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广东省七校联合体中山一中2019届高三下学期冲刺试题理科数学一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合,则ABCD 2若复数满足,其中为虚数单位,则ABCD 3已知,命题:,:,则是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分且必要条件D既不充分也不必要条件 4函数的部分图像可能是5已知双曲线(,)与椭圆有共同焦点,且双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的方程为A BCD 6执行如图所示的程序框图,则输出的值为A B C D 7已知为正方形,其内切圆与各边分别切于,连接,现向正方形内随机抛掷一枚豆子,记事件:豆子落在圆内,事件:豆子落在四边形外,则A B C D 8如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的体积为A B C D 9将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后向左平移个单位长度,得到图象,若关于的方程在上有两个不相等的实根,则实数的取值范围是ABCD 10若函数,分别是定义在上的偶函数,奇函数,且满足,则ABCD 11已知,分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上位于第一象限内的点,延长交椭圆于点,若,且,则椭圆的离心率为ABCD 12已知函数,则的零点个数可能为 A个 B个或个 C个或个或个 D个或个二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13已知的展开式各项系数之和为256,则展开式中含项的系数为 14设等差数列的前项和为,若,则公差 15在中,其面积为3,设点在内,且满足,则 16已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上,棱锥的底面是边长为的正三角形,侧棱长为,则球的表面积为 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(满分12分)在中,内角、的对边分别为、,且(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求的值18(满分12分)2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣(1)完成下列列联表,并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?有兴趣没兴趣合计男55女合计(2)若将频率视为概率,现再从该校一年级全体学生中,采用随机抽样的方法每次抽取1名学生,抽取5次,记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列,期望和方差附表:0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519(满分12分)如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,(1)证明:平面平面;(2)若,为棱的中点,求二面角的余弦值20(满分12分)已知点,直线:,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且满足(1)求动点的轨迹的方程;(2)过点作直线与轨迹交于,两点,为直线上一点,且满足,若的面积为,求直线的方程21(满分12分) 设函数(1)求证:当时,;(2)求证:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有22选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系中,曲线的方程为,直线的参数方程(为参数),若将曲线上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得曲线(1)写出曲线的参数方程;(2)设点,直线与曲线两个交点分别为,求的值.23选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数,为不等式的解集.(1)求集合;(2)若,求证:.2019届高三理科数学七校联考冲刺试卷参考答案一、选择题BCAAD BCBCDDA 二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解:(1)由已知及正弦定理得:, (2) 又所以, 18.解:(1)根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100根据列联表中的数据,得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。(2)由列联表中数据可知,对冰球有兴趣的学生频率是,将频率视为概率,即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是,由题意知,从而X的分布列为X012345, .19.()证明:四边形ABCD是矩形,CDBC.平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCD=BC,CD平面ABCD,CD平面PBC, CDPB. PBPD,CDPD=D,CD、PD平面PCD,PB平面PCD. PB平面PAB,平面PAB平面PCD. (2)设BC中点为,连接,又面面,且面面,所以面。 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)知PB平面PCD,故PB,设,可得 所以由题得,解得. 所以设是平面的法向量,则,即,可取.设是平面的法向量,则,即,可取. 则, 所以二面角的余弦值为. 20.解:(1)设,则, ,即轨迹的方程为. (II)法一:显然直线的斜率存在,设的方程为,由,消去可得:,设,即,即,即, ,到直线的距离,解得,直线的方程为或 法2:()设,AB的中点为则直线的方程为,过点A,B分别作,因为为AB 的中点,所以在中,故是直角梯形的中位线,可得,从而点到直线的距离为:因为E点在直线上,所以有,从而 由解得所以直线的方程为或 21. 解析:(1)当时,等价于,构造函数,.则, 记,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减.于是,即当时,为上的增函数,所以,即.于是,当时,. (2)由(1)可知,当时,.于是,. 所以,.解不等式,可得,取.则对任意给定的正数,当时,有,即.22解:(1)若将曲线上的点的纵坐标变为原来的,则曲线的直角坐标方程为,整理得,曲线的参数方程(为参数)(2)将直线的参数方程化为标准形式为(为参数), 将参数方程带入得 整理得.,23.解:(1)当时,由解得,;当时,恒成立,;当时,由解得,综上,的解集(2)由得.- 10 -
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