若空空间间曲曲线线积积分分 LdFs 为无旋场：F0 Frot若若 为有势场：FgraduFu 使使若若存存在在函函数数,.称称为为势势函函数数u 定义：内的曲面。曲线而且完全在为边界，总可以作一块以内任一闭曲线为一空间区域，对线单连域一维单连通域LL:)(内。在，它所包围的区域完全面内任一闭曲为一空间区域，对二维单连通域:定理5:,)(),(),(),(则以下四个命题等价连续偏导数上有一阶一维单连域在空间线单连通域设函数zyxRzyxQzyxP0 ,)2(;0)1(LRdzQdyPdxLFrot有有闭闭曲曲线线内内任任意意光光滑滑或或逐逐段段光光滑滑对对内内恒恒成成立立在在 ),(),(000),(,),()4(;)3(zyxzyxABLRdzQdyPdxzyxuRdzQdyPdxduzyxuRdzQdyPdxRdzQdyPdx且且即即的的全全微微分分是是某某个个函函数数内内与与路路径径无无关关在在(,)(,)(,)x y zxy zu x y zPdxQdyRdz.),(),(),(zzyyxxdzzyxRdyzyxQdxzyxPxyzO),(zyxM),(zyxM),(1zyxM),(2zyxM).()(),()()(AuBuzyxuduRdzQdyPdxBAABCABC例例5 证明力场证明力场 是是有势场，求其势函数。并计算质点从有势场，求其势函数。并计算质点从 移动到移动到 时，力时，力 所做的功。所做的功。0,yx3,xy6x2F2220,0,10,1,1F解00yx3xy6x2zyxkjiFrot222F为有势场。为有势场。dyyx3dxxy6x2du222323y31yx3x32d势函数Cy31yx3x32u3230,1,10,0,1sdFw380,0,1u0,1,1u证：0222 222xyzxzyyzxzyxkji，),(zyxuu存在函数，使得.)2()2()2(222dzxyzdyxzydxyzxdu曲线积分与路径无关，取)0 ,0 ,0(),(zyx，3),(Rzyx，有 dzxyzdyydxxzyxuzyx020202)2(),(,2)(31333xyzzyx.2)(31333Cxyzzyxu 另另解解：dzxyzdyxzydxyzxdu)2()2()2(222)222()(222xydzxzdyyzdxdzzdyydxx)2()(31333xyzdzyxd，.2)(31333Cxyzzyxu 作作 业业 18 16(1);15(1);14(1);13(1)(3);)174(3.7P习习题题
展开阅读全文