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课时知能训练一、选择题1(2012广州模拟)已知椭圆1的左焦点F1，右顶点A，上顶点B且F1BA90，则椭圆的离心率是()A.B.C. D.【解析】由题意知|F1B|a，|AB|，|AF1|ac，a2a2b2(ac)2，a2acc20.1ee20，即e2e10，又0e1，e.【答案】A2椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A. B.C2 D4【解析】由题意知a2，b21，且a2b，4，m.【答案】A3已知椭圆：1的焦距为4，则m等于()A4 B8C4或8 D以上均不对【解析】由，得2m10，由题意知(10m)(m2)4或(m2)(10m)4，解得m4或m8.【答案】C4若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为21，则此椭圆离心率的取值范围是()A， B，C(，1) D，1)【解析】设P到两个焦点的距离分别是2k，k，根据椭圆的定义可知3k2a，又椭圆上的点到两焦点距离之差的最大值为2c，即k2c，2a6c，e.【答案】D5(2012汕尾质检)已知P为椭圆1上的一点，M、N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7C13 D15【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1、F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.【答案】B二、填空题6已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为_【解析】由题意知，c4，a8，b2a2c2641648，椭圆方程为1.【答案】17在ABC中，|AB|AC|，顶点A、B在椭圆1(ab0)上，顶点C为椭圆的左焦点，线段AB过椭圆的右焦点F且垂直于长轴，则该椭圆的离心率为_【解析】如图所示，由椭圆的对称性可知|AC|CB|，又|AB|AC|，ABC为等边三角形，AB过点F且垂直于x轴，|AF|，在RtAFC中|CF|AF|2c，b22ac整理得，e22e0解得e或e(舍)【答案】8(2012福建四校联考)已知两定点M(1,0)，N(1,0)，若直线上存在点P，使|PM|PN|4，则该直线为“A型直线”给出下列直线，其中是“A型直线”的是_(填序号)yx1；y2；yx3；y2x3.【解析】以M、N为焦点，长轴长为4的椭圆方程为1，则“A型直线”和该椭圆有交点容易验证直线、经过椭圆内一点，故直线是“A型直线”，直线和椭圆没有交点，故直线不是“A型直线”对于直线，由得7x224x240，此方程无解，从而直线和椭圆无交点，故不是“A型直线”【答案】三、解答题9(2011陕西高考)设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为. (1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标【解】(1)将(0,4)代入C的方程得1，b4.又由e，得，即1，a5，C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2. 设线段AB的中点坐标为(x，y)，则x，y(x1x26)，即中点坐标为(，)图86210如图862所示，点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值【解】(1) 由已知可知点A(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标为(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)，且y0，由已知得即2x29x180，解得x，y，点P的坐标为(，)(2)直线AP的方程为xy60，设点M的坐标为(m,0)，由题意可知|m6|，又6m6，m2，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215.当x时，d取得最小值.图86311(2011江苏高考)如图863，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长，交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；(2)当k2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k0，求证：PAPB.【解】(1)由题设知，a2，b，故M(2,0) ，N(0，)，所以线段MN中点的坐标为(1，)由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k.(2)直线PA的方程为y2x，代入椭圆方程得1，解得x，因此P(，)，A(，)于是C(，0)，直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为xy0.因此，d.(3)证明法一将直线PA的方程ykx代入1，解得x.记，则P(，k)，A(，k)，于是C(，0)故直线AB的斜率为，其方程为y(x)，代入椭圆方程得(2k2)x22k2x2(3k22)0，解得x或x.因此B(，)于是直线PB的斜率k1.因此k1k1，所以PAPB.法二设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，x1x2，A(x1，y1)，C(x1,0)设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.因为C在直线AB上，所以k2.从而k1k12k1k212110.因此k1k1，所以PAPB.
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