7．切线长定理1

切线长定理一、教材分析切线长定理是义务教育教科书（五四制）鲁教版九年级下册数学第五章第七节的内容。本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识，体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据，是切线的性质和判定的进一步应用，为进一步研究圆的数量关系做好了铺垫，起着承上启下的作用。二、学情分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，在本章圆前面已经学习了切线的定义、判定与性质、圆的对称性.因此学生对前面圆的相关知识都有一定的认识，这对本节课的学习有一定的帮助，学习过程不会很困难，理解也不很困难，处于这一阶段的学生，其思维已经具备了明显的逻辑性，但还不是不够完整，如何分析、如何入手等还有待进一步提高。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用轴对称图形的性质证明垂径定理的经验，和尺规作图等动手操作能力 ，经历了对数学问题进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程. 同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力。三、教学目标（1）知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。（2）能力目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。（3）素质目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。（4）情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。四、教学重、难点教学重点：理解切线长定理教学难点：灵活运用切线长定理解决实际问题五、教法与学法分析教法分析：教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“问题情境建立数学模型解释、应用、拓展”的模式进行教学。学法分析：新课程指出：学生是学生的主体。要学生成为真正的主人，需要在数学教学中的过程中，教师引导学生自主思考、合作探究、共同总结，从而体现学生学习的主体地位。本节课主要采用自主学习、合作探究、引领提升、讲练结合的方法展开教学。六、教学环节及课时安排激 合 运 拓 总 分 知发 作 用 展 结 层 识情 探 新 延 评 检 延趣 究 知 伸 价 测 伸导 思 体 提 思 各 分入 维 验 升 维 有 层新 碰 成 能 升 收 作课 撞 功 力 华 获 业课时安排：1课时七、教学过程环节教师活动学生活动设计意图激发情趣，导入新课出谋划策：问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺,到底谁能得到这根雪糕呢?该如何测量这个锅盖的半径呢? 先让学生思考，接着出示两位同学的做法，哪一种方法更好呢?教师引导学生发现A、B分别为O与PA、PB的切点，连结OB,OA,则四边形OBAP是正方形,所以，圆的半径为A点或B点的刻度，PA=PB.如果这根尺子的夹角不是90，是否还能得到PA=PB？我们给线段PA,PB如何命名呢？这样的线段具有怎样的性质呢？这就是本节课要学习的切线长定理，从而引入新课。学生们思考如何解决问题？学生们想法多样,可能会利用90的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两边与圆构造正方形来解答,联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定挑战性的问题情景，目的在于激发学生的探求新知的欲望，把学生的注意力较快地集中到本课的学习中。合作探究，思维碰撞合作探究，思维碰撞合作探究，思维碰撞合作探究，思维碰撞探究一:切线长定义1. 画一画问题1：过圆外一点可以引圆的几条切线？试试看问题2：PA和PB分别与O相切于点A、B ，从圆外这点P到两个切点之间线段的长我们叫切线长，哪位同学能用语言概括一下什么叫切线长？板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度叫做圆的切线长。问题3：剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句.（线段的长叫做切线长）（2）定义中的“线段”具有什么特征？ 在圆的切线上；两个端点一个是切点，一个是圆外已知点.2. 比一比问题：切线长与我们前面学习的切线有怎样的联系与区别呢？联系区别切线切线长探究二：切线长定理既然点P到O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，从而进入定理教学.1.议一议问题：从O外一点P引O的两条切线，切点分别为A、B， （1）这个图形是轴对称图形吗?如果是它的对称轴是什么？（2）在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由？探索步骤：（1） 学生独立思考；（2） 小组交流想法；（3） 从猜想，度量，折叠，证明等途径证明线段相等。2.证一证要证明线段相等，通常要构建全等三角形，引导学生添加辅助线。证明：连接OA,OB.PA、PB是o的两条切线，PAO=PBO=90。又 OA=OB，OP=OP，RtAOPRtBOP（HL）PA=PB3. 说一说（1）试用文字语言叙述你所发现的结论。板书定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.（2）将将文字语言转化为几何语言。PA、PB分别切O于A、BPA=PB我反思，我提高：切线长定理为证明线段相等提供新的方法。探究三：拓展延伸1. 试一试问题：（1）由上述的证明过程，你还会得到什么结论？（2）若连结两切点A、B，交OP于点C.你又能得出什么新的结论?并给出证明。（引导学生进行归类。）2. 小试牛刀如图，已知PA，PB是O的切线，A、B为切点，连结AB交OP于点C.若AB=6cm，APB=60，则PA=_;OA=_.引导学生看到60想等边三角形，求线段长度通常放到直角三角形中来解决。探究四：圆外切四边形的性质问题1：从圆外引圆的四条切线两两相交就构成了圆的外切四边形，猜想圆外切四边形的边长之间的大小关系？问题2：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和O分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.问题3：比一比圆外切四边形与圆内接四边形的区别？引导学生从边与角上加以区分。问题4：动手试一试等腰梯形各边都与O相切，O的直径为6cm，等腰梯形的腰等于8cm，则梯形的面积为_. 我反思我提高：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形.回顾辅助线的添加方法。（1）分别连结圆心和切点（直角）（2）连结两切点（等腰三角形）（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）学生动手画图，派一个代表去讲台上展示。生：从圆外一点可以做圆的两条切线。学生语言概括学生思考后回答，小组内进行补充。学生自主探索，相互交流相结合.首先让学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、 利用圆的对称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时激励学生寻找证明猜想的途径.学生口述证明过程，教师相应地进行板书。定理的剖析以对话形式进行。此环节让学生指出切线长定理的题设和结论，并让学生熟练掌握定理的三种几何语言（符号语言、文字语言、图形语言）的表示.学生各抒己见，可以互相补充，并进行归类。学生独立完成，并由一生讲解。请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论发现与结论并加以验证。学生独立完成跟踪练习。学生进行归纳总结。教师给与适当的评价。教师提出尝试性问题，引发学生思考，使学生从感性认识上升到理性认识，培养学生的思维能力，使学生从被动的学习转到主动探索中，感受到学习与探索的乐趣。培养学生的语言概括能力此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也使学生了解切线长与切线的关系此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。 通过学生思考语言概括出结论，及培养了语言表达与归纳的能力，又再次加深学生对概念的理解。随着一环紧扣一环的探索问题的深入，学生通过自主地发现问题、信息搜集与处理、表达与交流等探索活动，获得知识、技能，并获得积极的、深层次的体验，从而促进学生探究能力的发展。通过习题让学生应用核心知识，树立学生的应用意识。学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结的出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论。运用所学知识解决实际问题，发展应用意识。培养学生归纳概括能力，把知识纳入系统，便于学生存储、提取和应用。运用新知，体验成功(一)例题学习1.例题：已知如图，RtABC的两条直角边AC=10，BC=24，O 是ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求O 的半径.（1） 学生独立思考；（2） 一生讲解并板演；（3） 思考还有其他解法。教师引导学生观察并比较两种解法有什么不同？鼓励学生大胆发言。总结解此类题的一般步骤：（1） 设未知数（2） 利用切线长相等表示出每一组切线长（3） 构建方程。教师点拨：解决此类问题经常借助方程思想。（二）变式训练将 RtABC变为一般ABC.变式一：如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。变式二：如图， ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， ABC面积为36，求O的半径.教师引导：一般三角形求圆的半径，可以借助面积和相等来解题。一名学生黑板板书，其余学生动笔在练习本上解题。学生完成一种解法后思考第二种解法，并总结两种解法的解题思路和步骤，体会方程思想。学生独立完成变式， 并在学案上完成解题步骤。培养学生独立思考能力和解题过程的严密性。一题多解培养学生的发散思维，让学生归纳解题过程，培养学生的表达能力，加深对知识的理解和掌握。进一步渗透方程思想，熟悉用代数的方法解决几何题。本环节利用由简入深的变式，充分发挥学生的主体地位，加深学生对本课内容的学习与了解，加强数学思想的渗透力，从而提高学生分析、解决问题的能力，达到触类旁通！拓展延伸，提升能力（一）永攀高峰如图，PA,PB分别与O相切于A,B两点， C是弧AB上任意一点，过点C作O的切线，分别与PA、PB相交于点D、E，若 PA=PB=5cm，求PDE的周长. AD.OPCEB让学生分析问题后，提出问题：1、从图中可得出哪些结论？请说明理由.2、求PDE的周长时，应如何利用已知条件？（二）学以致用为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关数据，进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？（引导学生连结OA、OB、OP，利用切线长定理解答）学生研究讨论寻找解题方法，进行题后小结。学生思考后，小组交流思路。提高学生自主建构知识网络，分析、解决问题的能力。 让学生能够将实际问题转化为数学问题，让学生更直观、深刻地理解数学来源于生活，服务于生活。总结评价，思维升华同学们，本节课的内容即将结束，我们来回顾一下今天学习的内容，请同学们围绕一下问题畅所欲言：1、你的学习心得、体会是什么？2、你有哪些好的经验可推广？3、你还存在哪些困难、疑问？师总结：切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据.学生相互交流自己的收获体会，教师参与互动并给予鼓励性评价。让学生形成知识网络，完善认知结构，反思自己学习过程，进而发现学习的差距以及误区，从而更好地为后续学习而努力。分层检测，各有收获必做题：1、 如图（1）PA、PB分别切O于A、B两点，APB= 50。连结PO，则 APO=_.A.OPB2、如图（2）PA、PB、DE分别切O于A、B、C，O的半径为6cm，OP的长为10cm，则PDE的周长是_选做题如图，AC为O的直径，PA、PB分别切O于点A、B，OP交O于点M，连结BC. (1)若OA=3cm, APB=60，则PA=_.(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明学生独立完成检测。通过分层检测，使不同的学生在数学上得到不同的发展。及时了解学情，便于更好的进行反思与整改。知识延伸、分层作业必做题：已知：如图，O是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，（1）图中共有几对相等线段？（2）若AF=4，BD=6，CE=8，则ABC的周长是 ；（3）若AB=9，BC=15，AC=12，则AF= ，BD= ，CE= .选做题：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，以AB为直径的O与DC相切于E已知AB=8，边BC比AD大6，求边AD、BC的长。学生课下独立完成本着“使不同的学生在数学上得到不同的发展”的原则，通过分层作业的设置使全体学生巩固基础，对于学有余力的学生可以通过类比的方法拓展提高加深对课上知识、数学思想、方法的巩固。八、板书设计切线长定理A .OPBPA、PB分别切O于A、BPA=PB 线段相等： 角相等： 垂直关系： 三 角 形全 等： A例1：D FOCB E 学生板演