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第二章,平面向量,2.4平面向量的数量积,2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义,自主预习学案,1平面向量的数量积的定义,|a|b|cos,0,|a|cos,|b|cos,ab0,|a|b|,|a|b|,a2,|a|2,|a|b|,3平面向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数 (1)交换律：ab_ (2)结合律：(a)b_ (3)分配律：(ab)c_,ba,(ab),a(b),acbc,B,A,解析本题考查数量积的概念及向量运算上述7个命题中只有正确对于，两个向量的数量积是一个实数，应有0a0；对于，应为0a0；对于，由数量积定义，有|ab|a|b|cos|a|b|，这里是a与b的夹角，只有0或时，才有|ab|a|b|；对于，若非零向量a、b垂直，有ab0；对于，由ab0可知ab，即可以都非零,4(2018全国卷理，4)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)() A4 B3 C2 D0 解析a(2ab)2a2ab2|a|2ab |a|1，ab1， 原式21213 故选B,B,互动探究学案,已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，试求： (1)ab； (2)(ab)(ab)； (3)(2ab)(a3b) 思路分析根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可,命题方向1平面向量的数量积,典例 1,规律总结求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简,跟踪练习1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积,命题方向2向量的投影,(1)若|a|4，ab6，求b在a方向上的投影； (2)已知|a|6，e为单位向量，当它们之间的夹角分别等于60，90，120时，求出a在e方向上的投影,典例 2,(2)a在e方向上的投影为|a|cos 当60时，a在e方向上的投影为|a|cos603； 当90时，a在e方向上的投影为|a|cos900； 当120时，a在e方向上的投影为|a|cos1203,规律总结求一个向量在另一个向量方向上的投影时，首先要根据题意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算即可,命题方向3利用向量的数量积解决有关模、夹角问题,思路分析(1)先求ab，再用|ab|与ab的联系求解 (2)根据题中所给等式求出向量a与ab的夹角公式中涉及的所有量，代入公式求解即可,典例 3,3,利用向量的数量积判断几何图形的形状,思路分析易知abc0，分别将a、b、c移至等号右边，得到三个等式，分别平方可得ab、bc、ca，选取两个等式相减即可得到a、b、c中两个向量的长度之间的关系,典例 4,规律总结依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向,B,混淆向量的模与实数的运算,已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为120，求|ab|及|ab|的值,典例 5,错因分析该解法错误地类比实数运算中的法则，实际上|a2b2|(ab)(ab)|ab|ab| 思路分析直接利用完全平方和(差)公式,规律总结利用数量积求解模的问题，是数量积的重要应用，解决此类问题的方法是对向量进行平方，即利用公式：aa|a|2，从而达到将向量转化为实数的目的,D,1若acbc(c0)，则() Aab Bab C|a|b| Da在c方向上的投影与b在c方向上的投影必相等 解析设a与c的夹角为1，b与c的夹角为2， acbc，|a|c|cos1|b|c|cos2， 即|a|cos1|b|cos2，故选D,D,2下列命题正确的是() A|ab|a|b| Bab0|a|b|0 Cab0|a|b|0 D(ab)cacbc 解析选项D是分配律，正确，A、B、C不正确,D,A,D,5已知|b|5，ab12，则向量a与b方向上投影为_,
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