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三角形中的几何计算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在ABC中,已知2cos B=,则此三角形的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.不能确定【解析】选B.由余弦定理的推论可得:2cos B=2=,整理可得:c2-b2=0,即b=c,则ABC为等腰三角形.2.等腰三角形一腰上的高是,这条高与底边的夹角为60,则底边长等于()A.2B.C.3D.2【解析】选D.如图所示,BD=,DBC=60,则DCB=30.在直角BCD中,根据正弦定理可得BC=2.3.(2019大庆高一检测)在ABC中,a2+b2-ab=c2=2SABC,则ABC一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos C=,又0C,所以C=,因为c2=2SABC=2absin C=ab,又=2R,所以sin2 C=sin Asin Bsin Asin B=,又A+B=,所以sin Asin B=sin Asin (-A)=sin A=,所以sin (2A-)=,因为0A,所以-2A-,所以2A-=或,解得:A=,B=或A=,B=,所以ABC一定是直角三角形.4.设锐角ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,B=2A,则b的取值范围()A.(,2)B.(1,)C.(,)D.(0,2)【解析】选C.锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=2A,解得A,因为a=1,B=2A,所以由正弦定理可得:=2cos A,所以2cos A,则b的取值范围为(,).5.(2019湖北四校期中联考)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c2-a2-b2+ab=0,a+b=2c,SABC=.则边长c等于()A.B.4C.2D.【解析】选C.因为a2+b2-c2=ab,故cos C=,因为C,故C=.将c=代入a2+b2-c2=ab,整理可得a2+b2-2ab=0,(a-b)2=0,所以a=b,所以ABC为等边三角形,故SABC=c2=,解得c=2.6.在ABC中,三边长分别为a-2,a,a+2,最大角的正弦值为,则这个三角形的面积为()A.B.C.D.【解析】选B.因为三边不等,所以最大角大于60,设最大角为,故对的边长为a+2,因为sin =,所以=120,由余弦定理,得(a+2)2=(a-2)2+a2+a(a-2),即a2=5a,解得a=5,所以三边长为3,5,7,SABC=35sin 120=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=_.【解析】因为在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,所以AB=BC.由余弦定理得AC=BC,故BCBC=ABACsin A=BCBCsin A,所以sin A=.答案:8.等腰ABC中,顶角A=120,腰长AB=1,则底边BC长为_.【解析】易知B=C=30,由正弦定理知:=,所以BC=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2019泰州高一检测)如图,在平面四边形ABCD中,D=,CD=,ACD的面积为.(1)求AC的长;(2)若ABAD,B=,求BC的长.【解析】(1)因为D=,CD=,ACD的面积为,所以SACD=ADCDsin D=AD=,所以AD=,所以由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcos D=6+6-26(-)=18,所以AC=3,(2)由(1)知ACD中AD=,CD=,D=,所以DAC=,因为ABAD,所以BAC=,又因为B= ,AC=3,所以在ABC中,由正弦定理得=,即=,所以BC=3.10.在ABC中,已知BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)=1.(1)求角C的度数及AB的长;(2)求ABC的面积.【解析】(1)因为2cos(A+B)=1,所以A+B=60,故C=120.由a,b是方程x2-2x+2=0的两根,得a+b=2,ab=2,又AB2=c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-2abcos C=12-4-4=10.所以AB=.(2)SABC=absin C=2=.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在ABC中,AB=2,C=,则AC+BC的最大值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.根据正弦定理得到=,AC+BC=sin B+sin A=sin B+sin=4sin,因为角B,故B+,故得到4sin(2,4.故最大值为4.2.在ABC中,D为BC的中点,满足BAD+C=,则ABC的形状一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选D.如图所示,因为D为BC的中点,所以BD=CD,因为BAD+C=,所以CAD+B=,sin BAD=cos C,sin CAD=cos B,在ABD中,由正弦定理=,同理,=,所以=,即=,所以sin Bcos B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,所以2B=2C,或2B+2C=,即B=C,或B+C=A=,所以ABC的形状一定是等腰三角形或直角三角形.3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=3,tan B=2tan A,则ABC的面积为()A.2B.3C.3D.4【解析】选B.因为tan B=2tan A,可得:=,即:2sin Acos B=cos Asin B,所以sin C=sin Acos B+cos Asin B=3sin Acos B,由正弦定理得:c=3acos B,因为a=2,c=3,所以cos B=,因为B(0,),得:sin B=.所以SABC=acsin B=23=3.4.已知锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,b2+c2-bc=4,则ABC的面积的取值范围是()A.B.(0,C.D.【解析】选C.因为a=2,b2+c2-bc=4,所以cos A=.已知A为锐角,可得A=,sin A=,B+C=,因为由正弦定理可得=,可得b=sin B,c=sin,所以SABC=bcsin A=sin Bsin=sinB=sin 2B-cos2B+=sin+,因为B,C为锐角,可得B,2B-,可得sin,所以SABC=sin+.5.在ABC中,C=90,M是BC中点,若sinBAM=,则tanABC的值为()A.B.C.2D.【解析】选B.如图所示,令BC=a,AB=c,AC=b,CM=MB=,在AMB中,由正弦定理得=,即=,解得sinAMB=,所以cosMAC=cos=sinAMC=sin(-AMB)=sinAMB=,在直角ACM中cosMAC=,所以=,化简可得a4-4a2b2+4b4=(a2-2b2)2=0,解得a=b,故tanABC=.二、填空题(每小题5分,共20分)6.如图,在ABC中,AC=BC,C=,点O是ABC外一点,OA=4,OB=2,则平面四边形OACB面积的最大值是_.【解题指导】利用余弦定理,设AOB=,设AC=BC=m,则AB=m.由余弦定理把m表示出来,利用四边形OACB面积为S=S四边形OACB=4sin +SABC=4sin +.转化为三角函数问题求解最值.【解析】ABC为等腰直角三角形,因为OA=2OB=4,不妨设AC=BC=m,角O为,则AB=m.由余弦定理,42+22-2m2=16cos ,所以m2=10-8cos .所以S四边形OACB=4sin +SABC=4sin+=4sin-4cos +5= 4sin+54+5.当=时取到最大值5+4.答案:5+47.(2019丹东高一检测)如图,在ABC中,C=90,AD是BAC的平分线,若sin B=,AD=7,则sin ADB=_;AB=_.【解析】记BAD=,则由C=90得cos 2=sin B=,cos 2=2cos 2-1=,所以cos =,所以sin ADB=sin ADC=cos DAC=cos =,又AD=7,所以sin ADC=,即=,AC=,又sin B=,AB=15.答案:158.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,=,则b+2c的最大值等于_.【解析】原等式可化为=,整理,得b2+c2-a2=bc,故cos A=A=.因为=2b+2c=2sin B+4sin C=2sin B+4sin=4sin B+2cos B=2sin(B+),其中为锐角,tan =.因为B,故当B+=时,b+2c取得最大值为2.答案:29.在ABC中,点D在AC边上,cosABC=-,AB=,BC=BD=1,则ADB= _.【解题指导】在ABC中由余弦定理可得AC=2,令AD=x,则DC=2-x.然后在ADB和CDB中分别由余弦定理的推论得到cosADB和cosCDB,由cosADB+cosCDB=0可求得x=.进而可得cosADB=-,于是得到ADB=.【解析】在ABC中由余弦定理可得AC2=()2+12-21=12,所以AC=2.设AD=x,则DC=2-x.在ADB和CDB中分别由余弦定理的推论得cosADB=,cosCDB=,由题意得ADB+CDB=,所以cosADB+cosCDB=0,所以+=0,解得x=.所以cosADB=-,又0ADBAD,所以AD=3.(2)在ABD中,由正弦定理可知=,又由cosBAD=,可知sinBAD=,所以sinADB=,因为ADB=DAC+C,DAC=,cos C=.
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