江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 二次函数与方程、不等式

江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 二次函数与方程、不等式基础知识：一、二次函数1 定义：形如yax2bxc(a0)的函数叫二次函数.2 二次函数的有关性质 a0时，开口向上 开口方向 a0时，开口向下 对称轴方程 x 自然定义域：R 定义域 指定定义域：Da0y0xx0ya03 图象 x x4 二次函数的解析式 一般式：yax2bxc 顶点式：ya(xm)2n，其中(m，n)是二次函数图象的顶点 交点式：ya(xx1)(xx2)，其中x1、x2是一元二次方程ax2bxc0的两实根二、二次方程1 当f(x)ax2bxc中，f(x)0时，即得到二次方程 ax2bxc0其解的几何意义即为二次函数的图象与x轴的交点横坐标.2 根的判别式b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；0时，方程有两个相等的实数根；0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根3 根与系数的关系(韦达定理)x1x2，x1x24 二次方程根的分布根的位置图象位置等价条件ax2bxc0(a0)若有二根x11，x21则f0 若有二根x1，x2(2，3)则 f0 f0 0 (2，3)三、一元二次不等式y0xy0xa0y0xx0x1 x2一元二次不等式ax2bxc0(或0)的解集，即函数f(x)ax2bxc的自变量的取值范围，使其函数值f(x)0(或0)的自变量的取值范围. 0 0 0例题：y0x1 选择填空题 f(x)x2bxc对任意实数t都有f(2t)f(2t)，那么( )A.fffB.fffC.fffD.fff解：由题意，f(x)的图象关于直线x2对称，且图象开口向上，画出示意图，由图象知fff，选A x2 已知ylog(x22x)在区间(，0)上单调递增，则a的取值范围是( )A.a1B.1a1C.aR且a0D.a1或a1解：由函数的单调性的定义知：x在(，0)上增大时，函数值y随之增大，故有以下过程：x: 0ux22x:0故必有0a21 1a1且a0.选B 已知函数ylog(x26x7)，则y( )A.有最大值没有最小值B.有最小值没有最大值C.有最大值也有最小值D.没有最大值也没有最小值解： ux26x72，)而定义域要求u0，即u(0，) blog0.5u b(，).选D2 填空题方程x22|x|a(aR)有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是_.解：令y1x22|x|，y2a则y1，其函数图象如下：思考：a为何(范围)值时，方程无实数根？有四个实数根？有三个实数根？关于x的方程x22ax90的两个实数根分别为、，则(1)2(1)2的最小值是_.解：方程有实数根，故4a2490 a3或a3又2a，9 y(1)2(1)2 ()22()22 4a24a16 a3或a3 y8(a3时取等号) ymin83 已知函数yx24ax2a30的图象与x轴无交点，求关于x的方程|a1|1的根的范围.分析：由于图象与x轴没有交点， 所以0，解得a的取值范围 又对于每一个a值，原方程都是一元一次方程，但由于a是变化的，可知，x是a的二次函数，又再转化为二次函数在有限制的区间内的值域问题.解： yx24ax2a30的图象与x轴无交点，所以(4a)24(2a30)0解得：2.5a3当a(2.5，1时，方程化为x(a3)(2a) a2a6(当a(1，3)时，方程化为x(a3)aa23a(4，18)综上所述：x(，18)4 设a，b为实常数，k取任意实数时，函数y(k2k1)x22(ak)2x(k23akb)的图象与x轴都交于点A(1，0). 求a、b的值； 若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值.分析：由A在曲线上，得k的多项式对k恒成立，即可求的a，b的值.解：由已知条件，点A(1，0)在函数图象上，故(k2k1)2(ak)2(k23akb)0整理得：(1a)k(b12a2)0 对kR，上式恒成立 1a0且b12a20从而a1，b1y(k2k1)x22(k1)2x(k23k1)设B(，0)，则|AB|1|(k2k1)x2-2(k1)2x(k23k1)0的两个根为1、，由韦达定理1整理得：(1)k2(3)k(1)01时，得2k0 k01时， kR， 0即(3)24(1)20得：1且1综合得：1 21 |AB|1|0，2即|AB|的最大值为2.5 设实数a、b、c满足a2bc8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范围.分析：如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题，转化为只含有a的不等式，是解决本题的关键，仔细分析观察方程组的特点，发现可以利用a来表示bc及bc，从而用韦达定理构造出a为变量的一元二次方程，由0建立a的不等式.解：由得：bca28a7 由得：(bc)2a22a1 即bc(a1) 由得b，c为方程x2(a1)x(a28a7)0的两个实数根，由于b，cR，所以0即：(a1)24(a28a7)0即：a210a90得：1a96 设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的两个根x1、x2满足0x1x2.当x(0，x1)时，证明xf(x)x1；.设函数f(x)的图象关于直线xx0对称，证明:x0.分析：由于涉及方程根的问题，故需用韦达定理来分析和解决.证明:.令F(x)f(x)x.因为x1、x2是方程f(x)x0的根，得 F(x)a(xx1)(xx2)当x(0，x1)时，由于x1x2，xx10，xx20得(xx1)(xx2)0，又a0，得 F(x)a(xx1)(xx2)0即xf(x).而x1f(x)x1xF(x)x1xa(xx1)(xx2)(x1x)1a(xx2)因为0xx1x2所以x1x0，1a(xx2)1a0得 x1f(x)0即 f(x)x1.依题意知x0.因为x1，x2是方程f(x)x0的根，即x1，x2是方程ax2(b1)xc0的根，所以 x1x2 x0因为ax21，所以x07 若关于x的二次方程7x2(p13)xp2p20的两根、满足012，求实数p的取值范围.解：设f(x)7x2(p13)xp2p2根据题意得：f(0)0f0f0即 p2p20p22p80p23p0解得：p(2，1)(3，4)