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高二理数专题资料导函数是分式且分子为二次的函数综合问题广州市二中学 张和发例1. （1）当求的单调区间（2）若在单调递增，求的取值范围 例2. , 求的最值。例3 求证：例4. , （1）讨论是否有极值. (2）(培优选用）讨论的零点个数. 例5（选用). 设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点 2. 巩固练习: 1函数的值域是_;2. 已知函数()=(1+)-+(0)，求()的单调区间. 3（2010山东理数改编） 已知函数.讨论的单调性；导函数是分式且分子为二次的函数综合问题例1. （1）当求的单调区间（2）若在单调递增，求的取值范围0+0-无-0+增减无减增的单调增区间是、；减区间是、例2. , 求的最值。解： 例3 求证：例4. , （1）讨论是否有极值. (2）(培优选用）讨论的零点个数.解： , +0-0+增极大值减极小值增 此分另在,处取极大值与极小值 综上所述，当时没有极值；当时才有极值(2) （i) 由（1）可知当时单调递增, 所以此时有且只有一个零点. （单调函数至多只有一个零点） (ii) 当时才有极值， 下面证明其极值小于0，法一： 且极大值为，极小值为 , 图形大致如右： 又由例3知 由（2）知极大值为且 所以只有1个零点。综合所述有且只有一个零点。 证明其极值小于0另法：由极值点处导数为0有(消去可避免讨论)(2) 判断零点个数另法：(分离变量法是常法，关键是分离后得到两边都是较简单的函数) 的零点即方程的解 因此g(x)的值域为R且是单调增函数必与有且只有一个交点，即有且只有一个零点。例5（选用). 设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，i)时，0，时，随的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点，ii)当时，此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时， 有一个极大值点和一个极小值点综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点 2. 巩固练习答案: 1法一：令t=x+1 , 列表（自已补） t0时; t0时 时g(t) 法二：直接法 列表（自已列出）由表知时f(x)有极值, 又所以x2. 解：，.（1） 当时，.所以，在区间上，；在区间上，. 故的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）当.（3）当即时， 故的单调递增区间是.（4）当即（）时， 由得，；由得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.（5）当即（）时，由得，；由得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.综上知: 当时，得单调递增区间是，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是； 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是 当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是.3 已知函数.讨论的单调性；解：因为的定义域为所以 ，令 ，则同号根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论： 当时，由于1，开口向下,结合其图象易知 ，,此时，函数 单调递减；时，此时，函数单调递增.当时， 开口向上,但是否在定义域需要讨论：因所以i) 当时，由于1，开口向上,结合其图象易知 ，此时，函数单调递增.时，,此时，函数 单调递减； ii)当时，g(x)开口向上且，但两根大小需要讨论确定： a) 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； b) 当，g(x)开口向上且在（0，）有两根 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减；8
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