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梯形1、（2013宁波）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=，BC=4，连结BD，BAD的平分线交BD于点E，且AECD，则AD的长为（）考点：梯形；等腰三角形的判定与性质分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得BAF=DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得DAF=AFB，然后求出BAF=AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答解答：解：延长AE交BC于F，AE是BAD的平分线，BAF=DAF，AECD，DAF=AFB，BAF=AFB，AB=BF，AB=，BC=4，CF=4=，ADBC，AECD，四边形AFCD是平行四边形，AD=CF=故选B点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线2、（2013十堰）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60，则下底BC的长为（）A8B9C10D11考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质3718684分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出B=60，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可解答：解：过点A作AFBC于点F，过点D作DEBC于点E，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60，B=60，BF=EC，AD=EF=5，cos60=，解得：BF=1.5，故EC=1.5，BC=1.5+1.5+5=8故选：A点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出BF=EC的长是解题关键3、（2013荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD，ADBC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）ABCD考点：动点问题的函数图象3718684分析：分三段考虑，当直线l经过BA段时，直线l经过AD段时，直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案解答：解：当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合故选A点评：本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案4、（2013年广州市）如图5，四边形ABCD是梯形，ADBC，CA是的平分线，且则=（ ） A B C D 分析：先判断DA=DC，过点D作DEAB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在RtADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算解：CA是BCD的平分线，DCA=ACB，又ADBC，ACB=CAD，DAC=DCA，DA=DC，过点D作DEAB，交AC于点F，交BC于点E，ABAC，DEAC（等腰三角形三线合一的性质），点F是AC中点，AF=CF，EF是CAB的中位线，EF=AB=2，=1，EF=DF=2，在RtADF中，AF=4，则AC=2AF=8，tanB=2故选B点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大5、(2013年南京)如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，AC与BD相交xyABCDPO于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为（ ， ）。答案：3； 解析：如图，由对称性可知P的横坐标为3，即，所以，PE，1故P的坐标为（3，）。6、（2013烟台）如图，四边形ABCD是等腰梯形，ABC=60，若其四边满足长度的众数为5，平均数为，上、下底之比为1：2，则BD=考点：等腰梯形的性质；算术平均数；众数分析：设梯形的四边长为5，5，x，2x，根据平均数求出四边长，求出BDC是直角三角形，根据勾股定理求出即可解答：解：设梯形的四边长为5，5，x，2x，则=，x=5，则AB=CD=5，AD=5，BC=10，AB=AD，ABD=ADB，ADBC，ADB=DBC，ABD=DBC，ABC=60，DBC=30，等腰梯形ABCD，AB=DC，C=ABC=60，BDC=90，在RtBDC中，由勾股定理得：BD=5，故答案为：5点评：本题考查了梯形性质，平行线性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，关键是求出BC、DC长和得出三角形DCB是等腰三角形7、（2013六盘水）如图，梯形ABCD中，ADBC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于19考点：梯形；线段垂直平分线的性质分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DE=CE，然后求出四边形ABED的周长=AD+AB+BC，然后代入数据进行计算即可得解解答：解：CD的垂直平分线交BC于E，DE=CE，四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=AD+AB+BC，AD=4，AB=5，BC=10，四边形ABED的周长=4+5+10=19故答案为：19点评：本题考查了梯形，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键8、（2013曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，C=45，AD=1，BC=4，则CD=3考点：直角梯形分析：过点D作DEBC于E，则易证四边形ABED是矩形，所以AD=BE=1，进而求出CE的值，再解直角三角形DEC即可求出CD的长解答：解：过点D作DEBC于EADBC，B=90，四边形ABED是矩形，AD=BE=1，BC=4，CE=BCBE=3，C=45，cosC=，CD=3故答案为3点评：此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质以及特殊角的锐角三角函数值，此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用9、（2013四川南充，19，8分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD3，BC7，B60，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作APEB，PE交CD 于E.(1)求证:APBPEC;(2)若CE3,求BP的长.A B D CB PB E 解析：(1)证明:梯形ABCD中,ADBC,ABDC.BC60. 1APCBBAP,即APEEPCBBAP.APEB,BAPEPC. 2APBPEC. 3(2)过点A作AFCD交BC于F.则四边形ADCF为平行四边形,ABC为等边三角形. 4CFAD3,ABBF734.APBPEC, 5,设BPx,则PC7x,又EC3, AB4, 6整理,得x27x120.解得 x13, x24. 7经检验, x13, x24是所列方程的根,BP的长为3或4. 8 A B D CB PB E F 10、（2013钦州）如图，梯形ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形考点：等腰梯形的判定3718684专题：证明题分析：由ABDE，DEC=C，易证得B=C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论解答：证明：ABDE，DEC=B，DEC=C，B=C，梯形ABCD是等腰梯形点评：此题考查了等腰梯形的判定此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用11、（13年北京5分19）如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF。（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，B=60，求DE的长。解析：考点：梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质）12、(2013年深圳市)如图4，在等腰梯形ABCD中，已知AD/BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE。（1）求证：BD=DE。（2）若ACBD，AD=3，=16，求AB的长。解析：13、（2013益阳）如图1，在ABC中，A=36，AB=AC，ABC的平分线BE交AC于E（1）求证：AE=BC；（2）如图（2），过点E作EFBC交AB于F，将AEF绕点A逆时针旋转角（0144）得到AEF，连结CE，BF，求证：CE=BF；（3）在（2）的旋转过程中是否存在CEAB？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由考点：旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；（2）由旋转的性质可知：EAC=FAB，AE=AF，根据全等三角形证明方法得出即可；（3）分别根据当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，当点E的像E与点N重合时，求出即可解答：（1）证明：AB=BC，A=36，ABC=C=72，又BE平分ABC，ABE=CBE=36，BEC=180CCBE=72，ABE=A，BEC=C，AE=BE，BE=BC，AE=BC（2）证明：AC=AB且EFBC，AE=AF；由旋转的性质可知：EAC=FAB，AE=AF，在CAE和BAF中，CAEBAF，CE=BF（3）存在CEAB，理由：由（1）可知AE=BC，所以，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：当点E的像E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，BAM=ABC=72，又BAC=36，=CAM=36 当点E的像E与点N重合时，由ABl得，AMN=BAM=72，AM=AN，ANM=AMN=72，MAN=180272=36，=CAN=CAM+MAN=72所以，当旋转角为36或72时，CEAB点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键14、（2013恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形考点：菱形的判定；梯形；中点四边形专题：证明题分析：连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH=AC，HE=FG=BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可解答：证明：如图，连接AC、BD，ADBC，AB=CD，AC=BD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，在ABC中，EF=AC，在ADC中，GH=AC，EF=GH=AC，同理可得，HE=FG=BD，EF=FG=GH=HE，四边形EFGH为菱形点评：本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点15、（2013咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点解决问题：（1）如图1，A=B=DEC=55，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系考点：相似形综合题分析：（1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明ADEBEC，所以问题得解（2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可（3）因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出AE和BE的数量关系，从而可求出解解答：解：（1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点理由：A=55，ADE+DEA=125DEC=55，BEC+DEA=125ADE=BEC（2分）A=B，ADEBEC点E是四边形ABCD的AB边上的相似点（2）作图如下：（3）点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，AEMBCEECM，BCE=ECM=AEM由折叠可知：ECMDCM，ECM=DCM，CE=CD，BCE=BCD=30，BE=CE=AB在RtBCE中，tanBCE=tan30，点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和强相似点的概念等，从而可得到结论16、（2013滨州）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF应为多长？（材质及其厚度等暂忽略不计）考点：相似三角形的应用；等腰梯形的性质分析：根据等腰梯形的性质，可得AH=DG，EM=NF，先求出AH、GD的长度，再由BEMBAH，可得出EM，继而得出EF的长度解答：解：由题意得，MH=8cm，BH=40cm，则BM=32cm，四边形ABCD是等腰梯形，AD=50cm，BC=20cm，AH=（ADBC）=15cmEFCD，BEMBAH，=，即=，解得：EM=12，故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm答：横梁EF应为44cm点评：本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容17、（2013杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF求证：GAB是等腰三角形考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定专题：证明题分析：由在等腰梯形ABCD中，ABDC，DE=CF，利用SAS，易证得ADEBCF，即可得DAE=CBF，则可得GAB=GBA，然后由等角对等边，证得：GAB是等腰三角形解答：证明：在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，D=C，DAB=CBA，在ADE和BCF中，ADEBCF（SAS），DAE=CBF，GAB=GBA，GA=GB，即GAB为等腰三角形点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用
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