3．4 基本不等式1

苏教版普通高中课程标准实验教科书数学 必修5 3.4 基本不等式(第一课时）江苏省西亭高级中学 王小亮 【教学目标】 知识目标：（1）探索并了解基本不等式，通过基本不等式的多种不同表征形式，揭示公式本质（2）通过基本不等式的证明过程，了解演绎证明的三种常用方法，即比较法、分析法、综合法，并能运用三种方法证明简单的数学命题（3）通过“整体代换”基本不等式，得出其它不等式，并会用基本不等式来证明不等式过程与方法：（1）通过图形得出不等式，并结合代数方法来进行严格证明，在得出基本不等式的探索过程中，强化数形结合思想，体会由感性上升到理性的思维过程（2）在利用基本不等式变形形式结论的过程中，通过整体代换，先编题后解题，且由简单的代换和配凑后的代换，体会不等式的产生，发展过程，体会数学的灵活变化特点，发展学生的数学思维能力情感、态度与价值观：1. 通过本节的学习，认识相等和不等的辩证关系，“不等”是普遍的，绝对的，而“相等”是局部的，相对的2.通过学生的亲身编题，让其它同学证明，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探究的学习态度教学重点：基本不等式及利用基本不等式证明不等式教学难点：不等式的证明方法.【学法与教学用具】1. 学法：自主探究、合作交流、共同总结、自主运用。2.学法指导：主要让学生动手实践，课上尽可能多地让他们探究，教师只是加以点拨；发现，证明过程基本以学生为主，其中分析法，综合法的介绍以及知识的建构是以教师引导为主，在新知运用模块也是坚持学生为主体，适当的时候加以引导,通过“编题-变题-解题”的方式呈现，并体验探究、发现和创造的乐趣3.教法：开放式探究、启发式引导、互动式讨论.4.教学用具：多媒体【教学过程】一、 情境设置，提出问题师：在现实生活中，有很多相等和不等的关系，数学中同样存在，例如“三角形中内角和等于180，两边之和大于第三边”等等，今天，这堂课我们继续来探究数学中的相等和不等关系.数学源于生活，首先一起来探究实际生活中的实际问题：问题1:某半圆拱梁示意图如图所示，半圆拱梁由竖直方向支柱支撑，现有一根严重破损需要更换，在测得到直径两端的水平距离分别为20m，80m的条件下，如何合理推算出该支柱的高度？（讨论交流解决方案，无需给出结果）ABHC 图2图1生：畅所欲言，罗列以下方法：建系，补全圆（相交弦定理），构造直角三角形（三角形相似，射影定理）师：推广到一般情况：问题2：如图2 ，设，则_，半径=_.生：，问题3：能否比较这两个量的大小？师：当时，-8分钟.过渡语：刚刚我们从几何图形的角度得到当时，.，而数学最让人崇拜的就是其理性精神，所以我们不能满足于直观所获得的认知，而要用严谨的推理来证明.请用代数方法给出证明.并将完整的证明过程书写在学案活动一的位置.二、合作探究，理性论证（约12分钟）活动二 证明：（将证明过程写在答题区域内）（学生自主证明，展示）自主证明大约4分钟师：下面我们一起探讨代数证明都有哪些方法？先找用作差比较法的学生展示，点评：该同学采用是作差比较法.作差后，通过配方说明恒大于等于零，从而说明恒成立.很好！（板书（作差）比较法）.师：转化为只要证明，转化为只要证明，进一步分析为要原不等式成立，只需成立，而最后一个不等式是成立的，则反推出.很好，这种从结论出发，分析寻找要它成立的条件，这种证法形象称为分析法，但它对书写的要求很高，前面必须要加上“要证，只要证”当然我们书写时也可以在分析法的基础上，改变书写顺序.从条件出发，推出结论.也就是另外一种书写的方法：综合法.师：刚刚我们从三种方法：比较法，分析法，综合法给出猜想的严格证明，说明是严格成立的.并且从比较法中可以看出，出现，a和b的约束，也可以=0，也就是条件为，且当a=b时，即为，反过来要只能a=b.故取等号的条件是，当且仅当a=b时.这就是本课我们要学习的基本不等式.（亮课题，板书课题）同时思考，基本不等式成立的条件，等号成立的条件，基本形式分别是什么？三、严谨思维，构建新知当时，（当且仅当时，取到等号）师：这就是本节课我们要学习的基本不等式，对于基本不等式：（1）条件是什么？（2）何时等号成立？（3）基本形式：积与和的不等关系.生说师写.（1）;（2）当且仅当时，取到“=”.（3）师：左边出现ab，右边出现a+b的形式，也就积与和的不等关系.师：其中称为a，b的几何平均数. 称为a.b的算术平均数，也就是两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.如果从数列的角度理解就是正的等比中项不大于等差中项.它们的几何意义就是“半弦不大于半径”.师：当然除了基本不等式有特殊的代数意义和几何意义外，它还可以通过变形和代换推出其它很多的不等式，变形：，两边平方得：.学习了基本不等式，我们应该如何使用呢？这里，两个a，b可以用是两个非负的常数，也可以是两个非负的表达式，比如：，等等，代换的表达式是一个变量，多个变量，可以是一次式，二次式，分式，根式，指数式，对数式，只需替换的两个表达式是非负数即可.接下来由你们用两个非负的表达式来代换a，b，并把不等式及不等式成立的条件写在例1的位置，选择部分同学将它作为本节课的例题，一起来给予证明. -25分钟四、编证演练，巩固新知活动二 请你用基本不等式：当时，通过代换a，b，得到不等式.教学设想：1.发挥学生的主观能动性，创造力.2.最好出现：，3.选择两个：其中一个我证.另外一个与书上的例题相同形式的学生证.（如果未出现，在的基础上，一边变成常数，修改.）让其它同学证明.点评：要是一边是常数，只需代换基本不等式的两个表达式的乘积是定值就可以了.4.进一步深化，我来编一个，你们来证：. （如果学生没有证到，我就将替换的过程，以引导学生证明）五、总结提炼，内化新知1.知识结构；通过变形和代换得到其它不等式.2.学习过程； 观察 猜想 证明 应用，从感性到理性；从编题到解题.3.思想方法：.数形结合思想，整体代换思想.其实今天这堂课不仅收获了基本不等式，替换得到的很多不等式，这些都是我们同学自己发现并验证的，说明我们同学还是很有创造力和想象力，在今后的学习中，敢于创新，勇于钻研，我们在座的都可能成为笛卡尔.六、课外作业，延伸新知（1）必做题：课本P98 1，2，6，7（2）探究题：请在课后利用基本不等式当时，（当且仅当时，取“=”），通过代换a，b，“造”出一些不等式请用“我编你证”模式完成：求证：若 ，则 投影仪 课题 1.基本不等式.: 2.证明方法. 3.变形 4.代换七、板书设计