1.2数量积向量积混合积1ppt课件

河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学 高等数学上）高等数学上）第八章 空间解析几何与向量代数河海大学理学院高等数学 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW(其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积第四节 数量积 向量积 混合积河海大学理学院高等数学ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr|.Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积.河海大学理学院高等数学关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2(ba.ba)(,0 ba,0|a,0|b,0cos .ba.|)1(2aaa )(,ba ,0cos .0cos|baba,0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2,2 河海大学理学院高等数学数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1交换律：交换律：;abba （2 2分配律：分配律：;)(cbcacba （3 3假设假设 为为数：数：),()()(bababa 假设假设 、为数：为数：).()()(baba 河海大学理学院高等数学,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 ikkjji,1|kji.1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式河海大学理学院高等数学 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为河海大学理学院高等数学解解ba)1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3(.3|Pr bbaajb .43 河海大学理学院高等数学例例 2 2 证明向量证明向量c与向量与向量acbbca)()(垂直垂直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(河海大学理学院高等数学例3.利用数量积推出三角形的余弦定理Bacacbcos2222Cabbaccos2222ABCacb解解BCACBA两边平方得两边平方得即即所以所以2222BCACACBABA 2222-BCACACABBA Abccbacos2222同理可得同理可得河海大学理学院高等数学例例4.已知三点已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2)求求AMB.解解MAMBMA作向量作向量及及MB,AMB,AMB 就是向量就是向量及及的夹角的夹角,而而代入两向量夹角余弦表达式得代入两向量夹角余弦表达式得.3,21|cos 由由此此得得 AMBMBMAMBMAAMB ,0,1,1 MBMA1,0,1 2101|2011|1100111222222 MBMAMBMA河海大学理学院高等数学 设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点，有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处力力F与与OP的的夹夹角角为为，力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的方向垂直于的方向垂直于OP与与F所决所决定的平面定的平面,指向符合右手系指向符合右手系.实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积LFPQO 河海大学理学院高等数学向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac(其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系.关于向量积的说明：关于向量积的说明：.0)1(aa)0sin0(ba)2(/.0 ba)0,0(ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.河海大学理学院高等数学向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2分配律：分配律：.)(cbcacba （3假设假设 为为数：数：).()()(bababa )(,0 ba,0|a,0|b,0sin ,0 )(0sin .0sin|baba证证ba/ba/或或0 河海大学理学院高等数学,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji ,0 kkjjii,jik ,ikj ,kij .jki ,ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式河海大学理学院高等数学向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出河海大学理学院高等数学zzyxbaaa 000,0 yxaa补充补充|ba 表示以表示以a和和b为邻边为邻边的平行四边形的面积的平行四边形的面积.xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，abbac 河海大学理学院高等数学解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj ,55510|22 c|0ccc .5152 kj河海大学理学院高等数学ABC解解D3,4,0 AC0,5,4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225|AC,5)3(422|21BDS|AC|521225BD .5|BD河海大学理学院高等数学解解),sin(|nmnmnm ,8124 0),(pnm pnm )(cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，河海大学理学院高等数学定义定义 设已知三个向量设已知三个向量a、b、c，数量，数量cba )(称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba.cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积三、向量的混合积河海大学理学院高等数学（1向量混合积的几何意义：向量混合积的几何意义：向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面.0 cba河海大学理学院高等数学解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 河海大学理学院高等数学,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.