练习六、整式乘除和因式分解

练习六、整式乘除和因式分解练习六、整式乘除和因式分解一、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：amanamn(m,n为正整数)2、幂的乘方：(am)namn(m,n为正整数)；3、积的乘方：(ab)nanbn(n为正整数)；4、同底数幂的除法：amanamn(a0, m,n为正整数，并且mn).当指数相同时，则有ananann a01， 即“任何不等于0的数的0次幂都等于1”二、整式乘法主要指两种运算： 1、单项式乘以单项式； 2、多项式乘以单项式.注：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“”“”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“”连结，最后写成省略加号的代数和的形式在多项式乘法中，通过实例得出了：含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式. 如果用a,b分别表示含有一个系数是1的相同字母的两个一次二项式中的常数项，则有公式：(xa)(xb)x2(ab)xab。三：整式的除法1、单项式相除，把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。注：系数先相除，所得的结果作为商的系数，特别注意系数包括前面的性质符号被除式里单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏要注意运算的顺序，有乘方先算乘方，有括号先算括号里特别是同级运算一定要从左至右，如：，而不是2、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。注：多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同用多项式的每一项除以单项式时，商中的每一项的符号由多项式中的每项的符号与单项式的符号共同确定四、乘法公式： 1、平方差公式：(ab)(ab)a2b2；2、完全平方公式：(ab)2a22abb2；(ab)2a22abb2.五：因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。理解因式分解的要点：1是对多项式进行因式分解；2每个因式必须是整式；3结果是积的形式；4各因式要分解到不能再分解为止。因式分解和整式乘法的关系。主要的因式分解的方法有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等。要点诠释： (1) 因式分解的对象是多项式，因式分解的结果一定是整式乘积的形式；(2) 因式分解的一般步骤是：首先看有无公因式，然后判断是否可以套用公式，最后考虑分组分解。分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止，一般情况是，最后结果只有小括号并且每个小括号中多项式首项系数为正。例如：-3x2+x=-x(3x-1)(3) 提公因式法的关键是确定公因式。即取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母各相同字母的指数取次数最低的；(4) 运用公式法时要注意判断是否符合公式要求，并牢记公式的特征；(5) 分组分解的关键是适当分组，先使分组后各组中能分解因式，再使因式分解能在各组之间进行。规律方法指导1、分解因式的一般步骤是先提取公因式，然后再利用公式。在提取公因式的过程中有很多情况应该先将所给的多项式中的某一部分进行变形，然后才能提取公因式或者利用公式进行分解因式。常用的变形公式是：和 (n为正整数)，即当次数是偶数时，可以随意改变括号里面的减数和被减数的位置，当次数是奇数时，在改变减数和被减数的位置之后，应该在括号的前面加一个负号。2、整体代换的思想方法在乘法公式中表现的特别典型，比如，在研究多项式乘多项式法则时，是把看成一个整体，运用单项式乘以多项式的法则，得到 然后再运用“单多”的运算法则即可得到 。在分解因式时，可以把看成一个整体，提公因式，即原式=。【例题讲解】例1、计算： (1)、103104； (2)、aa3； (3)、aa3a5 (4)、(103)5； (5)、(b3)4 (6)、(2b)3； (7)、(2a3)2； (8)、(a)3；(9)、(3x)4 （10）a6(a)3例2、计算：（1） （2）x(x23)x2(x3)3x(x2x1)例3、求x3(x1)2(x1)展开后，x2项的系数例4、下列各式从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A. a(ab1)a2abb; B. a2a2a(a1)2C. 4a29b2(2a3b)(2a3b);D. x24x5(x2)29注：因式分解即化成等式右边都是整式的乘积的形式例5、分解因式： (1)、 (2)、 （3） (x21)216(1x2)64.例6、计算： (1) 19992001 (2)1022(1)19992001 (2)1022(20001)(20001) (1002)22000212 1002210022240000001 1000040043999999 10404例7、已知ab4, bc6，求a2b2c2abbcca的值。解析：a2b2c2abbcca代入上式，得例8、计算：解析：原式 例9、已知x的多项式2x3x213xk因式分解后有一个因式为(2x1)(1)求k的值；(2)将多项式因式分解解析：(1)由题意，当2x10，即时，有2x3x213xk0， 即： k6(2)设2x3x213x6(2x1)(x2mx6)，则：2x3x213x62x3(2m1)x2(m12)x6根据恒等式两边同次幂的系数相等，得： 2m11，m12=-13，即m1则：2x3x213x6(2x1)(x3)(x2)【练习题】1、-an与(-a)n的关系是( )A. 相等 B. 互为相反数 C. 当n为奇数时,它们相等; 当n为偶数时,它们互为相反数 D. 当n为奇数时,它们互为相反数; 当n为偶数时,它们相等 2、有以下5个命题:3a2+5a2=8a2m2m2=2m2 x3x4=x12 (-3)4(-3)2=-36 (x-y)2(y-x)3=(y-x)5 中,正确命题个数有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3、下列从左到右的变形中,属于因式分解的是( )A.( x+1)( x-1)=- x2-1 B. x2-2x+1= x(x-2)+1 C. a2-b2=(a+b)(a-b) D. mx+my+nx+ny=(x+y)m+n(x+y)4、下列计算正确的是( ) A .(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x B. (x+y)(x2+y2)= x3+ y3 C. (-4a-1)(4a-1)=1-16a2 D. (x-2y)2=x2-2xy+4y25、4(a-b)2-4(b-a)+1分解因式的结果是( ) A.(2a-2b+1)2 B. (2a+2b+1)2 C. (2a-2b-1)2 D. (2a-2b+1) (2a-2b-1) 6、已知xa=3 xb=5 则x3a+2b的值为( ) A. 27 B. 675 C. 52 D. 90 7、若x2+mx-15=(x+3)(x+n),则m的值为( ) A. -5 B. 5 C. -2 D. 2 8、用分组分解法把分解因式，正确的分组方法是：（ ）A. B. C. D. 【注】分组分解法适用于四次或四项以上，分组后能直接提公因式 分组后能直接运用公式）。9、不能用十字相乘法分解的是 ()A B C D10、如果，则b为 () A5 B6 C5 D611、 .12、已知，求的值.13、已知：，则= .14如果（2a2b1）(2a2b1)=63，那么ab的值为_。15若则16、已知，则代数式的值是_17、已知：，则_，_18、多项式(mx+8)(2-3x)展开后不含x项, 则m= 19、20、21、已知：，求的值。22、已知，求的值。23、计算(5a3b)(-4abc) (-5ab)24、 已知22n+1+4n=48, 求n的值.25、已知(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,求 -(m+n)mn的值.26、你能说明为什么对于任意自然数n,代数式n(n+7)-(n-3)(n-2)的值都能被6整除吗?1. 因式分解： 因式分解的一般步骤第一步提取公因式法第二步看项数1两项式：平方差公式2三项式：完全平方公式、十字相乘法3四项或四项以上式： 分组分解法2. 提公因式法形如 3. 运用公式法平方差公式：，完全平方公式：3、 十字相乘法(1)对于二次项系数为1的二次三项式方法的特征是“拆常数项，凑一次项” (2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同一用十字相乘法分解因式（1） （2） （3） （4）4x2+24x+27. （5） （6） （7） （8） (9) 5x+6x-8 （10） (11).2x25x12 (12).3x25x2(13).6x213x+5 (14).7x219x6 (15). 6x213xy+6y2 (16).8x2y2+6xy35 二用分组分解法分解因式1.a(mn)b(mn) 2.xy(ab)x(ab) 3. abq(ab) 4. x3-x2y-xy2+y3 5. 4a2b22ab 6. 2a4bm(a2b)7.p3q9q2p2 8.s2t23s3t 9.x22x2yy210. a3+a2-a-1 11.9a26a2bb2 12.a2b2+x2y2-a2x2-b2y213 ax2ay2a2xa2y 14.x2y-y3-2xyz+yz2 15. a22bab2a 16.3ax5ay6bx10by 17.a2b24a4b 18.m24mn4n24 19.4x22xyy2 20. mn+m-n-1 21.a32a2bab2a22.a2b2a22abb2 23.x3x2yxy2y3 24.（axby）2（bxay）2三、若是完全平方式，求的值.四、求证：对于任意自然数，一定是10的倍数.五、因式分解练1、 2、 3、 4、 5、 6、7、 8、 9、练习六第 7 页2022/9/2